復(fù)數(shù)最直觀的理解就是旋轉(zhuǎn)！

4*i*i = -4

就是“4”在數(shù)軸上旋轉(zhuǎn)了 180 度。

那么 4*i 就是旋轉(zhuǎn)了 90 度。

另外，e^t 是什么樣呢？

但當(dāng)你在指數(shù)上加上 i 之后呢？

變成了一個螺旋線。是不是和電磁場很像？（想拿歐拉公式去跟女生炫學(xué)術(shù)的男生注意了：她們，真的，不 CARE）

當(dāng)然，更重要的意義在于復(fù)數(shù)運(yùn)算保留了二維信息。

假如我讓你計算 3+5，雖然你可以輕松的計算出 8，但是如果讓你分解 8 你會有無數(shù)種分解的方法，3 和 5 原始在各自維度上的信息被覆蓋了。

但是計算 3+5i 的話，你依然可以分解出實(shí)部和虛部，就像上圖那樣。

基于以上兩個理由，用復(fù)數(shù)來描述電場與磁場簡直完美到爆棚！

我們即可以讓電場強(qiáng)度與復(fù)數(shù)磁場強(qiáng)度相加而不損失各自的信息，又滿足了電場與磁場 90 度垂直的要求。另外，一旦我們需要讓任何一個場旋轉(zhuǎn) 90 度，只要乘一個“i”就可以了

補(bǔ)充一點(diǎn)：

正弦波在頻域可以看作是自然數(shù)中的“1”，可以構(gòu)成其他數(shù)字的基礎(chǔ)元素。當(dāng)你需要 5 的時候，你可以看成是 1*5（基礎(chǔ)元素的五倍）也看以看成 2+3（一個基礎(chǔ)元素 2 倍與基礎(chǔ)元素 3 倍的和）。這些用基礎(chǔ)元素構(gòu)成新元素的運(yùn)算是線性運(yùn)算。

但是現(xiàn)在你如何用線性運(yùn)算吧 2sin（wt）變換成 4sin（wt+pi/6）呢？

利用歐拉公式，我們可以將任何一個正弦波看作其在實(shí)軸上的投影。假如兩個不同的正弦波，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)為：

好了，現(xiàn)在如果我想用第一個正弦波利用線性變換為第二個，我們就只需要將 A 乘對應(yīng)的系數(shù)使其放大至 B（本例為乘 2），然后將θ1 加上一定的角度使其變?yōu)棣?（本例為加 30 度），然后將得到的第二個虛數(shù)重新投影回實(shí)軸，就完成了在實(shí)數(shù)中完全無法做到的變換。

這種利用復(fù)指數(shù)來計算正弦波的方法也對電磁波極其適用，因?yàn)殡姶挪ǘ际钦也ǎ?dāng)我們需要一個電磁波在時間上延遲 / 提前，或是在空間上前移 / 后移，只需要乘一個復(fù)指數(shù)就可以完成對相位的調(diào)整了。