-----1億是1千萬的10倍？-----

早期筆者使用矩量法求解線性方程組，在不使用快速多級方法，自由度達(dá)到3萬時(shí)，臺式機(jī)上已經(jīng)無法求解出，8G的機(jī)器內(nèi)存不夠用。對于滿秩矩陣的線性方程組，常規(guī)求解方法時(shí)間復(fù)雜度為n^3(n的3次方)。

對于自由度1千萬以下稀疏矩陣的求解，好的臺式機(jī)基本能應(yīng)付，而當(dāng)自由度達(dá)到1億的時(shí)候，簡單的將硬件乘以10倍完全不能滿足要求。因?yàn)橛?jì)算的空間復(fù)雜度，時(shí)間復(fù)雜度并不是線性，通常是NlogN，N^2或者更高。當(dāng)自由度達(dá)到1億時(shí)，不僅需要對硬件核心部件CPU，內(nèi)存擴(kuò)容，而且在磁盤陣列，I/O，并發(fā)計(jì)算，GPU，網(wǎng)絡(luò)，帶寬等方面都提出了更苛刻的要求。

在算法方面看，減少網(wǎng)格密度，在物理量梯度大的地方加密，無變化的地方將網(wǎng)格變稀疏，可以有效減少計(jì)算量；另外優(yōu)化求解算法本身，使其更加易于并行化計(jì)算。

從目前來看，計(jì)算機(jī)硬件計(jì)算能力的更新速度，跟不上指數(shù)級求解規(guī)模的增加速度。這也是量子力學(xué)發(fā)展的最大推動力！

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針對該問題，本文稍微展開一下。

這里的1億，主要指仿真中最終求解線性方程組的自由度個(gè)數(shù)，就是剛度矩陣的規(guī)模，即在方程Kx=b中，K的規(guī)模為1億*1億的方陣。

從硬件角度看，性能瓶頸首先在內(nèi)存。目前臺式機(jī)的內(nèi)存普遍在64G以下。對于1千萬的稀疏矩陣，存儲勉強(qiáng)夠用，加上計(jì)算，一般都不夠用，在windows系統(tǒng)上如果內(nèi)存不夠用，會啟用虛擬內(nèi)存，也就是用頁面交換把硬盤當(dāng)內(nèi)存使用，頻繁讀寫磁盤，這時(shí)候性能會大大降低。而對于1億自由度的矩陣，可能剛度矩陣組裝都不夠用。對于一億自由度的矩陣，首先要保證內(nèi)存能夠存儲，一般的方法是使用具有超大內(nèi)存的工作站服務(wù)器。

內(nèi)存問題解決后，再就是CPU性能。前面講過，通常矩陣計(jì)算的空間復(fù)雜度，時(shí)間復(fù)雜度并不是線性，而是NlogN，N^2或者更高。使用單核單線程，耗費(fèi)的時(shí)間是條曲線上升趨勢。雖然稀疏矩陣采用了CSR等方法壓縮數(shù)據(jù)，但自由度的平方數(shù)據(jù)仍然還是海量數(shù)據(jù)。現(xiàn)在的CPU普遍多核多個(gè)邏輯線程。這也要求在進(jìn)行迭代法求解方程組時(shí)，合理的進(jìn)行矩陣分解，參考一篇文章入門仿真軟件性能優(yōu)化，采用分治的方法適應(yīng)硬件的需求。

這里需要注意的是單核CPU的性能以及CPU的數(shù)量。根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分治！

在滿足了單機(jī)CPU運(yùn)行之后，再就是集群分布式計(jì)算。采用多臺計(jì)算設(shè)備，比如刀片等專業(yè)服務(wù)器，超算等等，這里需要考量的是負(fù)載均衡和網(wǎng)絡(luò)帶寬，即保證單臺設(shè)備的利用率和整體進(jìn)度保持一致。對于超大量的計(jì)算，最好能軟件實(shí)現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃，對于頻繁交換數(shù)據(jù)的計(jì)算，要注意網(wǎng)絡(luò)帶寬的瓶頸。

再從軟件方面來看，根據(jù)筆者的研發(fā)經(jīng)驗(yàn)，相當(dāng)一部分仿真的性能問題可以通過軟件以及改進(jìn)算法解決。在前處理中，盡量避免軟件中高頻操作，大數(shù)據(jù)拷貝，大量細(xì)小數(shù)據(jù)操作等。如果必須有，對操作進(jìn)行采樣性能評估，保證在可接受范圍內(nèi)。在求解線性方程組前，提取矩陣特征，盡可能在最細(xì)度上根據(jù)矩陣特征，同時(shí)結(jié)合模型和業(yè)務(wù)的特點(diǎn)，選取最合適的求解方法。

其實(shí)目前對于數(shù)值計(jì)算方法而言，其算法都是公開透明的，商業(yè)軟件之間真正較量的是業(yè)務(wù)模型的準(zhǔn)確性，算法的穩(wěn)定性以及效率。而這也恰恰是每個(gè)軟件可以改進(jìn)和提升的地方

2004年，ANSYS解出了1億自由度的模型，2008年，ANSYS解出了10億自由度的模型。即使現(xiàn)在來看，我們認(rèn)為自由度超過1千萬的模型是個(gè)大模型，所以1億自由度的模型仍然可以認(rèn)為是超大模型，且只能在超大的服務(wù)器上運(yùn)行，可以想象，隨著硬件的提升和算法的改進(jìn)，實(shí)際應(yīng)用中會有越來越多的超1億自由度的模型求解。

回到開始的問題，“一億”是“一千萬”的十倍嗎？顯然不是。

最后還是以業(yè)內(nèi)的一句話作為結(jié)束語：

“如果你的仿真還沒有受到硬件的限制，那說明你的仿真還沒有入門”。

編輯：fqj