欠采樣或違反奈奎斯特（nyquist）準則是 ADC 應用上經常使用的一種技術。射頻（RF）通信和諸如示波器等高性能測試設備就是其中的一些實例。在這個“灰色”地帶中經常出現一些困惑，如是否有必要服從 nyquist 準則，以獲取一個信號的內容。本文描述了欠采樣的過程，以及它在某些應用中的好處，譬如手機基站和直接 RF 下變頻接收器等。選擇的這幾個實例都采用了美國國家半導體的 ADC。對于 Nyquist 和 Shannon 定理的檢驗將證明：ADC 采樣頻率的選擇與最大輸入信號頻率對輸入信號帶寬的比率有很強的相關性。

 Nyquist 和 Shannon 信息定理 

Nyquist 定理：nyquist 定理被表達成各種各樣的形式，它的原意是：如果要從相等時間間隔取得的采樣點中，毫無失真地重建模擬信號波形，則采樣頻率必須大于或等于模擬信號中最高頻率成份的兩倍。

因而對于一個最大信號頻率為 f_MAX 的模擬信號 fa，其最小采樣頻率 fs 必須大于或等于 2*f_MAX 。

Fs ³  2 f _MAX

最簡單的模擬信號形式是正弦波，此時所有的信號能量都集中在一個頻率上。現實中，模擬信號通常具有復雜的信號波形，并帶有眾多頻率成份或諧波。例如，一個方波除了它的基頻之外，還包含有無窮多的奇次諧波。因此，根據 Nyquist 定理，要從時間交叉的采樣中完整地重建一個方波，采樣頻率必須遠遠高于方波的基頻。

請注意：當以采樣率 fs 對模擬信號 fa 進行采樣時，實際上產生了兩個混疊成份，一個位于 fs+ fa，另一個位于 fs－fa。它的頻率域顯示在圖 1中。

插圖 1:

    較高頻的混疊成份基本上不會引起問題，因為它位于 nyquist 帶寬（fs/2）以外。較低頻的混疊成份則可能產生問題，因為它可能落在 nyquist 帶寬之內，破壞所需要的信號。鑒于采樣系統的混疊現象，nyquist 準則要求采樣率 fs > fa，以避免混疊成份覆蓋到第一 nyquist 區。為防止有害的干擾, 任何落在感興趣的帶寬之外的信號（無論是寄生信號或是隨機噪聲）都應該在抽樣之前進行過濾。這就解釋了眾多采樣系統中，加裝抗混疊濾波器的必要性。然而，在下面關于次采樣的部分中，會表明存在著一些方法，它們可以在信號處理應用中用到混疊現象的益處。

    舉例來說：對一個最大頻率為 10MHz 信號，為了從采樣中不失真地重建模擬信號，nyquist 規定采樣頻率 ³  20MSPS (每秒百萬次抽樣)。

    但是，我們很快能看出 nyquist 定理的局限性。Nyquist 假定所需的信息帶寬等于 nyquist 帶寬或采樣頻率的一半。在圖 1 所示的范例中，如果模擬信號 fa 帶寬小于 fs/2，那么有可能用低于 nyquist 率進行采樣，仍然能夠防止混疊現象的產生，并避免損壞所需的信號。應該觀察到，所需最小采樣頻率實際上是輸入信號帶寬的一個函數，而不僅取決于最大頻率成份。Shannon 定理進一步驗證了這一結論。

Shannon 信息定理:

一個帶寬為 fb 的模擬信號，采樣速率必須為 fs > 2fb，才能避免信息的損失。信號帶寬可以從 DC 到 fb（基帶采樣），或從 f1 到 f2，其中 fb = f2–f1(欠采樣)。因此，Shannon 定理表示：實際所需最小采樣頻率是信號帶寬的函數，而不僅取決于它的最大頻率成份。通常來說，采樣頻率至少必須是信號帶寬的兩倍，并且被采樣的信號不能是 fs/2 的整數倍，以防止混疊成份的相互重疊。注意，f_MAX（模擬信號的最大頻率成份）對于信號帶寬 B 的大比例最小采樣頻率接近 2B。

    在許多應用中，這大大地減少了對 ADC 的要求。對一個具有150MHz最大信號頻率，但只有10MHz 帶寬的信號進行采樣，可能只需要一個約 22MSPS 的ADC，而不是 nyquist 規定的 > 300MSPS 的 ADC。

    例如，考慮一個帶寬為 10MHz、位于 160 –170MHz 頻譜范圍內的信號。假定按照 Shannon 定理要  30MSPS 的采樣率。由于采樣過程會產生附帶的采樣頻率，它們是 30MHz 的整數倍，也就是 60MHz（2fs）、90MHz  （3fs）... 180MHz 等。介于 160MHz 和 170MHz 之間的所需信號，在這些采樣頻率的每個諧波（fs、2fs、3fs等）附近都產生混疊。注意：任何一個混疊成份都是原始信號的一個準確表述。30MSPS 采樣使得 160–170MHz 的信號被折返到 0 -10MHz 的第一 nyquist 區。

從本例中還可注意到：可能存在于 ADC 輸出 FFT 中的最高頻率成份小于或等于采樣頻率的一半。或者說，由于諧波折返或欠采樣，每一個位于 nyquist 帶寬之外的 ADC 輸入頻率成份總被折返到第一 nyquist 區。這可由下列等式表示。而次采樣在實用電子系統有許多用途。最常見的欠采樣應用是在數字接收器中。首先讓我們更詳細地解釋次抽樣的過程。

次抽樣或折返的過程可以看作是 ADC 輸入信號與采樣頻率和其諧波的混合。這意味著，許多頻率可以混合為 DC，而不再能確認它們的原始頻率。舉一個 66MSPS 采樣頻率的例子，則所有輸入信號（66–6、66+6、126、136MHz 等等）頻率混合為 6MHz，見圖 2。每個采樣映象折返到 < FS/2。請注意，圖 2 虛線處將發生相位翻轉，但這些成份可在軟件中去除。如果必須在 ADC 輸出處確定原始的輸入頻率，則無法使用次采樣。因為這違反了 nyquist 準則。如果在 ADC 輸出處無需確定載波頻率，次采樣仍然證明有效。這適用于許多通信系統，如手機基站接收器，因為接收器只需恢復載波上的信息，而不是載波本身。我們以一個常見的數字接收器系統為例。  

插圖 2:

射頻數字接收器

    以使用一個射頻載波頻率 900MHz（歐洲）和 1800MHz（美國）的 GSM/EDGE 基站為例。一個移動基站接收電路類似圖 3 所示。高頻射頻載波信號首先在混頻器和本振級下變頻為一個范圍 150－190MHz 的中頻，供模擬－數字的轉換使用。前述 Shannon 定理顯示，所必需的采樣頻率是信號帶寬的函數，在 GSM/EDGE 系統中帶寬為 200kHz。GSM 系統的動態范圍規格需要最小 10 位精度的 ADC，雖然實際都使用 12 位精度。市面上有大量的高速 ADC 可供選擇，數字接收器的系統設計師選擇器件時必須考慮系統動態范圍要求以及器件的成本。由于這些原因，對于 GSM 接收器應用，50－70MSPS 采樣率的 ADC 是最常見的選擇。雖然在 66MSPS 時 150 –190 兆赫信號為欠采樣（使用美國國家半導體的 ADC12DL066, 雙 12 位 66MSPS ADC），對于需要的 200kHz 信息帶寬，并沒有違反 Nyquist 準則。這種選擇為 200kHz 的帶寬信息信號提供了足夠大的空間，同時提供了超過 20dB 的處理增益（下文解釋）。請注意，由于種種原因，繼續增加采樣頻率來不斷提高處理增益的方法是不切實際的。市面上有更高采樣率的 12 位 ADC，譬如 12 位 80MSPS 的 ADC（美國國家半導體 ADC12L080），以及一些 >100MSPS 的 12 位專用 ADC，但低于 100MSPS 和高于 100MSPS 采樣率 ADC 之間的成本差別相當大。

插圖 3: Edge 中常用的接收器

處理增益

    ADC 噪聲特性通常由熱噪聲所限制，當選定 ADC 時，其噪聲帶寬通常被定義作 nyquist 帶寬。在 FS = 66MSPS 時，總噪聲底限的測量表示為相對于某一輸入信號頻率處一個 33MHz 帶寬內全量程（dBFS）的 dB 值。對于 ADC12L066，150MHz 輸入信號頻率時的總噪聲底限是 –62dBFS。但是對 ADC輸出進行過濾后，會產生一個更窄的帶寬，例如美國國家半導體的數字式下變頻器 CLC5903。濾波過程提供的噪聲處理增益是帶寬減少量的函數。200kHz 的信道濾波器可獲得如下的處理增益：

上式假設 ADC 輸出的濾波器去除了混疊映象和 Fs 附近的噪聲。

這樣，200kHz 帶寬內的 ADC 輸出噪聲變成：

 -62dBFS + (-25.2dB  ) = -87.2dBFS.

插圖 4

    表1 重點列出美國國家半導體的幾個最新高速 ADC，它們都適用于欠采樣應用。對于這些應用，最重要的參數是模擬輸入信號帶寬、信噪比（SNR），以及有效位數（ENOB）。

* 開發中，目標參數。

總結