計算機系統對數值類型的編碼、運算、轉換原理介紹4
數值類型轉換
數值類型間的轉換，可以分成 2 類： 寬轉換 （Widening Conversion）和 窄轉換 （Narrowing Conversion）。
寬轉換指往表示范圍更廣的類型轉換，比如從 int 到 long、從 long 到 float；窄轉換則相反。
整型間轉換
（1）寬轉換
整型間的寬轉換不會產生溢出，無符號整數場景，高位補零；有符號整數場景，高位補符號位。
// C++
int main() {
int8_t i1 = 100;
cout << "int8_t i1: " << bitset<8>(i1) << endl;
cout << "int16_t i1: " << bitset<16>((int16_t) i1) << endl;
int8_t i2 = -100;
cout << "int8_t i2: " << bitset<8>(i2) << endl;
cout << "int16_t i2: " << bitset<16>((int16_t) i2) << endl;
uint8_t i3 = 200;
cout << "uint8_t i3: " << bitset<8>(i3) << endl;
cout << "uint16_t i3: " << bitset<16>((uint16_t) i3) << endl;
return 0;
}
// 輸出結果
int8_t i1: 01100100
int16_t i1: 0000000001100100
int8_t i2: 10011100
int16_t i2: 1111111110011100
uint8_t i3: 11001000
uint16_t i3: 0000000011001000
（2）窄轉換
整型間的窄轉換直接進行高位截斷，只保留低 n 位。比如 16 位的 int16 轉換為 8 位的 int8，直接保留 int16 類型值的低 8 位作為轉換結果。
// C++
int main() {
int16_t i1 = 200;
cout << "int16_t i1: " << bitset<16>(i1) << endl;
cout << "int8_t i1: " << bitset<8>((int8_t) i1) << endl;
int16_t i2 = -200;
cout << "int16_t i2: " << bitset<16>(i2) << endl;
cout << "int8_t i2: " << bitset<8>((int8_t) i2) << endl;
uint16_t i3 = 300;
cout << "uint16_t i3: " << bitset<16>(i3) << endl;
cout << "uint8_t i3: " << bitset<8>((uint8_t) i3) << endl;
return 0;
}
// 輸出結果
int16_t i1: 0000000011001000
int8_t i1: 11001000
int16_t i2: 1111111100111000
int8_t i2: 00111000
uint16_t i3: 0000000100101100
uint8_t i3: 00101100
（3）無符號整數與有符號整數間的轉換
無符號整數與有符號整數間的轉換規則是：
- 如果兩者二進制位數一致，比如
int8到uint8的轉換，則二進制數值不變，只是改變編碼方式； - 如果位數不一致，比如
int16到uint8的轉換，則二進制數值，先按照寬轉換或窄轉換規則轉換，再改變編碼方式。
// C++
int main() {
uint8_t i1 = 200;
cout << "uint8_t i1, decimal: " << +i1 << ", binary: " << bitset<8>(i1) << endl;
cout << "int8_t i1, decimal: " << +(int8_t) i1 << ", binary: " << bitset<8>((int8_t) i1) << endl;
int16_t i2 = -300;
cout << "int16_t i2, decimal: " << +i2 << ", binary: " << bitset<16>(i2) << endl;
cout << "uint8_t i2, decimal: " << +(uint8_t) i2 << ", binary: " << bitset<8>((uint8_t) i2) << endl;
return 0;
}
// 輸出結果
uint8_t i1, decimal: 200, binary: 11001000
int8_t i1, decimal: -56, binary: 11001000
int16_t i2, decimal: -300, binary: 1111111011010100
uint8_t i2, decimal: 212, binary: 11010100
整數與浮點數間轉型
（1）寬轉換
整型到浮點數類型的轉換這一方向，為寬轉換：
- 如果浮點數的精度，能夠表示整數，則正常轉換。
- 如果浮點數精度，無法表示整數，則需要近似，會導致精度丟失。
// Java
public static void main(String[] args) {
int i1 = 1234567;
System.out.printf("int i1: %d, float i1: ", i1);
System.out.println((float) i1);
int i2 = 123456789;
System.out.printf("int i2: %d, float i2: ", i2);
System.out.println((float) i2);
}
// 輸出結果
int i1: 1234567, float i1: 1234567.0
int i2: 123456789, float i2: 1.23456792E8
上述例子中，i2=123456789 超過 float 類型能夠表示的精度，所以為近似后的結果 1.23456792E8。
那么，為什么 123456789 會近似為 1.23456792E8？
要解釋該問題，首先要把它們轉換成二進制表示：
public static void main(String[] args) {
...
System.out.println("int i2: " + int2BinaryStr(i2));
System.out.println("float i2: " + float2BinaryStr((float) i2));
}
// 輸出結果
int i2: 00000111010110111100110100010101
float i2: 01001100111010110111100110100011
接下來，我們根據 IEEE 浮點數的編碼規則，嘗試將 int i2 轉換成 float i2：
int i2的二進制 ，可以寫成 ，對應到 的形式，可以確認 s = 0，E = 26，M = 1.11010110111100110100010101。- float 類型中 k = 8，有，，得出 e = 153，按 k 位無符號編碼表示為 。
- 同理，由 ，但由于 float 類型的 n = 23，而 m 一共有 26 位，因此需要按照 round-to-even 規則，對 0.11010110111100110100010101進行近似，保留 23 位小數，得到 0.11010110111100110100011，所以 m 為
- 最后，將 s、e、m 按照 float 單精度的編碼格式組合起來，就是 ，轉換成十進制，就是
1.23456792E8。
（2）窄轉換
浮點數類型到整型的轉換這一方向，為窄轉換：
- 如果浮點數的整數部分，能夠用整型表示，則直接舍去小數，保留整數部分。
- 如果超出了整型范圍，則結果為該整型的最大/最小值。
// Java
public static void main(String[] args) {
float f1 = 12345.123F;
System.out.print("float f1: ");
System.out.print(f1);
System.out.printf(", int f1: %d\\n", (int) f1);
float f2 = 1.2345E20F;
System.out.print("float f2: ");
System.out.print(f2);
System.out.printf(", int f2: %d\\n", (int) f2);
float f3 = -1.2345E20F;
System.out.print("float f3: ");
System.out.print(f3);
System.out.printf(", int f3: %d\\n", (int) f3);
}
// 輸出結果
float f1: 12345.123, int f1: 12345
float f2: 1.2345E20, int f2: 2147483647
float f3: -1.2345E20, int f3: -2147483648
浮點數間轉型
（1）寬轉換
單精度 float 到 雙精度 double 為寬轉換，不會出現精度丟失的問題。
對于 ，規則如下：
- s 保持不變。
- 在 E 保持不變的前提下，因為
float的 k = 8，而double的 k = 11，所以兩者的 e 會有所不同。 - 在 M 保持不變的前提下，
float的 n = 23，而double的 n =52，所以 m 需要低位補 52 - 23 = 29 個 0。
// Java
public static void main(String[] args) {
float f1 = 1.2345E20F;
System.out.print("float f1: ");
System.out.print(f1);
System.out.print(", double f1: ");
System.out.println((double) f1);
System.out.println("float f1: " + float2BinaryStr(f1));
System.out.println("double f1: " + double2BinaryStr((double) f1));
}
// 輸出結果
float f1: 1.2345E20, double f1: 1.2344999897320129E20
float f1: 01100000110101100010011011010000
double f1: 0100010000011010110001001101101000000000000000000000000000000000
（2）窄轉換
double 到 float 為窄轉換，會存在精度丟失問題。
如果 double 值超出了 float 的表示范圍，則轉換結果為 Infinity：
// Java
public static void main(String[] args) {
double d1 = 1E200;
System.out.print("double d1: ");
System.out.println(d1);
System.out.print("float d1: ");
System.out.println((float) d1);
double d2 = -1E200;
System.out.print("double d2: ");
System.out.println(d2);
System.out.print("float d2: ");
System.out.println((float) d2);
}
// 輸出結果
double d1: 1.0E200
float d1: Infinity
double d2: -1.0E200
float d2: -Infinity
如果 double 值還在 float 的表示范圍內，則按照如下轉換規則：
- s 保持不變。
- 在 E 保持不變的前提下，因為
float的 k = 8，而double的 k = 11，所以兩者的 e 會有所不同。 - 對于 M，因為
float的 n = 23，而double的 n = 52，所以轉換到 float 之后，需要進行截斷，只保留高 23 位。
// Java
public static void main(String[] args) {
double d1 = 3.267393471324506;
System.out.print("double d1: ");
System.out.println(d1);
System.out.print("float d1: ");
System.out.println((float) d1);
System.out.println("double d1: " + double2BinaryStr(d1));
System.out.println("float d1: " + float2BinaryStr((float) d1));
}
// 輸出結果
double d1: 3.267393471324506
float d1: 3.2673936
double d1: 0100000000001010001000111001111100110000001101000000010101110110
float d1: 01000000010100010001110011111010
最后
本文花了很長的篇幅，深入介紹了計算機系統對數值類型的編碼、運算、轉換的底層原理。
數值類型間的轉換是最容易出現隱藏 bug 的地方 ，特別是無符號整數與有符號整數之間的轉換。所以，很多現代的編程語言，如 Java、Go 等都不再支持無符號整數，根除了該隱患。
另外，浮點數的編碼方式，注定它只能精確表示一小部分的數值范圍，大部分都是近似，所以才有了不能用等號來比較兩個浮點數的說法。
數值類型雖然很基礎，但使用時一定要多加小心。希望本文能夠加深你對數值類型的理解，讓你寫出更健壯的程序。
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