什么是數(shù)？

2是一個數(shù)嗎？肯定是的咯。 那“二”呢？“two”呢？ 相信你能感覺到，它們不但都是數(shù)，而且是在用不同的記號表達(dá)著同樣的一個“東西”，即那個我們數(shù)兩個蘋果或兩個梨時天然感覺到的量。這個感覺說不清道不明，但真真切切地存在——誰都會數(shù)數(shù)嘛。

這就麻煩了，如何刻畫、把握與定義一個說不清道不明的東西呢？哲學(xué)家維特根斯坦（Wittgenstein）有言“一個詞的含義是它在語言中的用法”。

在工程界也有著所謂鴨子測試（Duck Test）的準(zhǔn)則：如果一個事物看起來像鴨子、游起來像鴨子、叫起來也像鴨子，那它就是個鴨子。這指引著我們通過概念的性質(zhì)來定義概念本身。

我們通過性質(zhì)來定義概念。

換言之，我們不關(guān)心一個概念是什么，而關(guān)心它滿足什么。正是概念滿足的性質(zhì)定義了這個概念本身。

為什么要這樣呢？因?yàn)榭赡苡泻芏嗑唧w的對象都承載著我們關(guān)心的概念，這個概念不是其中任何一個具體對象，而是所有這些對象所共同承載著的那個存在，其彰顯于這些對象所共同具有的性質(zhì)。



如圖所示，如果我們要定義概念“圓形”，會發(fā)現(xiàn)它既不是“盤子”，也不是“車輪”，而是盤子與車輪所共享的那種怎么轉(zhuǎn)都不變的形狀。關(guān)于定義的這一點(diǎn)認(rèn)識對后文進(jìn)入抽象世界至關(guān)重要。

除此之外，我們不描述概念是什么還有一個很重要的原因——很遺憾，我們可能永遠(yuǎn)無法知道某個概念真正是什么。

最經(jīng)典的例子當(dāng)屬柏拉圖（Plato）的洞穴寓言（allegory of the cave）。

想象你自打出生便被關(guān)在一個洞穴里，洞口有一塊峭壁，陽光將洞外人們?nèi)粘Ｉ畹挠白哟蛟谶@塊峭壁上。日復(fù)一日，你能看到的世界只有這塊二維峭壁上的倒影，誠然其中有日出日落、陰晴圓缺、人頭攢動…… 那些都只是表象，只是我們這個“更加真實(shí)”的三維世界在你的二維世界中的投影！很遺憾，你永遠(yuǎn)不可能知道這些，你永遠(yuǎn)不可能真正知道峭壁上的那些活動著的東西是什么。

基于以上兩點(diǎn)，我們不談?wù)摳拍钍鞘裁矗魂P(guān)心其性質(zhì)，并由此定義概念本身。

那么，我們選取哪些性質(zhì)呢？不能太多，否則范圍縮得太窄而可能有遺漏；也不能太少，不然范圍太大就海納百川了。這道邊界劃在哪里呢？不要忘了，任何時候，當(dāng)我們在談?wù)撘粋€概念時，一定是有語境、有上下文、有目的、有話題的。

我們基于所在討論的話題，選擇恰好充分的若干期望被滿足的性質(zhì)來定義概念。

具體來說，我們現(xiàn)在要定義“數(shù)”，我們的語境是什么呢？是今天的天氣？是一二三四的味道？當(dāng)然不是。我們能懵懂地感覺到，我們在談?wù)摰臇|西，關(guān)乎數(shù)（第三聲），關(guān)乎運(yùn)算。 于是，如果一個東西能用于計(jì)數(shù)，還能進(jìn)行加減乘除，那不管它是什么，于我們討論的話題就足以被稱為“數(shù)”了！

在加減乘除四則運(yùn)算中，減是加的逆運(yùn)算，除是乘的逆運(yùn)算，故我們可以進(jìn)一步將要求降低到能進(jìn)行加法與乘法。于是，這些就是我們要找的那恰好充分的性質(zhì)！ 數(shù)是這樣的存在，其可以用于計(jì)數(shù)，彼此間可以相加、相乘。反之，如此這般的存在，便可以被認(rèn)為是數(shù)。

可這還沒完，那什么叫“計(jì)數(shù)”，什么又叫“相加”“相乘”呢？我們先來看第一個問題。 門前大橋下，游過一群鴨。快來快來數(shù)一數(shù)，二四六七八。這首膾炙人口的兒歌想必你能哼出來。相比于一、二、三、四、五這些數(shù)（第四聲），一個、兩個、三個、四個、五個地?cái)?shù)（第三聲），幾乎是生而為人與生俱來的能力。計(jì)數(shù)不過就是數(shù)數(shù)的同義詞。作為如此習(xí)以為常的天生能力，要如何定義數(shù)數(shù)呢？

讓我們來想一想，數(shù)數(shù)時數(shù)到的“二”，其本質(zhì)是個什么。英國人叫其“two”，所以顯然“二”“two”這些名稱本身并無關(guān)乎其本質(zhì)。還有一個角度，我們可以說“二”是“一”后面的那個數(shù)，是“三”前面的那個數(shù)。 那什么是“一”，什么又是“三”呢？什么是“前面”，什么又是“后面”呢？ 仿佛到了一個死胡同。看來我們不能盯著“一”“二”“三”這些具體的孤立數(shù)字不放，而是要把視角抬高，先把“數(shù)數(shù)”這個概念明確了！畢竟每一個數(shù)的存在是由數(shù)數(shù)這個概念的存在衍生來的。不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)數(shù)這個概念完全由如下兩個性質(zhì)刻畫：

1. 有一個計(jì)數(shù)的開始；

2. 我們可以一個一個不停地?cái)?shù)下去。

基于此，我們可以做出如下定義：

? 定義“一”為第一點(diǎn)所規(guī)定的那個計(jì)數(shù)的開始；

? 定義“二”為從“一”數(shù)下去的下一個對象；

? 定義“三”為從“二”數(shù)下去的下一個對象；

? …… 拋開措辭不談，深究起來，這里還有問題。這個定義并沒有排除一種可能性： 數(shù)著數(shù)著會不會兜回來？一、二、三、二？也即，一個數(shù)的下一個數(shù)會不會等于之前的某個數(shù)？光看定義是有這種可能的，雖然我們可以說這一點(diǎn)已經(jīng)被“能不停地?cái)?shù)下去”所排除，因?yàn)椴蝗坏脑挘覀償?shù)數(shù)就變成“一二三二三二……”，沒有“下去”呀！ 話雖如此，但想必你也意識到了，這正是自然語言的模糊與歧義所在，根本沒有辦法用它來明確定義如數(shù)數(shù)這般已然模糊不清難以明言的人類本能。使用一種更加純粹、規(guī)范、無歧義的語言勢在必行！

語言是什么？

要上手一門新的語言，第一步自然是要掌握這個語言的字母、單詞和語法。數(shù)學(xué)這門語言的字母、單詞和語法，統(tǒng)稱為形式。

何謂形式？

形式（form）即無意義的符號（symbol）。

那進(jìn)而何謂符號？

符號即有限長度的字符序列（sequence of letters）。

那又何謂字符序列呢？

這就觸及這本書的邊界了——我們不再嘗試對“字符序列”加以定義，而是需要由你訴諸自己的直覺來理解。比如，“你好”就是一個由兩個字符“你”與“好”組成的字符序列。

當(dāng)然，我們一看到它便會立馬不自覺地為其賦予意義，知道它是在表達(dá)打招呼的意思。

不妨再來看個符號：“KILIG”，這是一個由五個字符構(gòu)成的符號，它對你來說完全沒有意義了吧！它不是英文，而是來自一個叫 Tagalog 的菲律賓呂宋島中部的民族。對于那里的人們，這個符號是有意義的，用于形容浪漫或有趣的事情發(fā)生后肚子里仿佛有蝴蝶在飛舞一般的感覺。

從這兩例我們能看到，符號與其意義是兩件獨(dú)立的事情，符號本身是沒有意義的，以純粹形式存在，只有當(dāng)它被置于一個語境之中后，才獲得了意義。 讓我們再來看一個例子。考察 1 + 1 = 2 這個斷言。 它成立嗎？當(dāng)然成立！ 可是要知道，僅當(dāng)我們賦予了 1、2、+、= 這些符號我們慣常的含義后，它才成了一個算術(shù)意義上正確的等式。

但在形式上它顯然是不成立的！為啥？因?yàn)榧词刮覀優(yōu)?= 賦予了慣常的“等于”之含義，其左邊有三個字符1、+、1，右邊只有一個字符 2，當(dāng)然是不同的字符序列呀！

有了一堆符號后，我們首先能做的便是隨意組合它們。比如，給你兩個符號 和 ，我們能組合出如下這些：, , , , , · · · 再比如，給你三個符號“你”“好”“呀”，我們能組合出你好，你好呀，呀好你，好呀你，你呀呀，好好好, · · · 然而，并不是所有的組合都應(yīng)被采納。

比如第二個例子中，若我們是想研究中 文，那么顯然只有“你好”“你好呀”可以接受，“呀好你”這種胡言亂語應(yīng)該被丟掉。這種對符號組合進(jìn)行的選擇，便是我們俗稱的語法。 再以英語為例。假如我們有符號 I, l, o, v, e, y, u 以及空格，我們可以組合出：I love you，I you love，you love I，ouyi evool uy，… 顯然，只有第一句是合乎語法的。

語法（grammar）是對符號組合的選擇。我們稱符號組合為公式（formula）。稱符合語法的公式為合式公式（well-formed formula）。

至此，我們有了字母、單詞和語法，一門語言便誕生了！ 形式語言（formal language）由如下兩部分構(gòu)成：

? 由有限個符號構(gòu)成的字母表（alphabet），

? 一個語法。

進(jìn)而，我們說：數(shù)學(xué)是一門形式語言。

審核編輯：劉清