本文主要講述的是霍夫變換的一些內容，并加入一些在生活中的應用，希望能對讀者對于霍夫變換的內容有所了解。

首先我先說的是，霍夫變換是一個特征提取技術。其可用于隔離圖像中特定形狀的特征的技術，應用在圖像分析、計算機視覺和數字圖像處理領域。目的是通過投票程序在特定類型的形狀內找到對象的不完美實例。

這個投票程序是在一個參數空間中進行的，在這個參數空間中，候選對象被當作所謂的累加器空間中的局部最大值來獲得，所述累加器空間由用于計算霍夫變換的算法明確地構建。此處我們主要介紹的是比較基本的霍夫變換在直線中的應用，例如在圖像中檢測直線（線段），Hough變換的主要優點是對于噪聲有良好的魯棒性。

基礎原理介紹

正如我們上面所介紹的那樣，霍夫變換最簡單的是檢測直線。我們知道，直線的方程表示可以由斜率k和截距b表示（這種表示方法，稱為斜截式，也就是高中的時候學習到的一種常用形式），如下所示：

y=kx+b

如果我們用參數空間表示則為（b，k），即，我們可以用斜率和截距就能表示一條直線。但這種形式會產生一個問題，那就是當我們的直線斜率k為無限大的時候（即垂線），這會使得該直線無法使用斜截式來進行表示，此處我們需要使用到另一種直線的表現形式：黑塞法線式（或者簡稱為法線式）：

r=xcosθ+ysinθ

其中r是原點到直線上最近點的距離（其他人可能把這記錄為ρ，下面也可以把r看成參數ρ，兩者含義相同），θ是x軸與連接原點和最近點直線之間的夾角。

從而我們可以將圖像的每一條直線與一對參數（r，θ）相關聯。由參數（r，θ）構成的平面有時被稱為霍夫空間，用于表示二維直線所構成的集合。

我們經過Hough變換后，我們圓來笛卡爾坐標系中的一個點可以映射到Hough空間中去。

經過原笛卡爾坐標系中的定點（3，4），通過該點的所有可能直線的（r，θ）的關系。顯示了在極坐標對極徑極角平面繪出所有通過該定點的直線， 將得到一條正弦曲線。正弦曲線的形狀取決于，點到所定義原點的距離r。通常，r越大，正弦曲線的振幅越大，反之則會越小。

所以我們可以得到一個結論，給定平面中的單個點，那么通過該點的所有直線的集合對應于（r，θ）平面中的正弦曲線，這對于該點是獨特的。一組兩個或更多點形成一條直線將產生在該線的（r，θ）處交叉的正弦曲線。因此，檢測共線點的問題可以轉化為找曲線相交點的問題。

例：

考慮下面三個點，這里顯示為黑點。

（注：此處也展示了霍夫變換的幾個基本步驟：首先，對每個點均繪制不同角度的線條，這些線全部經過各自的對應點并顯示為實線。其次，對于每條實線，找到經過原點的對應垂線并顯示為虛線。然后找到虛線的長度和角度。這些值顯示在圖表下方的表格中。這對被轉換的三個點中的每一個都重復該過程。然后將結果繪制成圖，有時稱為霍夫空間圖）

曲線相交的點給出的距離和角度表示各個測試點相交的線。

分析上下文，邊緣段的點（一個或多個）的坐標（xi，yi）在圖像中是已知的，并且因此作為參數線等式中的常量，而r與θ是未知變量是我們要尋找的。如果我們繪制由（r，θ）每個定義的可能值（xi，yi）。

笛卡爾圖像空間中的點映射到霍夫參數空間中的曲線（正弦曲線）。這個點到曲線的變換是直線的霍夫變換。當在霍夫參數空間中查看時，在笛卡爾圖像空間中共線的點變得很明顯，因為它們產生在相同（r，θ）點相交的曲線。

霍夫變換提取直線

我們通過將霍夫參數空間量化為有限間隔或累加器單元來實現變換。隨著算法的運行，每個算法都把（xi，yi）轉換為一個離散化的 （r，θ）曲線，并且沿著這條曲線的累加器單元被遞增。累加器陣列中產生的峰值表示圖像中存在相應的直線的相應證明。

此時需要注意的是，現在我們考慮的是直線的霍夫變換。累加器陣列的維度是二維的（也就是r和θ）。

那么對于圖像來說，（x，y）處的每個像素及其鄰域，霍夫變換算法被用于確定該像素是否有足夠的直線證據。如果是，它將計算該線的參數 （r，θ），然后查找參數落入的累加器箱，并增加該箱的值（投票值）。通過查找具有最高值的箱，通常通過查找累加器空間中的局部最大值，可以提取最可能的線，并且讀出它們的（近似的）幾何定義。

找到這些峰值的最簡單方法是通過應用某種形式的閾值，但其他技術可能在不同情況下產生更好的結果。由于返回的行不包含任何長度信息，因此通常有必要在下一步中查找圖像的哪些部分與哪些行匹配。此外，由于邊緣檢測步驟中存在缺陷誤差，通常會在累加器空間中出現錯誤，這可能使得找到合適的峰值以及適當的線條變得非常重要。

線性霍夫變換的最終結果是類似于累加器的二維陣列（矩陣），該矩陣的一個維度是量化角度θ，另一個維度是量化距離r。矩陣的每個元素的值等于位于由量化參數 （r，θ）表示的線上的點或像素的總和。

所以具有最高值的元素表示輸入圖像中代表最多的直線。我們也可以把累計器單元的結果認為是投票值。換句話說，將每個交點看成一次投票，也就是說A（r，θ）=A（r，θ）+1，所有點都如此進行計算后，可以設置一個閾值，投票大于這個閾值的可以認為是找到的直線。

霍夫變換提取圓

而當我們需要去進行圓檢測的時候，我們累加器是三維累加器，在圓檢測的情況下，我們可以知道的是其對應的參數方程為：

（x?a）2+（y?b）2=r2

其中a和b是圓心的坐標并且是r半徑。在這種情況下，算法的計算復雜度開始增加，因為我們現在在參數空間和三維累加器中有三個坐標。（通常，累加器陣列的計算和大小隨著參數數量的增加而多項式增加，因此，基本霍夫技術僅適用于簡單曲線。）

它的算法步驟如下：

1.首先創建累加器空間，由每個像素單元格構成。最初每個單元格都設置為0。

2.然后對于每個圖像中的邊緣點（i，j），按照圓方程（i?a）2+（j?b）2=r2將那些可能是一個圓中心的單元格值進行累加。這些單元格在等式中由字母a表示。

3.然后在前面的步驟中由每個可能找到的值a，區找到滿足等式的所有可能值b。

4.搜索累加器空間中的局部最大值。這些單元格表示算法檢測到的圓圈。

如果我們不知道事先定位的圓的半徑，可以使用三維累加器空間來搜索具有任意半徑的圓。當然，這在計算上更加昂貴。

該方法還可以檢測部分位于累加器空間外部的圓，只要該圓的區域內仍有足夠的圓。

總結

霍夫變換在很多地方都有著應用，如果是在OpenCV（Python）下想要使用霍夫變換，只需要使用函數cv2.HoughLinesP函數，需要注意的是該函數并不是標準的霍夫變換，其為：概率霍夫變換，它只分析點的子集并估計這些點都屬于一條直線的概率，這是標準霍夫變換的優化版本。該函數計算代價少，執行更快，但準確度有一定程度的下降。

cv2.HoughLinesP函數的語法如下：

cv2.HoughLinesP（image，rho，theta，threshold，minLineLength，maxLineGap）

其參數分別解釋如下：

·image：要處理的二值圖像；·rho：線段的幾何表示，表示取距離的間隔，一般取1；·theta：線段的幾何表示，表示取角度的間隔，一般取np.pi/180；·threshold：閾值，低于該閾值的會被忽略；·minLineLength：最小直線長度，小于該長度會被忽略；·maxLineGap：最大線段間隙，大于此間隙才被認為是兩條直線。

霍夫變換在自動駕駛中也有所應用，可以如下面一個簡單例子所示，其實現的是對我們畫面中的道路直線進行的檢測：

import osimport reimport cv2import numpy as np

# 初始化一個掩膜def mask_create（）： img = cv2.imread（‘0.png’） zero = np.zeros_like（img［：， ：， 0］） poly = np.array（［［50， 270］， ［220， 160］， ［345， 160］， ［480， 270］］） zero_fixed = cv2.fillConvexPoly（zero， poly， （255， 255， 255）） return zero_fixed

# 掩膜計算，傳入的圖像需要是BGR圖def mask_calc（frame， mask）： img = cv2.bitwise_and（frame［：， ：， 0］， frame［：， ：， 0］， mask=mask） return img

# 圖像閾值操作，傳入的圖片需要是灰度圖def threshold（low， high， img）： ret， thresh = cv2.threshold（img， low， high， cv2.THRESH_BINARY） return thresh

# 對圖像進行霍夫變換，輸入的圖像需要是二值圖，距離r為1，旋轉角為1度，投票閾值為30，最遠距離為200像素# 并在原圖上進行繪制圖像def hough（thresh， img）： lines = cv2.HoughLinesP（thresh， 1， np.pi/180， 30， maxLineGap=200） try： for line in lines： x1， y1， x2， y2 = line［0］ img = cv2.line（img， （x1， y1）， （x2， y2）， （255， 255， 255）， 3） except： return img else： return img# 主函數def mainn（）： # 讀取數據 col_frames = os.listdir（‘。。/frames/’） # 排序 col_frames.sort（key=lambda f： int（re.sub（‘D’， ‘’， f））） # 讀取畫面每一幀 for i in col_frames： img = cv2.imread（i） # 構建一個掩膜 mask = mask_create（） # 對原圖像進行掩膜計算 masked_frame = mask_calc（img， mask） thresh = threshold（135， 255， masked_frame） img = hough（thresh， img） cv2.imshow（‘img’， img） if cv2.waitKey（40） == ord（‘q’）： break cv2.destroyAllWindows（）

mainn（）

編輯：jq