示例6–估計儲罐中液體的溫度

我們想估計儲罐中液體的溫度：

我們假設在穩定狀態下，液體溫度是恒定的，然而，真實液體溫度是存在一些波動的，我們可以用以下方程描述該動態系統狀態：

xn=T+wn

T是恒定溫度wn是具有方差q的隨機過程噪聲

數值示例：

假設真實溫度為50攝氏度我們假設模型是準確的，因此，我們將過程噪聲方差（q）設置為0.0001測量誤差（標準偏差）為0.1攝氏度。每5秒測量一次。每個測量點對應的真實液體溫度值為：49.979℃、50.025℃、50℃、50.003℃、49.994℃、50.002℃、4.9.999℃、50.006℃、49.998℃和49.991℃。測量值為：49.95℃、49.967℃、50.1℃、50.106℃、49992℃、49.819℃、49933℃、50.007℃、50.023℃和49.99℃。下表對真實液體溫度和測量值進行了比較：

迭代0

在第一次迭代之前，我們必須初始化卡爾曼濾波器并預測下一個狀態（即第一個狀態）。

初始化

我們不知道儲罐中液體的真實溫度，我們的猜測是10℃

=10

℃我們的猜測很不精確，因此我們將初始化估計誤差σ設置為100，初始化的估計不確定度是誤差方差（σ2）：

p0,0=1002=10,000

方差非常大，如果我們用一個更有意義的初始化值，我們能夠讓卡爾曼濾波器更快地收斂。

預測

現在，我們將根據初始化值預測下一個狀態，由于我們的模型是恒定的，預測的估計值等于當前的估計值：

=10

℃推導估計不確定度（方差）：

p1,0=p0,0+q=10000+0.0001=10000.0001

迭代1步驟1-測量測量值是：

z1= 49.95

℃由于測量誤差為0.1（σ），方差（σ2）為0.01；因此，測量不確定度為：

r1=0.01

步驟2-更新

計算卡曼增益：

卡爾曼增益幾乎為1，即我們的估計誤差遠大于測量誤差，因此，估計的權重可以忽略不計，而測量權重幾乎為1。估計當前狀態：

更新當前估計的不確定度：

步驟3-預測

由于我們系統是恒定的，即液體溫度不變：

℃推導估計不確定值（方差）為：

p2,1=p1,1+q=0.01+0.0001=0.0101

迭代2步驟1-測量

測量值：

z2= 49.967

℃由于測量誤差為0.1（σ），方差（σ2）為0.01；因此，測量不確定度為：

r2=0.01

步驟2-更新

計算卡曼增益：

卡爾曼增益為0.5，即，估計權重和測量權重相等。估計當前狀態：

更新當前估計的不確定性：

步驟3-預測

由于我們系統是恒定的，即液體溫度不變：

℃推導估計不確定度（方差）為：

P3,3=p2,2+q= 0.005+0.0001=0.0051

迭代3-10

下表總結了連續迭代的計算：

下表對真實值、測量值和估計值進行了比較：

如圖所見，估計值向真實值收斂，下表顯示了估計的不確定性：

估計的不確定度迅速下降，10次測量后，估計不確定度（σ2）為0.0013，即估計誤差標準偏差為：σ=0.036℃。因此，我們可以說液體溫度估計值為：49.988±0.036℃

正如你所看到的，卡爾曼增益正在逐步下降，使得測量重量越來越小。

總結：

在本例中，我們使用一維卡爾曼濾波器測量液體溫度，盡管系統包括隨機過程噪聲，但卡爾曼濾波器可以提供良好的估計。