摘要

深度網(wǎng)絡(luò)在從大量數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)模式方面表現(xiàn)出色。另一方面，許多幾何視覺任務(wù)被指定為優(yōu)化問題。

為了將深度學(xué)習(xí)和幾何視覺無縫地結(jié)合起來，至關(guān)重要的是進(jìn)行端到端的學(xué)習(xí)和幾何優(yōu)化。

為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們提出了BPnP，這是一個(gè)新穎的網(wǎng)絡(luò)模塊，通過Perspective-nPoints（PnP）求解器反向傳播梯度，以指導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)更新。

基于隱式微分，我們表明一個(gè) "獨(dú)立的 "PnP求解器的梯度可以被準(zhǔn)確有效地導(dǎo)出，就像優(yōu)化器塊是一個(gè)可微分的函數(shù)。

我們通過將BPnP納入一個(gè)深度模型來驗(yàn)證它，該模型可以從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中學(xué)習(xí)相機(jī)的內(nèi)在因素、相機(jī)的外在因素（姿勢(shì)）和三維結(jié)構(gòu)。

此外，我們開發(fā)了一個(gè)用于物體姿勢(shì)估計(jì)的端到端可訓(xùn)練管道，該管道通過將基于特征的熱圖損失與二維-三維重投影誤差相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了更高的準(zhǔn)確性。

由于我們的方法可以擴(kuò)展到其他優(yōu)化問題，我們的工作有助于以一種原則性的方式實(shí)現(xiàn)可學(xué)習(xí)的幾何視覺。

主要貢獻(xiàn)

我們的主要貢獻(xiàn)是一個(gè)名為BPnP的新型網(wǎng)絡(luò)模塊，它包含了一個(gè)PnP求解器。BPnP通過PnP "層 "反向傳播梯度，以指導(dǎo)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重的更新，從而利用既定的目標(biāo)函數(shù)（二維-三維重投影誤差的平方和）和幾何視覺問題的求解器實(shí)現(xiàn)端到端的學(xué)習(xí)。

盡管只結(jié)合了一個(gè)PnP求解器，我們展示了BPnP如何被用來學(xué)習(xí)有效的深度特征表征，用于多種幾何視覺任務(wù)（姿勢(shì)估計(jì)、運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)、相機(jī)校準(zhǔn)）。

我們還將我們的方法與最先進(jìn)的幾何視覺任務(wù)的方法進(jìn)行比較。從根本上說，我們的方法是基于隱式微分的。

主要方法

反向傳播的PnP算法： 讓g表示一個(gè) "函數(shù) "形式的PnP求解器



從n個(gè)2D-3D的對(duì)應(yīng)關(guān)系中返回?cái)z像機(jī)的6DOF姿態(tài)y和其內(nèi)部參數(shù)K∈R3×3



其中(xi , zi)是第i個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。讓?duì)?-|y, K)是三維點(diǎn)在圖像平面上的投影變換，姿態(tài)為y，相機(jī)本征為K。

從本質(zhì)上講，g的 "評(píng)估 "需要解決優(yōu)化問題如下：





ri表示第i對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的重投影誤差。



πi是三維點(diǎn)zi在圖像平面上的投影。

我們的最終目標(biāo)是將g納入一個(gè)可學(xué)習(xí)的模型中，其中x、z和K可以是一個(gè)深度網(wǎng)絡(luò)的（中間）輸出。此外，公式（4）的求解器應(yīng)該被用來參與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的學(xué)習(xí)。為此，我們需要把g當(dāng)作一個(gè)可微調(diào)的函數(shù)，這樣它的"梯度 "就可以反向傳播到網(wǎng)絡(luò)的其他部分。接下來我們將詳細(xì)介紹如何對(duì)反向傳播的梯度進(jìn)行計(jì)算。

1. 隱式函數(shù)定理（IFT） 這里簡(jiǎn)單公式推導(dǎo)了IFT隱式函數(shù)定理。







IFT允許計(jì)算一個(gè)函數(shù)g相對(duì)于其輸入a的導(dǎo)數(shù)，而不需要函數(shù)的明確形式，但有一個(gè)函數(shù)f約束a和g(a)。

2. 構(gòu)造約束函數(shù)f

為了調(diào)用隱式微分的IFT，我們首先需要定義約束函數(shù)f(a, b)。對(duì)于我們的問題，我們使用所有四個(gè)變量x、y、z和K來構(gòu)造f。

但我們將f視為一個(gè)雙變量函數(shù)f(a, b)，其中a在{x, z, K}中取值--取決于要得到的偏導(dǎo)--而b=y（即g的輸出姿勢(shì)）。

為了維護(hù)約束函數(shù)f(a,b)，我們利用了優(yōu)化過程的靜止約束。

在這里，將PnP求解器的目標(biāo)函數(shù)g表示為：



由于PnP求解器的輸出姿態(tài)y是目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)，所以可以通過對(duì)目標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)與y的關(guān)系來建立一個(gè)靜止約束，即：



給出一個(gè)PnP求解器的輸出姿勢(shì)y = [y1, ..., ym] T，我們構(gòu)建f，可以寫為：





3. 前向和反向傳播

我們對(duì)g的PnP公式基本上是執(zhí)行最小二乘法（LS）估計(jì)，這對(duì)離群值（x、z和K的惡劣誤差）并不穩(wěn)健。

另外，我們可以采用一個(gè)更穩(wěn)健的目標(biāo)，如加入M-估計(jì)器[56]或使離群值的數(shù)量最大化[15]。

然而，我們的結(jié)果表明，LS實(shí)際上更合適，因?yàn)樗鼘?duì)輸入測(cè)量中的誤差的敏感性鼓勵(lì)學(xué)習(xí)快速收斂到不產(chǎn)生x、z和K中的異常值的參數(shù)。

相反，一個(gè)穩(wěn)健的目標(biāo)會(huì)阻止異常值的誤差信號(hào)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不穩(wěn)定。

鑒于（4），解算器的選擇仍然存在。

為了進(jìn)行隱式微分，我們不需要精確地解決（4），因?yàn)閏ij只是（4）的靜止條件，任何局部最小值都能滿足。

為此，我們采用Levenberg-Marquardt（LM）算法，該算法保證了局部收斂。

作為一種迭代算法，LM在求解（4）時(shí)需要初始化y（0）。

我們通過將(1)重寫為："(1)"來明確這種依賴關(guān)系：



在反向傳播中，我們首先構(gòu)建f，然后得到g相對(duì)于其每個(gè)輸入的雅可比系數(shù)，即：



給出輸出梯度，BPnP返回輸入梯度：



算法流程如下圖所示：



主要結(jié)果：










審核編輯：劉清