你玩過魔方嗎？

小小的正方體上布滿六種不同的顏色，看似旋轉翻飛眼花繚亂，卻總會在某個瞬間完成驚喜變身。魔方作為一種益智玩具，不僅老少皆宜，更是風靡全球，實力堪稱指尖上的藝術。

但你知道嗎？現在不僅人類在玩，連AI機器人也加入了這個游戲陣營。

看似簡單的小小魔方，你知道它的顏色組合有多少種嗎？

4325 億億種

無論什么樣的顏色組合，最少需要多少次才能保證他們都能復原？

20次

大家可能也聽說，玩得好的人都知道魔方的還原口訣（類似獨孤九劍的口訣）。據數學大神們說，世間所有的事物背后都有相應的數學方程去表示或者控制，何況游戲！

其實，魔方所涉及的基本數學理論就是組合最優化。今天，我就給大家分享一下組合最優化的基本知識及工程應用。

01

什么是組合最優化？

通俗地講，組合最優化研究的問題就是討論在眾多的組合方案中，什么樣的方案最優以及如何找出最優方案；

學術地講，組合最優化是一個重要的數學分支，即通過對數學方法的研究去尋找事件的最優編排，分組，次序或篩選等，其一般數學模型是：

其中f(X)是目標函數，g(X)是約束函數，D是定義域。

02

抽象數學表達式具體化

組合最優化領域有很多經典的例子，它們通俗易懂，很適合鍛煉人的數學思維能力，好多奧數競賽的題目就來源于他們。

比如說“旅行商問題”：一個商品推銷員要去若干個（n）城市推銷商品，該推銷員從一個城市出發，需要經過所有城市后，回到出發地，應如何選擇行進路線，才能使總的行程最短。初看起來很簡單，窮舉所有可能性的路線，選擇最短的那個，對于n很小的情況，小朋友都能夠理解，也很容易；但對于n比較大的情況，窮舉遍歷法就不可行了。

這是一個普通人都能秒懂的問題，卻也是至今仍未被完全解決的數學和計算機界難題。除此之外，還有背包問題，匹配問題，排序問題等等，如果誰能夠想清楚這些問題，那數學思維能力應該是杠杠的。

03

組合最優化——AI的引擎

AI是個很熱的話題。一方面，最優化可以說是AI的引擎，AI問題幾乎都能轉化為求解能量/損失函數的優化問題，AI模型訓練的過程就是以損失函數最小化為目標，采用梯度下降的方法不斷更新模型參數的過程；

另外一方面，AI深度學習和強化學習技術也為求解組合最優化問題提供了新思路，即組合最優化的序列決策可以由深度學習或強化學習來替代，求解組合最優化的經典算法可以由強化學習幫助指導算法策略，甚至已經有了專為組合最優化求解而誕生的神經網絡Pointer Network。

04

掌握組合最優化，讓生活和工作乘風破浪

組合最優化是一門應用廣泛、實用性很強的學科，也是一種可以改善生活、提高工作效率的有力工具。

例如，在理財投資中，如何進行投資組合才可以實現收益最大化；在芯片設計過程中，一個計算機芯片需要多少層才能使得同一層的線路互不相交；在運輸調度領域，采用什么樣的列車調度方案可以最大化整個鐵路系統的運行效率；在城建規劃中，如何安排工廠、超市、住宅、學校、醫院等單位的布局，才能有利于城市的平衡發展；在生產計劃安排中，采用什么樣的方案才可以實現利潤最大化。

大到國家政策，中到企業戰略，小到個人選擇都或多或少地涉及到組合最優化。甚至可以說，我們的生活和工作一直在潛意識地進行著最優化組合求解，系統的學習和訓練會讓這個過程更高效便捷。

05

我是一名工程師，在博世有哪些工程項目會用到組合最優化？

目前博世正在如火如荼地進行數字化轉型探索，生產部門有大量的場景和數據等待挖掘，比如產線合理排班，貼片機貼片順序等都有可能涉及到組合最優化。

而工程部的業務主要是跟設計相關的，比如說PCB的布局與布線設計，機械結構件的設計等等。這些設計工作嚴重依賴工程師的經驗，似乎很難進行數字化優化。設計工作就是在滿足一定約束條件下，設計完成某些功能的過程，對這進行高度抽象，不就是組合最優化問題嗎？

在PCB板設計結束后，要對板子上的某些元器件進行保護層設計和保護層噴涂。目前設計依賴設計工程師的設計經驗，噴涂路徑依賴產線工程師的經驗及其反復調試，其缺點是依賴專家經驗，項目周期長。

如果能根據組合最優化原理開發一種PCB元器件保護層自動設計軟件，幫助設計工程師優化保護層設計，幫助產線工程師優化噴涂路徑，提升工作效率，那將是極好的。

于是我們有了下圖設計：

通過使用我們提供的自動化設計軟件，項目的交付時間將縮短85%以上。這可以看作是數字化過程中典型的案例，利用組合最優化技術極大地提升了設計人員的工作效率，也提升了噴涂的生產效率。

除此之外，還有PCB的設計工作，如何借助組合最優化及AI技術幫助PCB設計工程師快速布線和布局是一個有意義但極具挑戰性的問題，這也很值得探索。

總之，組合最優化涉及到我們生活的各個方面，掌握組合最優化不僅使我們能玩好魔方，而且能豐富我們的生活和工作的思路，更能直接提升工程師的工作效率。