本節(jié)主要對計(jì)算機(jī)電路分析理論進(jìn)行概要講解，并結(jié)合實(shí)際濾波器電路分析，最后使用Matlab實(shí)現(xiàn)了一個通用梯形濾波器Mini仿真引擎（GitHub免費(fèi)下載）。

電路分析基礎(chǔ)

從電磁現(xiàn)象被人們發(fā)現(xiàn)以來，人們不斷探索先后發(fā)現(xiàn)了庫倫定律(Coulomb's law, 1785年，通過實(shí)驗(yàn)得出靜電力遵循平方反比規(guī)律)、畢奧-薩伐爾定律(Biot-Savart Law, 1820年，表明電生磁)、安培環(huán)路定律(Ampère's circuital law, 1826年，表明電生磁，并且磁)、法拉第電磁感應(yīng)定律(Faraday's law of electromagnetic induction, 1831~1845年，表明磁生電)，依據(jù)這些定律，麥克斯韋(Maxwell's equations)于1864年提出了著名的麥克斯韋方程組，于是統(tǒng)一了電和磁。

都說麥克斯韋統(tǒng)一了電和磁，那么我們從麥克斯韋方程組出發(fā)是否能夠推導(dǎo)得到電路分析的相關(guān)理論來嗎？這一節(jié)我們就麥克斯韋方程組的理論框架下來理解電路分析相關(guān)理論。

在電路分析領(lǐng)域，有三大法寶： 歐姆定律 ，KCL和 KVL 。

查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)比較遺憾的是麥克斯韋方程組并不能導(dǎo)出如歐姆定律(Ohm's law) ，歐姆定律是獨(dú)立于麥克斯韋方程組的，也就是所謂媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系(Constitutive equation) 。歐姆定律是歐姆基于一系列的實(shí)驗(yàn)所獲得的結(jié)果，并在1827年發(fā)表在《直流電路的數(shù)學(xué)研究》(The galvanic Circuit investigated mathematically)一文中。

那么歐姆定律如何來推導(dǎo)呢？現(xiàn)在比較廣泛的推導(dǎo)是使用德魯?shù)履Ｐ?Drude model),也即使用微觀自由電子氣模型來推導(dǎo) 。

基爾霍夫定律(Kirchhoff Circuit Laws, 1845年)是可以使用麥克斯韋方程組來推導(dǎo)的，基爾霍夫第一定律也即基爾霍夫電流定律(KCL)可以由電場散度為0求得；基爾霍夫第二定律也即基爾霍夫電壓定律(KVL)可以由靜電場旋度為0求得。電路理論是電磁場理論在一定條件下的近似結(jié)果，器件必須在準(zhǔn)靜態(tài)范圍內(nèi)工作，即工作波長遠(yuǎn)大于電路尺寸 。

有了歐姆定律和基爾霍夫定律我們就可以進(jìn)行電路分析和計(jì)算。

梯形電路網(wǎng)絡(luò)方程

下面以無源梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)舉例來實(shí)現(xiàn)電路分析步驟。由于這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)屬于平面結(jié)構(gòu)，而且結(jié)構(gòu)相對簡單，所以不必使用關(guān)聯(lián)矩陣(Incidence Matrix)，可以直接使用網(wǎng)孔法(Mesh Analysis)列方程來進(jìn)行電路分析。

上圖電路結(jié)構(gòu)可以用來分析所有梯形濾波器，濾波器階數(shù)為 。若需要構(gòu)造 型結(jié)構(gòu)濾波器，則可以令 ；若需要構(gòu)造偶數(shù)階濾波器，則可以令 ，這時濾波器階數(shù)為 。

為了適應(yīng)不同的濾波器類型和適應(yīng)實(shí)際器件模型(參考電容等效和電感等效)，特定義阻抗節(jié)類型(Type)如下：

有了上述電路矩陣方程，我們可以依據(jù)s參數(shù)求解出AC特性，只需要求解方程：

接下來就是各路仿真軟件的核心--線性方程組的稀疏矩陣(Sparse Matrix)求解。

稀疏矩陣求解

由上節(jié)得到的電路Z矩陣大部分元素為0，屬于稀疏矩陣，常用的直接計(jì)算機(jī)解法是矩陣的高斯消元(Gauss elimination)、UL分解(LU factorization)、科列斯基分解(Cholesky decomposition) 或其改進(jìn)的LDLT算法，UL分解在早期電路分析中使用特別多，優(yōu)化算法在如何減小存儲量和計(jì)算量這個方向上努力(算法會破壞矩陣的稀疏性，或者改變矩陣結(jié)構(gòu))，尤其是UL算法可以在不怎么增加額外的存儲空間情況下直接在源矩陣上計(jì)算，無需額外存儲開銷，這樣可以求解大型電路方程 。

對稀疏矩陣進(jìn)行數(shù)值求解的另外一條路也非常不錯，即稀疏矩陣迭代計(jì)算，這種方法的好處是利用了前一次計(jì)算結(jié)果，可以通過有限步計(jì)算快速將求解誤差收斂到指定范圍內(nèi)，并且此算法并不會破壞矩陣的稀疏性，迭代計(jì)算在非線性電路分析、電路優(yōu)化、靈敏度分析、參數(shù)掃描中非常適用。迭代計(jì)算方法有雅克比(Jacobi)迭代求解、高斯-賽德爾(GS, Gauss-Seidel)迭代求解、超松弛(SOR, Successive Over-Relax)迭代求解、共軛梯度(CG, Conjugate Gradient, 1951)迭代求解 ，這幾種方法層層遞進(jìn)，Jacobi方法最原始，GS只是每步都利用前一次計(jì)算的值，SOR提供了一個可選的因子可以調(diào)整迭代步長，CG提供了每次迭代的最佳步長。

本想著此次主要針對小程序電路分析不需要這么大費(fèi)周章的將矩陣求解這部分深入太多，但是考慮到后續(xù)電路優(yōu)化，有必要將CG迭代算法做深入研究。CG迭代算法將一次函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為構(gòu)造的二次函數(shù)的極小值的運(yùn)算，二次函數(shù)極值計(jì)算就可以使用梯度下降法來求解了，CG迭代算法可以說是進(jìn)階版本的梯度下降算法，他不是用最小梯度方向搜索到終點(diǎn)，而是用共軛梯度方向搜索到終點(diǎn)。CG迭代算法文末有參考學(xué)習(xí)文章，寫得通俗易懂，有興趣的同學(xué)可以移步到參考文獻(xiàn) 。

CG迭代算法步驟如下:

上圖之字形藍(lán)色曲線是梯度下降法迭代過程，紅色線是共軛梯度法迭代過程，從中可以看到CG迭代收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于梯度下降法的。有人可能會問，為什么不直接從初始點(diǎn)直接一步到最終點(diǎn)呢，對，之前的高斯消元法等等就是這里的一步迭代法。

從計(jì)算復(fù)雜度上來講，CG迭代算法的計(jì)算復(fù)雜度是 ，高斯消元法約為 ，所以從計(jì)算復(fù)雜度上來說CG迭代算法并沒有優(yōu)勢。CG迭代法每迭代一次可以將整個矩陣計(jì)算一次，能夠從全局計(jì)算出出一個近似的結(jié)果，對于很多實(shí)際問題，我們只要控制好精度，就只需要較少的迭代次數(shù)就可以達(dá)到工程要求，最終可以使得迭代法實(shí)際計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直接法。高斯消元法在稀疏矩陣的應(yīng)用中會遇到0元素的填充問題，這會給編程帶來非常大的不便，而且影響矩陣的稀疏性。

對于濾波器軟件設(shè)計(jì)，其中很重要的頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)的計(jì)算需要使用到頻率掃描，若掃描點(diǎn)比較密集，假設(shè)是N，那么我們使用高斯消元法對每個頻率點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是獨(dú)立的，這樣計(jì)算量就非常大。但是若使用CG迭代計(jì)算，那么我們可以利用前一點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果，可以大大減小后續(xù)點(diǎn)的迭代次數(shù)，計(jì)算量會響應(yīng)減小。

實(shí)際仿真中發(fā)現(xiàn)若使用CG迭代來進(jìn)行濾波器仿真計(jì)算，那么你將得到的是錯誤的結(jié)果，梯形網(wǎng)絡(luò)矩陣計(jì)算并不收斂！這是由于CG只針對對稱正定矩陣(symmetric and positive-definite)才有效，而電路方程是復(fù)數(shù)方程，其Z矩陣為一個非厄米特矩陣(Non-Hermitian矩陣)，需要使用雙共軛梯度法(BiCG, Biconjugate Gradient，1976) 來對其進(jìn)行求解，BiCG迭代算法可以支持計(jì)算非對稱正定矩陣，由于BiCG算法并不穩(wěn)定 ，所以后人又提出了CGS(Conjugate Gradient Squared, 1989) , BiCG-Stab(Biconjugate Gradient Stabilized, 1992) 算法，這樣才真正將CG算法走上了實(shí)用。

另外，對矩陣的預(yù)處理(Precondition)也非常重要，因?yàn)樗兄暗乃惴ǘ紩嬖谝粋€矩陣不能讓結(jié)果收斂到給定精度。對線性系統(tǒng)迭代計(jì)算算法匯總文檔請參考 。

直接法(UL分解)計(jì)算和BiCG迭代計(jì)算對比的Matlab代碼都上傳至GitHub上 [https://github.com/etools361/SolveSystemOfLinearEquations.git]。

梯形電路網(wǎng)絡(luò)仿真引擎

由電路方程節(jié)的方法，按順序定義器件類型和值，比如3階Butterworth濾波器網(wǎng)表定義如下（上圖是PI結(jié)構(gòu)，下圖是T結(jié)構(gòu)）：

從上圖可以看出，我們只需要在內(nèi)存中存儲Type和Value這兩列數(shù)據(jù)即可還原梯形結(jié)構(gòu)。

由上述網(wǎng)表結(jié)構(gòu)可以構(gòu)造出Z矩陣，然后使用線性方程組計(jì)算即可得到仿真值。

程序輸入是電路網(wǎng)表、AC參數(shù)設(shè)置，輸出為幅頻傳輸特性曲線。

使用matlab實(shí)現(xiàn)一個 通用梯形網(wǎng)絡(luò)仿真引擎 (代碼已經(jīng)上傳GitHub，有興趣的童鞋可以去下載 [https://github.com/etools361/LadderNetworkSimEngine.git])，實(shí)際運(yùn)行結(jié)果如下：

• 兩端接載情況, 3階巴特沃斯低通濾波器

• 一端接載情況, 3階巴特沃斯低通濾波器:

• 7階切比雪夫高通濾波器: