鎖相環(huán) (PLL) 在當今的高科技世界中無處不在。幾乎所有商業(yè)和軍用產(chǎn)品都在其運行中使用它們，相位（或 PM）噪聲是一個主要問題。頻率（或 FM）噪聲密切相關(guān)（瞬時頻率是相位的時間導(dǎo)數(shù)）并且通常在相位噪聲的保護傘下考慮（也許兩者都可以被認為是“角度噪聲”）。幅度（或 AM）噪聲是另一個考慮因素。

雖然兩者都會影響 PLL 性能，但振幅噪聲通常是自限性的，不會產(chǎn)生任何影響。因此，PLL 輸出和 RF 組件的相位噪聲是主要問題。當然，輸出相位噪聲是最重要的問題——它主要取決于每個組件的相位噪聲。

許多因素都會導(dǎo)致元件相位噪聲，例如電源、EMI 和半導(dǎo)體異常等等。了解這些因素使我們能夠?qū)嵤┙M件相位噪聲的緩解策略，并最終實施輸出相位噪聲。

我們討論的 PLL 屬于模擬硬件類型，而不是數(shù)字或軟件類型。這種 PLL 的一般拓撲結(jié)構(gòu)是一個單環(huán)路系統(tǒng)，其中包含精密參考、參考分頻器、反饋分頻器、可能的預(yù)分頻器、電壓或電流（也稱為電荷泵）鑒相器、環(huán)路濾波器和壓控振蕩器 (VCO) .這些組件可能都是分立的，或者其中一些可能包含在 IC 中。無論如何，我們展示了如何分析一般的相位噪聲，以及 RF 分量相位噪聲如何通過 PLL 傳播以確定其輸出相位噪聲。

在第 1 部分中，我們討論了相位噪聲的一些簡要理論和典型測量及其分析（建模、仿真和傳播），并詳細展示了大多數(shù)計算機輔助設(shè)計 (CAD) 應(yīng)用程序使用的方法。

相位噪聲的簡要理論和典型測量

相位噪聲是一個重要而復(fù)雜的課題，研究正在進行中，對其起源的理解也很脆弱，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也有問題。然而，許多近似值和變通方法被用來產(chǎn)生極好的理論和實踐結(jié)果。1,2,3這是一個成熟的學(xué)科，有很多可用的文獻。有幾種儀器可以精確測量相位噪聲，并且無數(shù)帶有 PLL 的現(xiàn)場系統(tǒng)都具有受控的相位噪聲特性。

在這里，我們簡要回顧時域和頻域中的相位噪聲理論，以及基帶 (BB) 領(lǐng)域（對 RF 載波信號進行相位調(diào)制的 BB 噪聲信號）和 RF 領(lǐng)域（RF由 BB 噪聲信號進行相位調(diào)制的載波信號）。

此外，我們還總結(jié)了頻域中兩個領(lǐng)域的典型相位噪聲測量，當然，它們是同一現(xiàn)象的不同等效表示，并給出相同的結(jié)果。

BB 領(lǐng)域被認為是不太重要的領(lǐng)域，但對于相位噪聲的起源很重要，并且提供比 RF 領(lǐng)域更好的測量精度。RF 領(lǐng)域被認為是更重要的領(lǐng)域，并且對相位噪聲的可觀察表現(xiàn)很感興趣，盡管它的測量精度不如 BB 領(lǐng)域。1,8此外，我們調(diào)查了兩種測量類型的等效性。

正如所有物理學(xué)中眾所周知的那樣，存在確定性和非確定性（也稱為隨機、隨機或概率）過程。在 PLL 中，這些過程是信號，可以在時域和頻域兩個域中表示，兩個域通過傅立葉變換通過變換理論相關(guān)聯(lián)。

要使用（在本例中為連續(xù)）變換理論，系統(tǒng)被建模為（連續(xù)）線性時不變網(wǎng)絡(luò)，這意味著 PLL 必須處于鎖定狀態(tài)。相反，處于解鎖狀態(tài)的 PLL 模型是非線性的；因此，不能應(yīng)用變換理論。

此外，域之間的轉(zhuǎn)換對于確定性信號是直接的，對于隨機信號是間接的。直接意味著直接在時域和頻域之間進行變換，因為存在直接變換。間接是指域之間的轉(zhuǎn)換有一個中間步驟，就是計算隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，取其時間平均，然后進行變換，因為直接變換是不存在的。6個

然后，在 RF 系統(tǒng)或 RF 組件中，當已知和未知來源的內(nèi)部和/或外部 BB 隨機（噪聲）信號對系統(tǒng)或組件的內(nèi)部 RF 確定性（載波）進行相位調(diào)制時，會產(chǎn)生相位噪聲） 信號。當然，相位噪聲是一種隨機現(xiàn)象或信號，因此充滿了間接變換。

通常，對于頻域中的隨機信號，作為電壓譜密度 (VSD) 的頻譜是不存在的。然而，頻譜確實以功率譜密度 (PSD) 的形式存在，只有幅度信息而沒有相位信息。相比之下，對于頻域中的確定性信號，頻譜通常確實以 VSD 形式存在，具有幅度和相位信息，當然，擴展后也具有 PSD。

此外，在 BB 領(lǐng)域的頻域中，頻譜是低通（或準低通）函數(shù)，而對于 RF 領(lǐng)域，頻譜是帶通函數(shù)。此外，在本次討論中，我們僅使用正單邊 (OS) 頻譜和正單邊帶 (SSB) 相位噪聲信息，而不是雙邊 (TS) 頻譜和雙邊帶 (DSB) 相位-噪音信息。

我們還注意到，在時域中，相位噪聲通常稱為相位抖動，而在頻域中，它通常稱為規(guī)定相位噪聲。這兩個域中的現(xiàn)象通過瞬時頻率定義為相位的時間導(dǎo)數(shù)而相關(guān)聯(lián)。1,8,10

考慮到上述背景，我們簡要回顧了時域和頻域的一些理論以及BB 領(lǐng)域的域之間的轉(zhuǎn)換。在這個領(lǐng)域，我們的理論和分析原則上基本上存在，因為我們的隨機（噪聲）信號在時域（這是我們的分析開始的地方）沒有解析表達式。因此，經(jīng)過變換后，頻域上沒有解析表達式。我們有以下數(shù)學(xué)表示和變換步驟：6,7,8

1.時域函數(shù)或相位波形，它是一個真實的（非復(fù)雜的）隨機過程，具有零均值高斯概率密度函數(shù)，?(t)：

其中t是時間。

2. (1)的自相關(guān)函數(shù)，R?(t,τ)：

其中τ是測量之間的正時間增量，Eop{...}是統(tǒng)計平均運算符。

3. 等式 2 的時間平均值的傅立葉變換，給出非歸一化 (UN) BB頻域函數(shù)或 PSD，W?(ξ)或WdB?(ξ)：

其中ξ是頻率，Aop{...}是時間平均算子，F(xiàn)op{...}是傅里葉變換算子。典型的相位波形圖及其 UN BB PSD如圖 1a 和 1b所示。

1. (a) 基帶 (BB) 相位波形 ?(t)，(b) 非歸一化 (UN) BB 功率譜密度 (PSD)，Wdb ? (ξ)，(c) 的相位噪聲理論中的典型圖) RF 電壓波形 v(t)，以及 (d) UN RF PSD，Wdbv(ξ)。

接下來，我們簡要回顧時域和頻域中的類似理論以及射頻領(lǐng)域的域間轉(zhuǎn)換。在這個領(lǐng)域，我們的理論和分析是相當分析的，因為在時域中我們的確定性（載波）信號有一個相當分析的表達式（這又是我們分析的起點）。因此，經(jīng)過變換后，在頻域上有一個相當解析的表達式。

對于≤ 0.2 弧度（≤ 11.5°）的“合理”相位波形偏差（也稱為小角度...、小調(diào)制指數(shù)...或窄帶 PM...近似值），其中 PM 頻譜與DSB AM 頻譜——這是所有實際相位噪聲問題的情況——我們有以下數(shù)學(xué)表示和變換步驟（為簡潔起見未顯示細節(jié)）：7、8、10

4.時域函數(shù)或電壓波形（也是BB參數(shù)的函數(shù)），v(t)：

其中V是統(tǒng)計平均振幅，f0是載波頻率，Θ是初始相位（V是一般振幅的特例，V + a(t)，其中a(t)是統(tǒng)計零均值a(t)= 0的振幅噪聲，因為如前所述，它是自我限制的并且沒有任何后果）：

5. 等式 4 的自相關(guān)函數(shù)（同樣也是 BB 參數(shù)的高斯概率密度函數(shù)），Rv(τ)：

其中Rφ(0)是Rφ(τ)，其中τ = 0，這是φ(t)的方差。

6. 等式 4 的時間平均值的傅立葉變換（同樣也是 BB 參數(shù)的函數(shù)）給出 UN RF頻域函數(shù)或 PSD，Wv(ξ)或WdBv(ξ)：

其中d(ξ–f0)是 Dirac delta 或單位脈沖函數(shù)，W?(ξ–f0)是 UN BB PSD，W?(ξ)，通過調(diào)制過程從 BB 領(lǐng)域轉(zhuǎn)換到 RF 領(lǐng)域。典型的電壓波形圖及其 UN RF PSD如圖 1c 和 1d所示。

需要注意的是，如果?(t)是嚴格平穩(wěn)的（一個合理的假設(shè)），則可以證明v(t)至少是廣義平穩(wěn)的。在這種情況下，Weiner-Khinchin 定理成立，R?(t,τ)和Rv(t,τ)僅成為 τ 的函數(shù)，[R?(t,τ)→R?(τ)和Rv(t,τ)→Rv(τ)]，因此不需要找到R?(τ)和Rv(τ)的時間平均值。因此，W?(ξ)和Wv(ξ)是R?(τ)和Rv(τ)本身的傅里葉變換。1,6,7,9

然后，根據(jù)上述簡要理論，我們總結(jié)了頻域中 BB 和 RF 領(lǐng)域相位噪聲的典型測量。

BB 領(lǐng)域的測量

在上面的 UN BB PSD 中，選擇了一個特定的頻率，并將其在 1 Hz 帶寬中的功率除以低通頻譜上的總積分功率，得到歸一化 (NM) BB PSD，L?(ξ)或LdB?(ξ)：

其中ξ是特定頻率，Pz是總積分低通功率，dBz 是相對于Pz的分貝數(shù)。測量是間接的，使用信號源分析儀，解調(diào)、測量、處理和顯示 BB 信號以產(chǎn)生L?(ξ)或LdB?(ξ)[W?(ξ)包含 DSB 信息，因此因子L?(ξ)的計算需要 2給 SSB 信息]。它被認為比在 RF 領(lǐng)域所做的更準確。1,8

射頻領(lǐng)域的測量

在上面的 UN RF PSD 中，選擇了一個特定的載波偏移頻率。它在 1 Hz 帶寬內(nèi)的功率除以帶通頻譜上的總積分功率，得到 NM RF PSD、Lv(f)或LdBv(f)：

其中f是載波的特定偏移頻率 (f=ξ? f0其中ξ≥f0),Pc是總積分帶通功率，dBc 是相對于Pc的分貝數(shù)。測量是直接的，使用具有相位噪聲處理能力的頻譜分析儀測量、處理和顯示射頻信號以產(chǎn)生Lv(f)或LdBv(f)。它被認為不如在 BB 領(lǐng)域中所做的那樣準確。1,8

兩種測量的等效性

如前所述，L?(ξ)或LdB?(ξ)和Lv(f)或LdBv(f)是同一現(xiàn)象的不同表示，邏輯上應(yīng)該對所有實際相位噪聲問題給出相同的結(jié)果（其中，也如前所述，相位偏差被認為是“合理的”）。因此，對于這種情況，它們是等價的并且給出相同的結(jié)果，稱為 NM PSD、L(f)或LdB(f)。BB 和 RF 領(lǐng)域下標 (?和v) 被刪除并且不使用下標（即使是“合理”條件也有一些異常，必須使用具有學(xué)術(shù)和實踐論據(jù)的近似值）：1,10

其中，典型顯示的f是 x 軸載波的偏移頻率，單位為 Hz，對數(shù)標度，LdB(f)是 y 軸的 NM RF PSD，單位為 dBc/Hz，線性標度規(guī)模，對于上述間接和直接測量，最終將一切與 RF 領(lǐng)域相關(guān)聯(lián)（圖 2）。

2. 頻域中基帶和射頻領(lǐng)域相位噪聲的典型測量。

需要注意的是，如果不滿足“合理”條件，則必須使用貝塞爾函數(shù)數(shù)學(xué)將L?(ξ)與Lv(f)聯(lián)系起來。因此，這兩種測量不會等同，會給出不同的結(jié)果，并且會被認為是災(zāi)難性的問題。

相位噪聲的分析（建模、仿真和傳播）

3. 用于相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）的一般相位噪聲模型。

有了以上信息，我們現(xiàn)在開始分析 PLL 中的相位噪聲，以及一般如何對其進行建模和仿真。還討論了 RF 分量相位噪聲如何通過 PLL 傳播以確定其輸出相位噪聲。通常，相位噪聲可以使用“通用相位噪聲模型”（圖 3）及其標準整數(shù)冪級數(shù)進行有效建模：

其中h是加權(quán)系數(shù)，f是載波的偏移頻率。1,7然后使用任何標準應(yīng)用程序?qū)ζ溥M行仿真（在本例中，我們使用 MATLAB）。最后，組件相位噪聲通過 PLL 的傳播以確定其輸出相位噪聲是使用通用 PLL 模塊“圖表和相位噪聲傳播模型”完成的（圖 4）。

4. 用于相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）的通用 PLL 框圖和相位噪聲傳播模型。

此外，為了簡化分析，所有組件的相位噪聲都近似為不相關(guān)（合理的假設(shè)），以便它們的 NM PSD 直接相加，而不必處理相關(guān)信號，這會使分析變得非常復(fù)雜。然后使用以下相位噪聲分析程序進行分析：4,5

1. PLL 必須表示為（在本例中為連續(xù)的）線性時不變網(wǎng)絡(luò)，這意味著它必須鎖定在其輸出之一。

2. 所有組件的相位噪聲必須近似為不相關(guān)。

3. 每個組件的相位噪聲圖都是從其數(shù)據(jù)表中獲得的，“通用相位噪聲模型”（圖 3）適合每個組件的圖，以確定匹配的通用模型的部分（其中一些可能不存在）每個組件的情節(jié)。

4. 對于每個組件的擬合通用相位噪聲模型，一個相位噪聲點，LdBj(fk)(j,k=0,a;1,b ;2,c;3,d;4,e)，在每個獲得段用于計算（通常使用段內(nèi)的中點）。將所有對數(shù)值轉(zhuǎn)換為線性值，LdBj(fk)TLj(fk)：

5. 每個組件的擬合通用相位噪聲模型系數(shù)hj是使用來自步驟 4 的相位噪聲點（其中一些可能為零）計算的：

6. 來自步驟 5 的每個組件的擬合通用相位噪聲模型系數(shù)hj用于形成每個組件的相位噪聲模型Lci(f)：

可以對其進行模擬以產(chǎn)生分量相位噪聲曲線。

7. 來自步驟 6 的每個組件的相位噪聲模型Lci(f)乘以其適用的傳遞函數(shù)（輸出或誤差；稍后討論）幅度平方，|T(f)|2，得到其傳播的相位噪聲模型，Lco(f)：

可以對其進行模擬以產(chǎn)生組件傳播的相位噪聲曲線。

8. 來自步驟 7 的每個組件的傳播相位噪聲模型Lco(f)與所有其他相加在一起以獲得輸出相位噪聲模型L至(f)：

可以對其進行仿真以產(chǎn)生輸出相位噪聲曲線。

這就是我們的相位噪聲分析（建模、仿真和傳播）過程。如前所述，這是大多數(shù) CAD 應(yīng)用程序用于相位噪聲分析的方法。

審核編輯：劉清