機器數(shù)和真值

機器數(shù)

一個數(shù)在計算中的二進(jìn)制表示形式，叫做這個數(shù)的機器數(shù)，機器數(shù)是帶符號的，正數(shù)為0，負(fù)數(shù)為1。

如 ：

• 十進(jìn)制數(shù)+3，機器數(shù)就是00000000000000000000000000000011
• 十進(jìn)制數(shù)-3，那機器數(shù)不就是10000000000000000000000000000011 ，想當(dāng)然~ 實際是11111111111111111111111111111101，這個數(shù)是-3的補碼形式，因為負(fù)數(shù)在機器中是以補碼的形式存在的。

真值

真正數(shù)學(xué)意義上的數(shù)值。因為第一位是符號位，所以機器數(shù)形式值就不等于真正的數(shù)值。 如：

00000000000000000000000000000011->+3
11111111111111111111111111111101->-3

當(dāng)然前面的舉例是針對有符號數(shù)來說的，對于無符號數(shù)，機器數(shù)和真值是一致的。

無符號數(shù)和有符號數(shù)機器數(shù)和真值換算方式

無符號數(shù)換算：

用一個函數(shù) B2Uw （Binary to Unsigned）的縮寫，長度為w來表示：

如4位二進(jìn)制數(shù)：

有符號數(shù)換算方式

前面我們說過有符號數(shù)在計算機中的機器數(shù)是以補碼的形式存在的，其換算公式 B2Tw (Binary to Two`s complement)：

如下面4位二進(jìn)制數(shù)：

當(dāng)然還有一種大眾所知的方式：就是使用原碼，反碼，補碼變換規(guī)律

原碼，反碼，補碼

計算機機器數(shù)運行效率問題

首先要清楚我們計算機中統(tǒng)一使用的是加法計算，對你沒聽錯。。計算機居然不會減法，哈哈。

在補碼概念提出之前，我們來舉幾個例子：

可以看到在有負(fù)數(shù)參與的加法計算得到的結(jié)果是有誤的。

如果需要得到正確的結(jié)果，計算器不得不是有其他方式去得到，這樣必然就會影響運行效率。

為了解決負(fù)數(shù)在計算機中運行效率問題，科學(xué)家們提出了補碼的概念。

補碼：

使用補碼獲取真值

那如何使用補碼規(guī)則獲取一個負(fù)數(shù)的真值呢？

假設(shè)我們從計算中獲取了一個二進(jìn)制為10000001的8位機器數(shù)，如何獲取其真值。

• step1 .首先10000001是指一個補碼形式機器數(shù)，實際上在計算機系統(tǒng)中，所有的整數(shù)都是以補碼的形式存在，包括正數(shù)和負(fù)數(shù)，正數(shù)的補碼就是原碼自己所以統(tǒng)一使用補碼來存儲。
• step2 .按照補碼到反碼規(guī)則，在補碼10000001基礎(chǔ)上-1，將得到反碼：10000000
• step3 .按照反碼到原碼規(guī)則，將符合位不變，反碼取反即可得原碼：11111111
• step4 .按照原碼的真值概念：原碼的符合位為符號位，不參與計算，其他位為真值的絕對值即可：- 127

補碼的計算邏輯

我們回到前面分析運行效率時舉的正正，負(fù)負(fù)，正負(fù)相加例子：

這里我們使用補碼再來計算下：

可以看出，將符號以補碼的形式存儲在計算機中之后就可以使用加法來代替減法的操作，大大提高了計算機的運行效率。

補碼的設(shè)計來源

通過文章前半部分介紹，相信你已經(jīng)對補碼有了一個比較全面的概念了，但是補碼是怎么設(shè)計出來的呢？

數(shù)學(xué)里面有一個“補數(shù)”概念。

補數(shù)

生活中有很多例子，只要是 帶周期性的事務(wù)性質(zhì)的都可以用補數(shù)來形容 。比如：時鐘或者轉(zhuǎn)盤等。

假設(shè)當(dāng)前時間是2點，你要讓時鐘顯示到12點，那么有兩個方式。

• 方式1 .將指針順時針撥動10個點，做的是 加法 ：+10。
• 方式2 .將指針逆時針撥動2個點，做的是 減法 ：-2。

對于時鐘來說，不管你是方式1的加法運行還是方式2的減法運算，指針都指向了12點，實現(xiàn)的效果是一致的， 那我們就說+10和-2是兩個補數(shù)，它們的絕對值之和12就是補數(shù)的模 。

這種規(guī)律也被應(yīng)用到計算機二進(jìn)制中 。下面我們使用一個例子來看：

假設(shè)要計算：（5）+（-1） = 5+(+?)

• 5在計算機中的原碼： 0 0 0 0 0 1 0 1
• -1在計算機中的原碼：1 0 0 0 0 0 0 1

要將這個減法操作變?yōu)榧臃ú僮鳎滓蝿?wù)就是找到模，然后得到-1的正補數(shù)相加即可 。

來看我們的時鐘，每撥動12格為一個周期，就是說復(fù)原了，一樣的， 8bit位范圍是-128~127 ,（注意這里我們?yōu)榱司喎治鍪褂玫氖?位來測試計算，實際計算機中場景一般都是32位格式4個字節(jié)或者64位計算）所以 其一個周期就是256，也就是其模就是256 （1 0000 0000），不管你是加上256還是減少256，在二進(jìn)制中，值都是不變的，因為最后一位是溢出位，不會去計算。

通過以上分析我們找到了-1（1 0 0 0 0 0 0 1）的模為256(1 0000 0000),-1的補數(shù)為（+255）：0 1111 1111

這樣就將5-1這個減法運算變更為了5+255這個加法操作

下面我們來看5+255：

5:0000 0101

255：0 1111 1111 

二進(jìn)制相加后：1 0000 0100 ->最高位溢出丟棄所以結(jié)果為4.

看到是不是和5-1結(jié)果一樣呢？。

其實計算機中的補碼也是這個模式： 找到一個與負(fù)數(shù)等價的正補數(shù)，使用該正補數(shù)代替負(fù)數(shù)，從而將減法運算替換為兩個正數(shù)加法運算 ，補碼的出現(xiàn)與運算器的電路設(shè)計有關(guān)，從設(shè)計者的角度看，希望盡可能簡化電路設(shè)計和計算復(fù)雜度。而使用正補數(shù)代替負(fù)數(shù)就可以消除減法器，實現(xiàn)簡化電路的目的。

我們下期見。

參考：為什么計算機中的負(fù)數(shù)要用補碼表示？