學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的訣竅：復(fù)數(shù)或向量的運(yùn)用

學(xué)好數(shù)字信號(hào)處理的訣竅之二——復(fù)數(shù)與向量的運(yùn)用

信號(hào)的相位為什么很重要

一、學(xué)好數(shù)字信號(hào)處理的訣竅之二——復(fù)數(shù)和向量的運(yùn)用 在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)之前，我們學(xué)過的實(shí)數(shù)可以稱為一元數(shù)，它只有一個(gè)維度，即大小。復(fù)數(shù)是二元數(shù)，它有兩個(gè)維度，即實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分，也可以說幅度和相位角。由于復(fù)數(shù)的維度比實(shí)數(shù)多一個(gè)，因而得到很多精彩的應(yīng)用。(順便介紹一下，三元數(shù)是不存在的，但是英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)，后來的一些數(shù)學(xué)家陸續(xù)發(fā)明了八元數(shù)、十六元數(shù)，但隨著元數(shù)的增加，其應(yīng)用價(jià)值微乎其微。) 向量是一種既有大小又有方向的量，是和標(biāo)量相對(duì)的，向量在現(xiàn)實(shí)中是廣泛存在的，復(fù)數(shù)處理這種既有大小又有方向的量即向量時(shí)，表現(xiàn)出極大的簡(jiǎn)潔性。復(fù)數(shù)和向量在信號(hào)分析和處理中可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、直觀化，是理解數(shù)字信號(hào)處理非常有力的工具。此外，復(fù)數(shù)在表示既有一定大小、又有一定相位的量如正弦信號(hào)時(shí)，表現(xiàn)出很大的優(yōu)越性。

復(fù)數(shù)的用途表現(xiàn)在它同時(shí)包含了向量的幅度和相位信息，因而給計(jì)算和公式的表達(dá)帶來很大的方便。復(fù)數(shù)是工程中最強(qiáng)大的工具之一，可以這么說，沒有復(fù)數(shù)這種工具，近代工業(yè)文明簡(jiǎn)直是不可想象的。下面舉幾個(gè)例子說明復(fù)數(shù)的應(yīng)用。 1、傅里葉變換。沒有復(fù)數(shù)作為工具，周期信號(hào)分解的表達(dá)式將會(huì)比較復(fù)雜，而用復(fù)數(shù)表達(dá)則異常簡(jiǎn)潔、美觀，便于數(shù)學(xué)分析。 高等數(shù)學(xué)講過傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)容，連續(xù)周期信號(hào)f(t)可以展開為無窮級(jí)數(shù)，設(shè)f(t)的周期為T，則角頻率為Ω = 2π/T，可以分解為：

式中的系數(shù)an(n = 0, 1, 2,…), bn(n = 1, 2, …)分別為：

上面的表達(dá)式物理意義很明確，但是計(jì)算很繁瑣，并且在實(shí)際中無需區(qū)分頻率相同的正弦和余弦信號(hào)，因?yàn)橥l的正弦和余弦信號(hào)之和還是同頻的信號(hào)，只是幅度和相位發(fā)生了改變(下面將談到信號(hào)的相位的重要性)。《信號(hào)與系統(tǒng)》里面引進(jìn)復(fù)指數(shù)形式的信號(hào)后，上面的公式(1)和(2)簡(jiǎn)化為： ? ?

直觀上看，公式(3)比公式(1)和(2)之和要簡(jiǎn)潔很多，它們包含的信息量是完全一樣的，但是式(3)更方便進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。 2、系統(tǒng)函數(shù)。利用復(fù)數(shù)可以很方便地表示信號(hào)經(jīng)過一個(gè)系統(tǒng)(模擬的或數(shù)字的)之后各個(gè)頻率成分的變化情況，因?yàn)橄到y(tǒng)不僅改變輸入信號(hào)各個(gè)頻率分量的幅值大小，也改變相對(duì)相位的大小，而信號(hào)的相位是很重要的物理量，該系統(tǒng)稱為濾波器，可以實(shí)現(xiàn)各種功能。沒有復(fù)數(shù)作為工具，對(duì)系統(tǒng)的變換特性進(jìn)行描述是極其困難的。 下面是一個(gè)有趣的問題：某人向東走1公里后，向左拐走1/2公里，再向左拐走(1/2)2公里，……，如此不停地進(jìn)行下去，問這個(gè)人最后停留在什么位置？ 用復(fù)數(shù)解決很簡(jiǎn)單，初始位置到最后停留位置連線的復(fù)數(shù)為

即某人最終位于起始位置的偏東4/5公里、偏北2/5公里的位置。很多同時(shí)涉及距離和角度的題目用復(fù)數(shù)解決都很簡(jiǎn)單，復(fù)數(shù)在中學(xué)競(jìng)賽中也得到重要應(yīng)用。 二、為什么信號(hào)的相位很重要 任何信號(hào)(周期或非周期，連續(xù)或離散)都可以分解為不同頻率的余弦信號(hào)加權(quán)和。余弦信號(hào)由三個(gè)參數(shù)確定：幅度、相位和頻率，這三個(gè)參數(shù)的地位是同等重要的，相位的重要性可以通過以下幾個(gè)具體例子看出來。

1、兩個(gè)同頻率的余弦信號(hào)相互疊加，當(dāng)相位相同時(shí)將互相加強(qiáng)，一個(gè)實(shí)際的例子是，當(dāng)部隊(duì)過大橋時(shí)，為了避免走正步的頻率和大橋的固有頻率同相而加強(qiáng)，導(dǎo)致共振破壞大橋，因此部隊(duì)過大橋時(shí)都走碎步；當(dāng)兩個(gè)同頻余弦信號(hào)相位正好相反時(shí)，將互相減弱，甚至可以抵消為零。兩個(gè)同頻信號(hào)的疊加，相對(duì)相位的不同將導(dǎo)致結(jié)果差異很大。 2、國(guó)慶典禮上軍人的步伐高度一致，給人一種難以言說的美感和震撼感，從數(shù)學(xué)上來說就是“相位”高度一致。 3、有一句諺語“海上無風(fēng)三尺浪”，這是因?yàn)楹Ｉ喜煌拇欢吉?dú)立產(chǎn)生一個(gè)類似余弦波，很多的波合成時(shí)，在某些相對(duì)相位情況下互相疊加而加強(qiáng)。

4、一個(gè)信號(hào)的不同頻率成分，經(jīng)過一個(gè)系統(tǒng)之后，如果相對(duì)“相位”發(fā)生了改變，即有的頻率成分“超前”了，有的頻率成分“落后”了，那么合成之后的信號(hào)就會(huì)發(fā)生失真，而很多情況是要求信號(hào)不失真地傳輸?shù)模鐖D像信號(hào)等。當(dāng)然，有時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行有目的“失真”處理也是必要的，比如將含有噪聲的信號(hào)進(jìn)行去噪。 總之，掌握好復(fù)數(shù)和向量，是學(xué)好數(shù)字信號(hào)處理等課程的一個(gè)訣竅，這是由復(fù)數(shù)可以同時(shí)表示幅度和相位的性質(zhì)決定的。

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