在重力作用下，兩個固定點之間懸掛的小鏈條是什么形狀？這就是經典的懸鏈線問題，在我們生活中也非常常見，比如兩根電線桿之間的電纜。

牛頓力學

解決這個問題的常規方法是進行受力分析。如上圖所示，線的每一點都處于靜力平衡狀態，并且假設線的單位長度質量為λ，所以mg=λgdx。用曲線y(x)來表示線的形狀，由力的平衡我們可以得到以下方程：

解上面這個微分方程，我們可以得到y=(λg/2T)x2。當然，這是以線的最低點為原點，所以幾個積分常數為零。所以，線的形狀是一條拋物線。

事實上，在上面的分析中有隱藏的近似值。首先，從x到x+dx之間的線的長度實際是ds，而不是dx。其次，上述分析假設線的張力沒有變化，對于幾乎接近水平的線來說是一個很好的近似。

但實際上，線的張力隨著繩子的高度增加。接下來，我們就實際情況進行分析。

如上圖所示，線的底部張力為T?，在距離底部s處的張力為T，并且與水平方向夾角為θ。那么水平方向力的平衡方程為：Tcosθ=T?，豎直方向力的平衡為：Tsinθ=λgs，于是就有tanθ=λgs/T?=s/a，其中a=T?/λgs為一常數，與具體情況有關。

現在，我們已經有了懸鏈線的方程，只不過是用θ和s表示，但我們想要的是用水平位置x和豎直位置y表示。我們已經有了斜率dy/dx=tanθ=s/a，并且還有無窮小量之間的關系：dx2+dy2=ds2。把這兩個方程放在一起，就可以得到：

重新排列一下就可以得到：

我們令s=asinhξ，則ds=acoshξdξ，代入上式就可以得到dξ=dx/a，兩邊積分就得到ξ=x/a+b，其中b是積分常數。因此，s=asinh(x/a+b)。在上面我們得到dy/dx=s/a，所以ady=sdx=asinh(x/a+b)dx，最后積分得到懸鏈線方程y=acosh(x/a+b)+c，其中c是積分常數。兩個常數b和c可以根據坐標軸的選取進行確定。

拉格朗日力學

在以前的文章中，我們用最小作用量原理推導了廣義相對論中的測地線方程、量子場論中的基本方程，今天我們繼續用它來求懸鏈線方程。首先，懸鏈線處于靜止狀態沒有動能，所以我們要求的就是勢能的最小值。

審核編輯：劉清