前言：RSA累加器通過以太坊創始人Vitalik的計算，使用RSA累加器后，原本每年2.5 GB的Plasma子鏈數據，可以被壓縮到3.6 MB，壓縮率達到了驚人的99.856%。

然而，這種技術在其最初的設計當中，需要用到可信設置，而來自斯坦福大學的應用密碼學小組則發布了一篇題為《用于IOP和無狀態區塊鏈的累加器批處理技術》的論文，論述了一種通過類組（ class group）而無需可信設置的累加器方法，這些累加器可用于創建無狀態區塊鏈（指節點不需要存儲整個狀態，以確信哪些區塊是有效的），以及用于實現高效的UTXO commitment。

在這篇文章中，以太坊區塊鏈可擴展性和安全研究員Georgios Konstantopoulos對該論文進行了審查，并進行了相關總結，以下為譯文：

在這篇文章中，我們將嘗試深入探索RSA累加器，同時回顧一下斯坦福大學應用密碼學小組最近發表的論文，這篇非常重要的論文由Benedikt Bunz，Ben Fisch和Dan Boneh共同撰寫，其題目為《用于IOP和無狀態區塊鏈的累加器批處理技術》。

強烈建議大家復習下數學，以便更好地理解這一技術。

背景

自1994年以來，累加器便成為了學術界非常關注的一個話題。其類似于默克爾樹（Merkle Tree），并被用于以密碼方式承諾一組數據的知識。稍后，可通過發布證明來證明數據集中子集的成員身份。在默克爾樹（Merkle Tree）結構中，證明被稱為默克爾分支（或默克爾證明），并且承諾數據的大小是以對數形式增長的。

另一方面，累加器允許以恒定的大小證明成員身份，以及為多個元素批處理證明（默克爾樹沒有這一特性）。

本文的重點是描述RSA累加器構建區塊、如何構建成員和非成員身份的證明，以及如何跨多個區塊對它們進行批處理。這種特殊的技術，也在基于UTXO的Plasma中具有應用，并由此產生了Plasma原代變異體。設計一個允許在Plasma中壓縮UTXO集的累加器，需要付出大量的努力。

免責聲明：為了簡單起見，作者模糊處理了這篇文章中的注釋（例如不包括G$中的$U、W\或模塊化算術的mod N）。

術語表（來自［1］的定義）：

累加器：“一個密碼學累加器，其會產生對一組元素的短期約束承諾，以及對集合中任何元素的短期成員身份和非成員身份證明?！?/p>

動態累加器：“支持添加和刪除具有O（1） 成本的元素累加器，其與累積元素數量無關。”

通用累加器：“支持成員和非成員身份證明的動態累加器?！?/p>

批處理：批驗證n個證明，要比驗證單個證明要快n倍。

聚合：在一個常量大小的證明中聚合n個成員證明。

未知順序組：組的順序是其集合中元素的數目。為了保證所提供的證明的安全性，需要生成一組未知順序（否則累加器中使用的模數有已知的因子分解，并且可以創建偽證明）。生成它可通過多方計算完成，但如果生成方串通檢索生成的數的階乘，則這是不安全的。它可通過使用類組在沒有可信設置的情況下生成（注：這點是非常重要的）。

隱序組的簡潔證明

Wesolowski在［2］中提出了指數方案的知識證明，證明者試圖說服驗證者他們知道一個數字x，這樣，在已知基數u下，使得u^x=w成立。

讓我們舉個例子，以2為基數（u=2），w=16，則得出x=4。我們怎么做？我們把X發送給驗證者，它們必須執行2^4，并對照W檢查結果。如果匹配，它們便會相信。以下兩個步驟似乎很明顯：

驗證者必須執行u^x ：對于大數字來說，這是一個代價高昂的操作；

將x傳輸到驗證者：x可能很大，因此傳輸它所需的帶寬可能不??；

讓我們看看有什么協議可以解決這一挑戰。這些協議都是交互式的，這意味著驗證者和證明者互相發送“挑戰”（challenge），這些挑戰在協議的后續步驟中會被使用，以確保協議的安全。

求冪證明（PoE，第3.1節）

首先，讓我們看看如何讓驗證者信服，而不需要它們實際運行整個求冪運算。

求冪證明（注：當前版本的論文中有一個小錯誤，在第8頁中，作者設置q=g^q而不是u^q。

“只有當驗證者能夠比計算u^x更快地計算余數r時，該協議才有用。它解決了求冪問題，但仍然要求證明者向驗證者傳輸一個潛在的大x，或者x是公開的?！?/p>

離散對數知識證明（PoKE， 第3.3節）

相比傳輸x，我們可傳輸r。證明變為（Q，r），而驗證者必須另外檢查r是否小于l（PoKE*協議）。當對手可自由地選擇基數u時，這會是不安全的！

驗證者被證明者愚弄了，他們知道z： u^z=w，而不知道z！

這里破解協議的細節在于，證明者選擇了基數u=g^x，因此x與l是互質（co-prime）的。

我們可確定，上述協議適用于在公共參考字符串（CRS）中編碼和固定的基數g，簡單來說，各方事先就基數g達成一致，并且不能被對手任意選擇。

該協議可通過以下方式進行修復：

對于固定的g，證明z=g^x離散對數x的知識；

證明同一x也是基為u，w的離散對數；

所以最后的協議（PoKE）是：

證明現在是2組元素Q和Q’。 我們能做得更好嗎？

將證明減少到一個組元素，這可通過添加其它交互步驟來完成：

驗證者需要發送一個額外的挑戰\alpha，以便證明者無法創建假證明。

從交互式證明，到非交互式證明

在隨機Oracle模型中，通過使用Fiat-Shamir heuristic，任何交互式協議都可變成非交互式的（假設我們有一個安全的隨機性生成器，例如一個安全的加密哈希函數）。

PoKE2需要兩個交互步驟，一個是由驗證者挑選給證明者的生成器g，一個是發送挑戰值l和a。相反，我們可以哈希當前的“抄本”（transcript），并使用輸出作為這些值。因為我們是在隨機的Oracle模型中操作的，所以如果這些值是由驗證者挑選的（以防證明者作弊，或者它們來自哈希函數）則沒有什么區別，因為這兩者在統計上是不可區分的！

每一方生成挑戰參數，而不需要交互，每次使用哈希函數和協議的當前抄本

上述技術涉及證明函數w=f（x）=u^x（標量值）的原像（preimage）知識。

這些技術也可以擴展到支持同態原像知識的證明，即證明長度n向量x的知識，使得φ（x）=w。

它們也可以在零知識下執行。對于已知g，PoKE需要發送g^x。在驗證協議的正確性時，我們假設存在一個模擬器，該模擬器能夠通過了解驗證內容x來模擬g^x。這會泄漏信息，因此不是零知識的！論文作者所使用的技術包括屏蔽輸入，這些輸入通過使用一種類似Schnorr的協議和佩德森承諾（Pedersen Commitments）技術來得到證明。如果你并不熟悉這些術語，可先訪問一下這些內容。

RSA累加器

我們在術語表中給出了累加器的定義。現在，我們將討論支持批量成員證明和非成員證明的通用累加器的構造。

構造累加器需要從一組未知順序中選擇一個模數N，該模數N可以從RSA組中選擇（例如，如果你信任RSA實驗室，則為RSA-2048），也可以通過可信設置生成。

RSA累加器的初始狀態，是從未知順序g組中采樣的生成器，這意味著累加器中的元素列表為空［］。

如［3］所述，累加器必須具有準交換數學性質。

將元素x添加到累加器a，是通過將累加器提升到元素A’ = A^x mod N 來完成的。（為了簡單起見，此處我們省略mod N）

證明成員身份

證明累加器中某個元素的成員身份，需要顯示該元素的值和驗證因子。

驗證因子或共同因子是累加器中所有值的乘積（除了我們正證明的包含值）

（值，驗證因子）對是包含在集合中的證明。

“如果這個值是一個很大的數字，將其傳遞給驗證者，并且求冪的成本是不可忽略的呢？”

這就是上面的NI-PoKE2協議的由來。相比發送上述所述的證明，我們可以證明驗證因子的知識，其會提供一個有效的證明！這似乎不太可能，因為我們的示例很簡單，但我們將在下面的批處理成員證明部分中，看到可能發生的情況。

證明非成員身份

非成員證明需要計算我們證明的元素的Bezout系數和集合中元素的乘積。在這里，我們可以找到關于這個主題的優秀指南。

“Vitalik Buterin還提出了一種證明非成員身份的方法，其中他提到的想法是不確定的。（沒有提供其安全性的證明，因此如果你要使用它，可能要小心了！）”

哈希素數

奇質數（即不帶2的素數）既需要用于知識證明協議，也需要用于累加器元素。如果累積的元素不是素數，那么對手可在元素不在集合中的情況下，愚弄驗證者包含了該元素。

因此，我們必須將累積元素限制為素數，否則對手可以證明包含累積元素的任何因子（在這種情況下，證明包含3是因為它是6的因子）。

此外，如果NI-PoKE2中的挑戰值l不是素數，那么我們會得到另一種協同因子攻擊，其中攻擊者可以計算q，r，從而愚弄驗證者包含了某個元素，這類似于 PoKE*攻擊。

聚合和批處理證明

回憶一下定義：

聚合：將多個證明組合在一個常量大小的證明中；

批處理：一次性驗證多個證明，而不是單次地驗證所有的證明；

聚合和批處理成員證明是是非常簡單的，只需將被證明的值相乘，并為它們提供一個共同因素：

我們可以很快看出，如果我們想要為很多元素創建成員身份的聚合證明，那么值在傳輸時會變大，并且驗證者需要執行昂貴的指數運算。為此，我們使用NI-PoKE2來證明我們知道因子g^65，而不需要向驗證者發送231，驗證者也不需要進行昂貴的指數計算（我們實現了批量驗證?。?/p>

批處理非成員證明，是通過計算元素 （a’， b’）積的Bezout系數來完成的，然后具有與以前相同的證明（g^a’，b’）。合并驗證因子的大小，與提供兩個獨立的驗證因子大致相同。

這可以通過將證明設置為（g^a’， A^b’） 來解決。為了確保安全，證明者還必須提供一個NI-PoKE2，以證明對b‘的了解。

第3步的NI-PoKE2是為了安全考慮，否則對手可能會設置v = g * d^（-xy），并在不知道b的情況下愚弄驗證者。

這可以通過應用NI-PoE來提高效率，這樣驗證者就不需要在最后一步執行求冪運算。

在一個恒定大小驗證因子的情況下，目前并沒有有效的算法來聚合非成員證明。

移除可信設置

所有的指數運算都關于模N，這是一個具有未知素數因子分解的數字。這是因為提供的所有證明，都在未知順序組的通用組模型中（第2頁），并且需要強RSA假設和自適應根假設。

在不知道相關私鑰的情況下生成公鑰是困難的。如論文第2頁中的［2］所述，我們可通過執行安全的多方計算來創建所需的數字，但必須相信參與受信任設置的各方沒有串通來找回秘密。Wesolowski在［2］中通過所謂的“類組”（class groups）而提出了另一種選擇：

“一個更好的方法是使用虛二次序（imaginary quadratic order）的類組。事實上，通過選擇一個隨機的判別式，我們可以很容易地生成一個虛二次序，當判別式足夠大時，就無法計算類組的順序?！?/p>

目前，Chia正在為有效計算這種“類組”而進行競爭，同時還提供了一份有關其背后所需理論的綜合性論文。

結論

如果你能看到這里，那么祝賀你！

我們簡要介紹了RSA累加器的工作原理，以及如何構造有效證明累加器中元素的成員身份和非成員身份的方案。原論文作者還提供了構造向量承諾的方法，其在不同的索引處有成批的opening，這不是默克爾樹的特征。作者構建了第一個能夠實現O（1）opening的向量承諾方案（這里的opening指證明在承諾中某一指標上某一要素的價值）。

應用例子

這些累加器可用于創建無狀態區塊鏈（指節點不需要存儲整個狀態，以確信哪些區塊是有效的）。它們還可用于實現高效的UTXO承諾，允許用戶在不知道整個UTXO集的情況下發布交易。最后，向量承諾可用于創建簡短的交互式Oracle證明，這一過程比使用默克爾樹（Merkle Tree）結構更為有效。

下一步是什么？

這是一篇非常好的論文，它介紹并形式化了很多可用于區塊鏈結構擴展性的原語。

特別是，RSA累加器已吸引了Plasma研究社區成員的關注，他們正設法利用它來壓縮Plasma Cash的UTXO歷史。最近，ethresear.ch上已經有很多關于如何構造它的文章。因此，在下一篇文章中，我們將對當前的方案、它們的優缺點以及哪一個方案最為有效進行盤點。

對于可利用向量承諾的非同質 Plasma 結構，我也非常感興趣。

誰知道呢，也許已經有人在做這個了？

關于這一話題，接下來的文章題目會是： Plasma中的RSA累加器分類。