1. 濾波的目的

在信號的實時處理中，濾波是十分必要的，因為信號中難免會由于各種原因混入噪聲，干擾我們對信號進行分析。

這里強調了“實時”，是因為在一些場景中，我們可能需要對信號進行離線的、交互式的分析，此時僅僅是對原始信號進行采集即可，無需軟件 進行濾波，只需要硬件在采集信號時做一下抗混疊濾波即可，這種場景不是本文所關心的。

在更多的場景下，比如我們的運動手表、手環在處理ppg信號計算心率時，是會進行實時計算的，那么就會進行實時濾波處理：因為大多數人的心率頻率在0.7~3.6Hz范圍內，至少在這之外的頻率會在計算心率之前濾除掉。

2. 信號模擬

比如我們要處理一個信號，但是我們僅僅關心信號100Hz以下的頻段，這時我們就需要一個低通濾波器了，此時我們先模擬出一個包含5Hz和3000Hz頻率成分的信號，假設信號采樣頻率為8192，采樣時間為1秒，共計8192個點。信號生成和展示的代碼如下：

import numpy as np
from numpy import cos
import matplotlib.pyplot as plt

pi = np.pi
t = np.linspace(0, 1, 8192)

signal = 3 * cos(2 * pi * 5 * t + pi/3) + 7 * cos(2 * np.pi * 3000 * t + 3/8*pi)

plt.figure()
plt.plot(t, signal)
plt.show()

我們生成了這樣的一個信號：

生成的信號

3. FIR濾波器系數生成

這一步可以使用matlab進行輔助，本文僅僅是想要一個截止頻率為10Hz的FIR低通濾波器，步驟如下：

1. 打開matlab;
2. 點擊"APP";
3. 找到濾波器設計工具，并點擊；
4. 選擇響應類型、設計方法、階數等。

輔助設計界面

5. 點擊“文件” 、“導出”、“系數文件”，導出系數文件，我把導出的系數（FIR低通濾波系數僅有分子）畫出來后如下圖：

系數波形圖

3. FIR濾波原理

采用FIR進行濾波，從操作上看是進行卷積操作，對上述濾波器的系數進行FFT變換即可窺見一斑：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# b = [......] 101個系數組成的列表，此處省略
delta_f = 1
plt.plot([delta_f * i for i in range(4097)], abs(np.fft.rfft(b, 8192)))  # 單邊FFT
plt.show()

系數的傅里葉變換

這里得到的就是濾波器的幅頻響應曲線，和濾波器輔助設計工具中所展示的幅頻響應曲線是一致的。

4. 濾波計算代碼與結果

把第二步生成的信號中高于100Hz的頻率成分（即3000Hz的成分）濾除，得到的結果如下圖所示，在結果的開頭和結尾產生了失真，這是因為在卷積運算過程中，在剛開始和結尾計算時有效信息不足進行了補零操作導致的。

濾波的結果

這一步的運算代碼如下：

import numpy as np
from numpy import cos
import matplotlib.pyplot as plt
from filter_coeff import b
pi = np.pi

t = np.linspace(0, 1, 8192)
signal = 3 * cos(2 * pi * 5 * t + pi/3) + 7 * cos(2 * np.pi * 3000 * t + 3/8*pi)

fir_len = len(b)

res = []
for i in range(len(signal)):
    print(i)
    temp = 0
    if i < fir_len:
        data = (fir_len-i) * [0] + signal[0:i].tolist()
    elif i > len(signal) - fir_len:
        data = signal[i:].tolist() + (fir_len - len(signal) + i) * [0]
    else:
        data = signal[i:i+fir_len]
    for j in range(fir_len):
        temp += b[j] * data[-j-1]
    res.append(temp)


plt.figure()
plt.plot(t, res)
plt.show()