變壓器是一種無源交流電路設備，它執行電壓變換以升高或降低輸入電壓。

　　基本變壓器方程

　　單個導電回路的法拉第定律是：

　　ε=?d?dt，ε=?d?dt， ［1］

　　其中 ε 是電動勢或電壓，dΦ/dt 是磁通量隨時間的變化率。

　　多匝線圈相當于串聯連接的各個回路，因此電壓相加，法拉第定律變為：

　　ε=?Nd?dt，ε=?Nd?dt， ［2］

　　對于纏繞在同一個磁芯上且具有完美磁通耦合的兩個獨立線圈，dΦ/dt 很常見，因此

　　ε1=?N1d?dt，和ε1=?N1d?dt，和ε2=?N2d?dt，因此ε2=?N2d?dt，因此ε1ε2=N1N2，ε1ε2=N1N2，這表示電壓比等于匝數比，這是變壓器運行的基本定義方程。

　　場強和頻率

　　以積分形式重寫方程 ［1］ 給出：

　　Φ=?∫εdtΦ=?∫εdt ［3］

　　如果施加的電壓是正弦時變的，則等式 ［3］ 可以寫為

　　Φ=?∫ε0sin（ωt）dtΦ=?∫ε0sin（ωt）dt=ε0ωcos（ωt）=ε0ωcos（ωt）這表示通量與施加電壓的頻率成反比。通量是磁場 B 的法向分量在感興趣的橫截面上的積分。

　　Φ=∫BdAΦ=∫BdA如果 Φ 是正弦時變，幅度與頻率成反比，則 B 也必須是正弦時變，幅度與頻率成反比，可以寫為：

　　B=B0ωcos（ωt）B=B0ωcos（ωt） ［4］

　　意義在于，隨著操作頻率的降低，磁場強度會增加。

　　BH循環

　　在鐵磁材料中，材料中的總磁場是外加磁場和磁疇排列產生的內部磁場之和。材料中的總場表示為 B 并且在某些線性區域上可以近似為

　　B=μoμrH，B=μoμrH，其中 μ o是自由空間的磁導率， μ r 是材料的相對磁導率，假設為線性磁行為。圖 1 顯示了一個具有代表性的 BH 回路，它繪制了施加磁場循環時的磁場 B。在高磁場強度下，曲線變得非常非線性，并且據說材料已經達到磁飽和。隨著接近磁飽和，H 的增加導致 B 值的增加要低得多。

　　圖 1. 鐵磁材料的代表性 BH 回路。圖片由 Blaine Geddes 提供

　　循環磁化材料消耗的能量是磁滯損耗，并作為 BH 回路的積分給出。BH 環的面積取決于材料的剩磁，它是重新排列磁疇所需的能量的函數。具有低剩磁的鐵磁材料被稱為軟鐵磁材料。硬鐵磁材料具有更加開放的 BH 環，因為它們一旦磁化就會保持其磁性狀態。對于在交流電路中的使用，顯然更優選軟鐵磁材料。

　　當達到磁飽和時，不僅磁滯損耗達到最大值，而且電流的任何增加都會導致磁場強度的增加可以忽略不計，因此它只是被浪費為繞組中的 I 2 R 損耗。

　　從等式［4］可知，磁場隨著施加頻率的降低而升高，因此為避免磁飽和，變壓器、電機等交流磁性設備的物理尺寸必須隨著線路頻率的降低而增大。

　　調整核心大小

　　硅電工鋼的最大工作場強通常在 1.3 – 1.7 T 范圍內，盡管一些晶粒取向合金鋼可以支持更高的場強。M-6 電工鋼（晶粒取向 3% Si）的飽和場強規定為 1.9 T。鐵芯需要運行的越接近磁飽和，損耗越大，因此需要一定的余量。確定磁芯尺寸的第一步是選擇磁芯中允許的最大工作磁場強度，這取決于為磁芯選擇的電工鋼等級。

　　對于給定的施加電壓和匝數，多匝線圈的法拉第定律給出 dΦ/dt。積分 dΦ/dt 將給出總通量 Φ。對于正弦電路，Φ 將是正弦曲線，其幅度為 1/ω 因子。

　　應用 = BdA，允許確定給定核心區域的場 B，或給定指定的最大允許場 B 確定的區域。增加橫截面積或增加匝數將降低最大場強，因此，這些是調整的主要變量，以在尺寸、成本和性能權衡方面提供可接受的設計。變壓器尺寸與頻率成反比，因此線路頻率是一個重要參數。為 60 Hz 設計的變壓器在 120 Hz 下可以正常工作，雖然它會過大，但如果在 30 Hz 下運行，它可能會變得非常低效和過熱。

　　一旦基于上述權衡匝數和磁芯橫截面積的考慮為初級繞組選擇了匝數以實現可接受的最大場強 B，次級繞組的匝數簡單地設置為所需的電壓比。鐵芯還需要足夠的空間來容納繞組線圈。線圈的線規將由所需的電流來設置，以將繞組中的電流密度保持在可接受的水平，從而最大限度地減少繞組中的 I 2 R 損耗。鐵芯窗口區域必須足夠大，以容納隨匝數縮放的繞組和基于最大電流的所需線規。

　　應用所有方程和權衡使變壓器設計成為一個迭代過程，其中需要做出一些假設并重復計算?？紤]到變壓器的伏安額定值、最大允許 B 場、最低工作頻率、鐵芯幾何參數以及可能的其他參數，如導線電阻率、允許導體損耗等，已經開發了各種公式來估計鐵芯尺寸。所有這些公式都是基于法拉第定律和基本幾何學的基本原理。

　　變壓器是一種看似簡單的無源器件，但設計它涉及操縱許多變量以產生適當優化的設計。

　　變壓器結構

　　用于電源線頻率和頻率高達幾千赫茲的變壓器由交錯的電工鋼片構成，這些電工鋼沖壓成型以提供線圈的鐵芯和繞組的窗口區域。疊層結構減少了渦流損耗。片材的表面涂有一層薄薄的高電阻率飾面。圖 2 顯示了一個典型的變壓器，說明了它的疊片鐵芯結構。各種核心幾何形狀很常見。這個繞組以相同的形式纏繞在一起。

　　變壓器等效電路

　　圖 3 顯示了變壓器的等效電路，其所有量均以初級側為參考。來自次級側的量以 1/N 2因數反射到初級，其中 N 是次級與初級匝數比。

　　圖 3. 所有量都參考初級側的變壓器等效電路。圖片由 Blaine Geddes 提供

　　在等效電路模型中，R L 是負載電阻。R s 是次級繞組電阻。L s 是次級繞組電感。R p 和 L p 分別是初級繞組電阻和電感。Re 代表鐵芯損耗，它由渦流損耗和磁滯損耗組成。L e 表示鐵芯的循環磁化效應，其中涉及鐵磁材料磁疇的移動，因此將其建模為電感器。

　　由緊密的繞組間距和繞組到外殼電容產生的寄生電容集中在一起作為一對電容器 C w和 C e，但它們很復雜，因為許多繞??組會產生無數的寄生電容效應。幸運的是，這些電容效應很小，在低頻時可以忽略不計。

　　高頻變壓器

　　由于 1/ω 對磁芯中磁通密度的影響，電感器和變壓器的物理尺寸會隨著工作頻率的增加而縮小。

　　由于圍繞 BH 回路的循環率增加，滯后損耗隨頻率增加而增加，因此，高頻需要非常軟的鐵磁材料。渦流損耗與頻率的平方成正比，因為根據法拉第定律，驅動渦流的感應電壓與 dΦ/dt 成正比。

　　疊層電工鋼芯變壓器用于高達幾千赫茲的頻率。對于超過約 10 kHz 的頻率，通常使用鐵氧體。鐵氧體是陶瓷。它們是金屬氧化物的混合物，主要由鐵、錳、鋅和鎳的氧化物組成。鐵氧體的磁導率要低得多，但電阻率要高得多。感應渦流的大小與材料的電阻成反比，因此渦流 I 2R loss 將隨著電阻率的增加而成比例地下降?！　?/p>