本節將詳細講解橢圓函數濾波器(Elliptic Function Filter/Cauer Filter)的綜合設計, 結合之前電路仿真的工作, 現將Elliptic濾波器集成到了濾波器設計App中, 提供一個試用版本, 并提供GitHub開源鏈接。

橢圓函數濾波器特點和用途

橢圓函數濾波器(Elliptic Function Filter或Cauer Filter, 在微波射頻中有時也稱作Achieser-Zolotarev濾波器)是Cauer于1930-1931年首先使用橢圓有理函數(Elliptic Rational Function)逼近來進行設計的濾波器, 其特點是通帶和阻帶內都具有等紋波特性, 對比Chebyshev濾波器其更具陡峭的截止特性, 被廣泛用于實際工程應用之中, 比如在DDS輸出級一般會加一個橢圓函數濾波器濾除鏡像頻率分量, 但是其缺點是對器件值要求非?？量?指精度和Q值), 很多濾波器理論上可行, 但是在實際中很難實現。

實際上橢圓函數濾波器的阻帶紋波為零則表現為切比雪夫濾波器(Chebyshev I Filter)特性, 當通帶紋波為0則表現為逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II Filter)特性, 當通帶和阻帶紋波均為0則表現為巴特沃斯濾波器(Butterworth Filter)特性, 橢圓函數濾波器可以說是濾波器的終極存在。

橢圓函數濾波器逼近

如何由通帶和阻帶等紋波推導出橢圓函數特征多項式(2)請參考《濾波器設計的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic》。

橢圓函數濾波器傳遞函數

橢圓函數濾波器的幅頻響應傳遞函數為:

橢圓函數濾波器傳遞函數是從其定義推導而來, 即從通帶和阻帶都等紋波出發, 推導出橢圓函數濾波器的特征函數表達式滿足如下關系：

式中是雅可比橢圓函數,即通帶頻率和阻帶頻率的比值,即通帶紋波和阻帶紋波的比值(注意這里紋波是線性坐標下的值,), 其中和由階方程(degree equation)聯系：

可以看到這個公式(2)和切比雪夫多項式

類比具有相同的形式, 實際上切比雪夫濾波器就是橢圓函數濾波器的特殊情況, 即當阻帶紋波無窮大和阻帶頻率無窮大的特殊情況。

同樣的當的通帶紋波為0, 且通帶頻率也為0, 即時, 可以得到逆切比雪夫濾波器。

當的通帶紋波為0, 阻帶紋波為無窮大, 且通帶頻率為0, 且阻帶頻率為無窮大, 也即時, 可以得到逆切比雪夫濾波器。

下圖顯示了三種濾波器在相同階數, 相同截止頻率下的動圖展示：

橢圓到切比雪夫濾波器,從60dB變到1000dB動圖:

橢圓到逆切比雪夫濾波器,從3dB變到0.000001dB動圖:

橢圓到巴特沃斯濾波器,從60dB變到1000dB且從3dB變到0.000001dB動圖:

橢圓函數濾波器的零極點

橢圓函數濾波器的極點可以通過求解傳遞函數分母為0求解:

其中，是濾波器階數。橢圓函數濾波器的零點和的極點相同, 這也比較容易理解, 設, 代入頻率響應表達式, 通分后得到其零點和的一樣, 在復平面中找到對應的極點位置得到:

濾波器零極點分析工具可以對各種不同濾波器進行零極點分析, 源碼見, 下圖是橢圓函數濾波器參數變化時濾波器的零極點和頻響變化仿真結果:

下圖是不同類型濾波器零極點對比圖:

可見橢圓函數濾波器的極點形狀不是一個橢圓, 所以之前的猜想并不正確, 橢圓函數濾波器得名并不是由于其極點形狀是一個橢圓, 而是于其衰減特性可以由雅可比橢圓函數來描述。濾波器名稱由特征函數決定, 可以看到以后討論的貝塞爾濾波器、高斯濾波器、勒讓德濾波器均是依據特征函數或傳遞函數來得名的。

下圖是濾波器在-平面的曲線圖，從中可以看到4階橢圓函數濾波器的零極點的分布情況(注意這個并不能直接通過電路綜合，需要莫比烏斯變換后才能綜合，見下文)：

由衰減確定濾波器階數

橢圓函數濾波器的參數由如下圖所示(,)：

橢圓函數濾波器階數和濾波器的衰減參數由階方程決定, 階方程將橢圓函數濾波器的階數, 紋波以及通帶阻帶頻率聯系起來了, 其底層原理是由于在解橢圓積分方程中需要讓虛部周期相同,實部周期呈整數倍,這樣才能滿足通帶和阻帶等紋波。階方程的數值計算用到了蘭登變換(Landen Transform，鏈接提供了多種計算方法), 現在有現成的迭代方法可以求解, Matlab中可以使用ellipdeg函數求解。

上式是已知通帶阻帶頻率, 通帶阻帶紋波求階數, 其值可能是個小數, 需要向上取整, 取整后還需要再使用一次階方程求解出對應的值。

這里也給出階方程的直接求解方法(也是雅可比所提出的模方程, Matlab中也使用了此算法)：

這里給出一個匹配型3階橢圓函數濾波器設計實例：

非匹配型橢圓函數濾波器設計

非匹配型橢圓函數濾波器傳遞函數為:

其傳遞函數的零極點和匹配型濾波器的相同，不同的在于特征函數零點，依據特征函數定義，并令其等于0可以求得零點為:

其中為虛數,為雅可比橢圓反正弦函數,為通帶紋波,為濾波器階數,為增益因子, 和之前有效衰減一樣:

通過以上求解可以得到計算出濾波器輸入阻抗，同逆切比雪夫濾波器設計一樣，由零點移除技術可以綜合出所需要的電路網絡。

這里給出一個非匹配型3階橢圓函數濾波器設計實例：

偶數階橢圓函數濾波器設計

偶數階橢圓函數濾波器為什么和奇數階濾波器設計獨立開來的原因與之前Chebyshev濾波器設計一樣, 也是由于0頻率處衰減有個和紋波一樣的衰減, 以及無窮頻率處衰減不為0所導致的, 解決此問題的辦法就是使用頻率變換, 即雙線性變換(也稱為莫比烏斯變換, M?bius transformation):

基本原則是:

當時,,是偶數階橢圓函數濾波器的第一個紋波最高點位置所對應的頻率。

當時,。

當時,,是偶數階橢圓函數濾波器的最后一個零點位置所對應的頻率。

通過以上條件得到:

其中：

這里給出一個匹配型4階橢圓函數濾波器設計實例：

不同濾波器通帶類型之間的轉換

只要有了低通原型, 其他濾波器通帶類型之間的轉換同Butterworth濾波器。

橢圓函數濾波器設計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發了一套橢圓函數濾波器設計軟件,主要特點是：

支持橢圓函數濾波器(Elliptic Function Filter)、支持切比雪夫濾波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設計

支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設計

T型和PI型結構濾波器隨意切換

可以設置阻帶衰減決定濾波器階數

可以設置通帶衰減來綜合濾波器

可以隨意配置負載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設計

可以幅頻響應分析、零極點分析、瞬態分析

可以顯示理想頻率響應、零極點和實際仿真的的頻率響應、零極點

可以支持實際標準器件逼近設計

Elliptic LPF設計舉例

設計一款-3dB截止頻率為1GHz,阻帶紋波為60dB，通帶紋波1dB的7階低通Elliptic濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設計過程如下：

最終設計參數如下：

零極點仿真結果：

Elliptic BPF設計舉例

設計6階帶通Elliptic濾波器, 通帶紋波為0.1dB, 阻帶衰減為70dB, 中心頻率為1GHz，帶寬為500MHz，50歐姆輸入，輸出阻抗為高阻，最后進行瞬態仿真，設計過程如下：

最終設計參數如下：

瞬態仿真結果：

程序的Matalb源碼已經上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabEllipticFilterDesignApp)，有興趣的同學可以下載試用體驗，當然也歡迎技術交流。

審核編輯：湯梓紅