本文將嘗試用非數(shù)學(xué)方法解釋∑-Δ轉(zhuǎn)換器，并涵蓋噪聲整形和過采樣等基本概念，并結(jié)合一些示例來進(jìn)行說明。這些概念與數(shù)字抽取濾波器隨后結(jié)合在一起，以揭開∑-Δ轉(zhuǎn)換器的神秘面紗。本文還包括一階和二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的基本知識以及∑-Δ調(diào)制器的階數(shù)如何影響模數(shù)轉(zhuǎn)換器的性能。

引言

目前，有許多應(yīng)用經(jīng)常要求模數(shù)轉(zhuǎn)換器具有高分辨率，而不是高精度，從而出現(xiàn)了對∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的需求。為了了解∑-Δ轉(zhuǎn)換器，人們必須深入了解頻域中所涉及的復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算來鉆研控制環(huán)路理論。但本文將讓您了解一些非常重要的概念，如噪聲整形、過采樣和∑-Δ調(diào)制器背后使其區(qū)別于其它轉(zhuǎn)換器架構(gòu)的所有魔幻性能，盡可能避免數(shù)學(xué)復(fù)雜性，使您能夠可視化感受事物的移動(dòng)。

要了解∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器，首先需要了解噪聲整形和過采樣等基本概念。噪聲整形可通過兩種模擬來闡釋。

什么是“噪聲整形”？通用示例如下

比如說，某個(gè)商品的價(jià)格是9.9盧比，您購買該商品已有10天。下圖是店主讓您支付此商品的價(jià)格圖。

不管是0.1或0.5，每天都會產(chǎn)生一些誤差，但在10天結(jié)束后，商品的價(jià)格最終確實(shí)為9.9盧比。這種平均誤差被稱為噪聲整形。

但是只有店主每天都跟蹤誤差，才會發(fā)生這種情況。因此為了跟蹤誤差，系統(tǒng)應(yīng)有一個(gè)存儲器。

表1：商品的每日價(jià)格

Day： 天數(shù)；Price： 價(jià)格

通過數(shù)模轉(zhuǎn)換器解釋的噪聲整形

如果我們的普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器包括噪聲整形，將會怎樣？我們允許數(shù)模轉(zhuǎn)換器整形噪聲。我們讓它不只給出一個(gè)數(shù)字，而是兩個(gè)或三個(gè)數(shù)字，使平均值接近理想狀態(tài)。

圖 1：時(shí)域中普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器與噪聲整形數(shù)模轉(zhuǎn)換器的比較（Ideal： 理想狀態(tài)；Regular DAC： 普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器；Noise shaped： 噪聲整形）

圖 2：頻域中噪聲整形與普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器的比較（Noise Shaped： 噪聲整形；DAC： 數(shù)模轉(zhuǎn)換器）

如圖1所示，如果我們真地遵循綠色模式，我們就會將數(shù)值上下移動(dòng)一點(diǎn)。看起來似乎很糟糕，因?yàn)槲覀円呀?jīng)為此數(shù)模轉(zhuǎn)換器增加了噪聲。它甚至沒有使數(shù)值保持穩(wěn)定。我們沒有引入任何新級別，它們早已存在于普通的數(shù)模轉(zhuǎn)換器中。

現(xiàn)在，看看圖2中兩個(gè)系統(tǒng)的傅立葉分析。令人驚喜的是，我們原以為會有損性能的綠色的東西，實(shí)際上卻使數(shù)模轉(zhuǎn)換器運(yùn)行地更好。與普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器相比，噪聲整形數(shù)模轉(zhuǎn)換器中噪聲低于1KHz的區(qū)域更小，因而能夠更好地代表1KHz信號。

過采樣概述

無論何時(shí)通過頻率Fs對信號采樣時(shí)，都假設(shè)誤差過程的隨機(jī)變量與量化噪聲相關(guān)（與信號不相關(guān)）；誤差是一個(gè)白噪聲過程，而且量化噪聲功率（q/√12，其中q 為1 LSB）統(tǒng)一最大為Fs/2。

圖 3：過采樣效應(yīng)（Quantization noise： 量化噪聲；Frequency： 頻率；Oversampling by a factor of K： 按K因子的過采樣）

當(dāng)按K因子進(jìn)行過采樣時(shí)，相同的量化噪聲功率均勻地分布，最高達(dá)KFs/2，因此量化噪聲功率在Fs/2區(qū)域中會降低。

∑-Δ轉(zhuǎn)換器的魔幻性能

從下面曲線中您可以確定什么？

圖 4：∑-Δ（左側(cè)）與頻域中普通/噪聲整形數(shù)模轉(zhuǎn)換器（右側(cè)）的比較

在圖4中，左側(cè)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過右側(cè)中兩種噪聲水平中的任何一個(gè)。只要此系統(tǒng)在左側(cè)，它所表示的1 KHz信號都會比右側(cè)其它兩個(gè)的信號要好。

此系統(tǒng)是什么？

圖 5：∑-Δ調(diào)制器的時(shí)域信號（a）和普通近似正弦波（b）

這里甚至不是數(shù)模轉(zhuǎn)換器！它只是一個(gè)系統(tǒng)，提供在+/-全范圍的信號，但在與它關(guān)聯(lián)的信號頻率附近，底噪仍會更低。我們?nèi)绾伟盐账?/p>

圖5b是普通數(shù)模轉(zhuǎn)換器的輸出，我們至少可以視其為正弦波。但圖5a呢？它如何才能更好地代表1KHz信號呢？

這里就是此∑-Δ轉(zhuǎn)換器的魔幻性能。

增量調(diào)制基礎(chǔ)知識中就包含了答案。那么增量調(diào)制是什么？

增量調(diào)制（DM或Δ-調(diào)制）是模數(shù)或數(shù)模信號轉(zhuǎn)換技術(shù)，用于傳輸對質(zhì)量要求不高的語音信息。DM是差分脈沖編碼調(diào)制 （DPCM）最簡單的形式，其中連續(xù)樣本之間的差異被編碼成n比特?cái)?shù)據(jù)流。在DM中，將所傳輸?shù)臄?shù)據(jù)減少到1比特?cái)?shù)據(jù)流。

它采用預(yù)測算法運(yùn)行。以簡單情況為例，它預(yù)計(jì)當(dāng)前的采樣與之前的采樣相同。 然后比較這兩次采樣，如果輸入較大，則發(fā)送a +Δ，如果輸入較小，則發(fā)送a –Δ；在接收器端也類似，保持跟蹤+/- Δ，這樣系統(tǒng)能夠很好地辨別信號值何時(shí)增加、何時(shí)降低，從而可重建信號。雖然有兩個(gè)相關(guān)問題，即斜率過載和粒度，但我們不會深入鉆研，從而能夠更多地關(guān)注發(fā)送誤差值而非實(shí)際值這一個(gè)重要方面，如果是正弦波，仍會重組輸入信號。

以店主為例，如果他第一天收取9盧比，第二天收取9.5盧比，第三天收取8盧比，而第四天則收取11盧比，但是即使這樣安排，10天后，您仍會為此商品支付9.9盧比，從而把您搞糊涂。隨機(jī)誤差只將噪聲轉(zhuǎn)換到更高頻率，在目標(biāo)帶寬中產(chǎn)生良好的信噪比。

∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器：噪聲整形 + 過采樣

我們已經(jīng)了解了噪聲整形和過采樣的基本概念。現(xiàn)在讓我們了解∑-Δ調(diào)制器如何利用這些概念，提供比其他轉(zhuǎn)換器更好的動(dòng)態(tài)性能（高信噪比）。

圖 6：過采樣和噪聲整形（NYQUIST OPERATION： NYQUIST定理運(yùn)算；QUANTIZATION NOISE： 量化噪聲；OVERSAMPLING： 過采樣；DIGITAL FILTER： 數(shù)字濾波器；DECIMATION： 抽取；REMOVED NOISE： 移除的噪聲；NOISE SHAPING： 噪聲整形）

圖A：量化噪聲均勻分布，最高達(dá)Fs/2

圖B：讓我們按K因子進(jìn)行過采樣，這會產(chǎn)生什么影響？相同的噪聲分布，最高達(dá)KFs/2，導(dǎo)致噪聲較低，最高達(dá)Fs/2。

圖C：在此，我們所涉及的噪聲整形會將噪聲轉(zhuǎn)換到更高頻率，從而進(jìn)一步降低相關(guān)頻段內(nèi)的噪聲。

因此∑-Δ轉(zhuǎn)換器采用上圖6所示的噪聲整形和過采樣技術(shù)，從根本上降低了目標(biāo)帶寬中的噪聲。

數(shù)字抽取濾波器

圖 7：數(shù)字抽取濾波器（1 Bit stream:1比特流；Multi bit data： 多比特?cái)?shù)據(jù)；Output data： 輸出數(shù)據(jù)；Analog input： 模擬輸入；Sigma delta modulator：∑-Δ調(diào)制器；Digital low pass filter： 數(shù)字低通濾波器；Decimation filter： 抽取濾波器）

∑-Δ調(diào)制器的單比特流輸出到數(shù)字抽取濾波器，平均值降低，然后降低采樣數(shù)，從而以目標(biāo)采樣率Fs生成N位采樣。數(shù)字濾波器是求平均值的低通濾波器。它衰減量化噪聲，并刪除目標(biāo)頻段的別名。一般來說，Sinc傳輸函數(shù)可用作低通濾波器。

對輸入信號進(jìn)行過采樣，以便降低量化噪聲，因此可在引入失真的情況下消除冗余數(shù)據(jù)。抽取過程僅降低了輸出采樣率，同時(shí)保留必要的信息。帶Sinc傳輸函數(shù)的FIR濾波器可通過抽取進(jìn)行數(shù)字濾波。

一階和二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器

首先，讓我們來看看一階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的基本功能。

圖 8：一階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Integrator： 積分器；Comparator comparing to 0： 比較器（與0進(jìn)行比較）；Digital filter： 數(shù)字濾波器；1 Bit DAC： 1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器）

在圖9中，A表示固定輸入3VDC。B、C、D和E為信號路徑中的各點(diǎn)。數(shù)模轉(zhuǎn)換器的基準(zhǔn)電壓為8V。

最初，B、C、D和E都為0。在每步中，積分器累積輸入信號和反饋信號之間的誤差，然后饋送到與0進(jìn)行比較的比較器。在比較過程中，比較器在每步中都引入量化噪聲。比較器的輸出傳輸?shù)綄?a target="_blank">數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬電壓的1比特?cái)?shù)模轉(zhuǎn)換器。由于數(shù)模轉(zhuǎn)換器的基準(zhǔn)電壓為8V，因此“1”表示8V，而“0”表示0V。數(shù)模轉(zhuǎn)換器的輸出再次與輸入信號進(jìn)行比較。

表2：一階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器

Less randomized error： 更少的隨機(jī)誤差

3 1‘s representation of 3V： 3個(gè)1表示3V

經(jīng)過8個(gè)步驟之后，此模式重演。因此，我們可以看到，反饋機(jī)制強(qiáng)制反饋信號等于輸入電壓信號。在此環(huán)路中，積分器可作為噪聲整形濾波器，而比較器/量化器可引入量化噪聲。

從表3中我們可以看到，3個(gè)1在此表示3V信號。輸入信號的值越高，1的數(shù)量就越多。

二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器

二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器與一階的類似，只是增加了一個(gè)積分器。

讓我們看看二階∑-Δ調(diào)制器，了解一階和二階之間的基本區(qū)別。

從表3可以看出，二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的工作機(jī)制幾乎與一階的類似，但它有更多的隨機(jī)誤差。在這種情況下，6個(gè)1表示16個(gè)步驟中的3V，即每8個(gè)步驟中有3個(gè)1。

圖 9：二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Integrator： 積分器；Quantizer： 量化器；Digital filter： 數(shù)字濾波器；1 Bit DAC： 1比特?cái)?shù)模轉(zhuǎn)換器）

表3：二階∑-Δ調(diào)制器

More randomized error： 更多的隨機(jī)誤差

6 1’s representation of 3V： 6個(gè)1表示3V

一階和二階有何差別？

從根本上說，由于隨機(jī)誤差更多，因此二階系統(tǒng)將輸出噪聲轉(zhuǎn)換為更高的頻率，從而在目標(biāo)帶寬產(chǎn)生低噪聲，但代價(jià)是需要更多硬件。

因此階數(shù)越高，隨機(jī)誤差就越多，而目標(biāo)帶寬中噪聲則越低，但所有這些都以增加硬件為代價(jià)。

圖 10：一階和二階∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸出噪聲（Output noise： 輸出噪聲；Second order： 二階；First order： 一階；frequency： 頻率）

小結(jié)

本文涵蓋了∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器的基本原理。它特別專注于了解關(guān)鍵概念，如過采樣、噪聲整形、抽取等，不涉及數(shù)學(xué)問題，旨在更好地了解更高階的∑-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器。

責(zé)任編輯：gt