控制系統(tǒng)設(shè)計人員始終追求的就是為應(yīng)用找到最佳的控制方法。除了經(jīng)典的PID控制外，本文還探討了最優(yōu)控制、模糊控制和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。

每一個控制系統(tǒng)的用戶/設(shè)計人員，都經(jīng)常會被問到同一個問題：哪種控制方法最好。現(xiàn)在，比幾十年前有了更多的選擇，控制方法的問題尤為重要。很久以前，“黃金”解決方案（實際上是唯一的）是比例-積分-微分（PID）控制器。雖然PID控制本身沒有什么問題，但實際存在的限制使其它控制方法在許多應(yīng)用中更受歡迎。現(xiàn)在，還有哪些控制方法可供選擇？

除了經(jīng)典的PID控制外，本文還研究了最優(yōu)控制、模糊控制和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（或基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制）。在工廠應(yīng)用的受控系統(tǒng)分析中，可以看到經(jīng)典PID控制器的局限性。雖然可以有很多應(yīng)用領(lǐng)域，但本文分析聚焦于位置伺服機(jī)構(gòu)，此類裝置廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、自動駕駛車輛和許多其它（不僅是在工業(yè)領(lǐng)域）應(yīng)用。

01

位置伺服系統(tǒng)識別

如果受控系統(tǒng)是基于恒定勵磁（例如永磁體）的直流電機(jī)的伺服機(jī)構(gòu)，則可以通過簡化的傳遞函數(shù)來描述，在s域中電壓的角位移為：

其中：K代表電機(jī)扭矩常數(shù)；T代表電機(jī)的機(jī)械參數(shù)：J/B，其中J是包括負(fù)載在內(nèi)的總慣性，B表示電機(jī)阻尼；Ti代表積分常數(shù)（由電機(jī)轉(zhuǎn)速和傳動比確定）。

上面的傳遞函數(shù)代表與積分器組合的一階系統(tǒng)。理論上，還有另一個一階、低通濾波器，其時間常數(shù)等于電機(jī)繞組電感和電阻的比值；這個時間常數(shù)明顯小于主時間常數(shù)T，因此不必考慮它。

如果您是電機(jī)用戶，而不是電機(jī)設(shè)計師，那么通過實驗測量其在開環(huán)中的響應(yīng)來找到（主）時間常數(shù)可能會更簡單。為此，向伺服系統(tǒng)施加一定的驅(qū)動變量（電壓，VIN），例如，相當(dāng)于最大伺服速度的50%。伺服系統(tǒng)負(fù)載必須是正常工作條件下的滿載。掃描伺服機(jī)構(gòu)的位置響應(yīng)，并在其到達(dá)最大位置之前將其關(guān)閉。可能產(chǎn)生的測量值如圖1所示。

▲圖1：控制系統(tǒng)設(shè)計圖展示了開環(huán)伺服系統(tǒng)的響應(yīng)特性。

根據(jù)上述特性，并通過輸入值（例如，對應(yīng)于最大伺服速度50%的階躍函數(shù)VIN），確定典型伺服系統(tǒng)的一階非靜態(tài)（積分器與一階滯后相結(jié)合）傳遞函數(shù)的T和Ti常數(shù)。伺服電機(jī)和伺服驅(qū)動運動控制系統(tǒng)，可以使用下述的各種閉環(huán)控制，包括方程、案例、圖形、表格。

02

如何應(yīng)用PID控制器？

PID補(bǔ)償是最常見的閉環(huán)控制形式之一。為什么它如此受歡迎？在大多數(shù)應(yīng)用中，受控過程可以通過一階或二階傳遞函數(shù)進(jìn)行建模。PID控制器可以消除或至少顯著補(bǔ)償傳遞函數(shù)的兩個極點。PID控制器在s域中的傳遞函數(shù)(U(s))/(E(s))可以表示如下：

現(xiàn)在，讓我們假設(shè)一個受控系統(tǒng)，它可以用一階非靜態(tài)傳遞函數(shù)來近似表示：

控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(Y(s))/(E(s)),等于

為什么使用PD而不是PID？首先，請注意，在完整的PID控制器中，積分部分是缺失的。為什么？因為積分器已經(jīng)存在于受控的伺服系統(tǒng)中。在最佳調(diào)諧的控制系統(tǒng)中，比率KD /KP必須與τ1時間常數(shù)相匹配，因此開環(huán)傳遞函數(shù)將減小到：(KPK)/(sτ2)。理想調(diào)諧PD控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) (Y(s))/(R(s)),等于：

這對應(yīng)于具有時間常數(shù)τ的單極傳遞函數(shù)，相當(dāng)于τ2 /(KP K)，其中τ2是積分時間常數(shù)，KP是控制器的比例常數(shù)，K是受控系統(tǒng)的增益。然而，如果通過使用如圖1所示的響應(yīng)特性找到時間常數(shù)，則增益（即常數(shù)K）值變?yōu)?.0。則閉環(huán)傳遞函數(shù)時間常數(shù)τ等于τ2 /KP。這非常好，因為通過使ΚP足夠大，可以從閉環(huán)控制系統(tǒng)獲得更快的時間響應(yīng)。實際上，“足夠大”可以提供5到10倍的響應(yīng)速度。KP值越高，反應(yīng)越不穩(wěn)定。記住，在近似的系統(tǒng)參數(shù)中，實際值肯定會不同。

然而，這種最佳調(diào)諧的P(I)D控制器有其缺點。觀察P(I)D控制器的輸出（驅(qū)動）變量：一開始它幾乎達(dá)到極限值，然后迅速下降，但在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)，仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于這種受控系統(tǒng)（伺服機(jī)構(gòu)）所能承受的水平。想象一下，伺服電機(jī)的運行電壓為24V，最初獲得的電壓會高達(dá)數(shù)千伏，隨后穩(wěn)定在數(shù)百伏。沒有控制器能夠驅(qū)動如此高的電壓，即使能驅(qū)動，電機(jī)也無法承受如此高的壓力。因此，在控制器中添加限制器，可確保驅(qū)動變量不會超過受控系統(tǒng)（在這種情況下為直流電機(jī)）可接受的最大值。伺服機(jī)構(gòu)的最終PID控制配置如圖2所示。

▲圖2：控制系統(tǒng)設(shè)計圖展示了位置伺服系統(tǒng)的 PID 控制。

在本文的最后，會比較PID控制器與其它控制器的性能。具有無限驅(qū)動變量的最佳調(diào)諧PD控制器（即理想控制器），其輸出特性如圖8中黃色線所示；實際輸出（驅(qū)動變量限于最大可接受值）則以紅色線表示。

03

應(yīng)用時間最優(yōu)控制

幾十年來，最優(yōu)控制一直是廣泛研究的主題。關(guān)于最優(yōu)控制的一些基本觀點值得回顧，我們可以用一個例子來更好地理解時間最優(yōu)控制。

假設(shè)一個帶有直流電機(jī)的常用電動伺服機(jī)構(gòu)。手頭的任務(wù)是控制伺服，使其在最短的時間內(nèi)到達(dá)新的參考點。如果必須應(yīng)用實際驅(qū)動變量，優(yōu)化的PID控制器將無法實現(xiàn)這一目標(biāo)。直覺反應(yīng)是向直流電機(jī)施加最大可接受電壓，并讓電機(jī)全速前進(jìn)。

然后，在某一時間點改變電壓極性，使電機(jī)開始以最大可能的速度減速。稍后，當(dāng)電機(jī)速度為零時，關(guān)閉電壓。如果電壓極性在合適的時點改變，那么，在電機(jī)停止運行的瞬間，伺服將準(zhǔn)確地停在所需的位置。這被稱為最優(yōu)控制。在這種情況下，因為時間是該最優(yōu)控制的標(biāo)準(zhǔn)，所以這種控制被稱為時間最優(yōu)控制。

04

查找開關(guān)曲線的形狀

圖3展示了在狀態(tài)空間中的時間最優(yōu)控制過程，在這種情況下，狀態(tài)空間是二維空間（區(qū)域）；一個維度是輸出變量，另一個維度則是其（時間的）導(dǎo)數(shù)。在應(yīng)用新參考值時，輸出變量沿水平軸移動，因此它代表調(diào)節(jié)誤差（err），即參考值與實際輸出值之間的差值。同時在t0時刻，向直流電機(jī)施加最大電壓。伺服離開其初始位置P0，并開始加速。在時間點t1，控制器改變電壓極性，電機(jī)速度很快開始下降。在時間點t2，電機(jī)速度變?yōu)榱悴⑶疫_(dá)到期望位置P2，驅(qū)動變量電壓被關(guān)閉。雖然這看起來很簡單，但獲得開關(guān)曲線的形狀并不是那么簡單。

▲圖3：控制系統(tǒng)設(shè)計圖展示了狀態(tài)空間中的時間最優(yōu)控制。

如果受控系統(tǒng)是具有簡化傳遞函數(shù)的伺服機(jī)構(gòu)，則s域中電壓的角位移為：

那么一個完整的、時間最優(yōu)的控制系統(tǒng)可以用圖4所示的框圖表示。

該控制方案與PID控制完全不同。這是一種非線性控制，因為第二個非線性部分N2代表的是繼電器：提供驅(qū)動變量±U值，所以這種控制被稱為開關(guān)控制。N1是開關(guān)曲線的第一個非線性部分，調(diào)節(jié)誤差E的“sqrt”平方根函數(shù)，提供了相當(dāng)合理的結(jié)果。在實踐中，總是很難找到精確的開關(guān)曲線，因此，控制器可能一直在其最大值和最小值之間切換驅(qū)動電壓。為了避免這種情況的發(fā)生，需要為繼電器增加死區(qū)。

在本文的最后，讓我們看看與其它類型的控制器相比，這種時間最優(yōu)控制器的性能如何。其輸出變量函數(shù)以圖8中亮藍(lán)色線表示。

05

如何應(yīng)用模糊控制？

模糊控制是另一種非線性控制方法，對于難以分析的受控系統(tǒng)，或在設(shè)計時動態(tài)行為未知的受控系統(tǒng)，它是非常好的解決方案。模糊控制可以與“次優(yōu)”時間最優(yōu)控制相比較（它可以提供比最優(yōu)結(jié)果較差的結(jié)果），盡管它們?nèi)匀豢梢允欠浅：玫摹Ｔ谶@種具有位置伺服機(jī)構(gòu)控制的特殊情況下，可以采用圖5中的控制方案（圖5）進(jìn)行模糊控制。

▲圖4：控制系統(tǒng)設(shè)計圖展示了伺服機(jī)構(gòu)的時間最優(yōu)控制系統(tǒng)。

▲圖5：控制系統(tǒng)設(shè)計圖展示了伺服機(jī)構(gòu)的模糊控制系統(tǒng)。

模糊控制可以看作是模糊邏輯的擴(kuò)展或修改。第一階段，模糊邏輯（在一個被稱為模糊化的過程中）將“清晰”的輸入變量轉(zhuǎn)換為“模糊”的集合。第二階段，它處理這些模糊集。最后，在一個被稱為去模糊化的過程中，將處理后的模糊集轉(zhuǎn)換為清晰的輸出變量。

對于輸入變量的模糊化，例如，選擇一組lambda形狀_/_的5個成員函數(shù)。為了使控制過程更好（更精細(xì)），在本文案例中使用了7個成員函數(shù)。它們涵蓋了調(diào)節(jié)誤差、誤差及其導(dǎo)數(shù)和狀態(tài)變量，這些變量值處于-1000到+1000之間。它們可以被稱為：高負(fù)（HN），中等負(fù)（MN），低負(fù)（LN），小（S），低正（LP），中等正（MP）和高正（LP）。輸出（驅(qū)動）變量模糊化，使用了7個類似的級別：全負(fù)（FN），中等負(fù)（MN），低負(fù)（LN），零（Z），低正（LP），中等正（MP）和全正（FP）。

▲圖6：在控制系統(tǒng)設(shè)計中，參考模糊控制知識庫很有幫助。

處理模糊集是模糊控制最關(guān)鍵的階段。它由模糊控制知識庫“控制”。圖6展示了適用的知識庫。注意err和der輸入變量是如何量化的。它們的分布函數(shù)不是等距分布的；err成員函數(shù)被更多地“推向”中心（S），而der成員函數(shù)則被更多地推向最高值。為什么這種安排更好？檢查知識庫中的輸出變量分布提供了答案。考察零（Z）級。它們的配置為：緊密地跟隨誤差的平方根函數(shù)err的輸出，這是可能是對時間最優(yōu)控制中使用的開關(guān)曲線的最佳仿真。接下來，看看與其它控制器相比，模糊控制器的性能如何，其輸出變量的形狀以圖8中橙色線表示。

06

應(yīng)用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制

在控制系統(tǒng)中使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）有無數(shù)種可能性。其中，很多使用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的受控系統(tǒng)（工廠）模型，或?qū)ζ淠鎰討B(tài)進(jìn)行建模，與經(jīng)典PID控制器相結(jié)合，有助于創(chuàng)建自適應(yīng)和其它更復(fù)雜的控制系統(tǒng)。

通過訓(xùn)練這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模擬位置伺服系統(tǒng)的開關(guān)曲線可以嘗試一種不同的方法。正如之前所了解的，通過使用時間最優(yōu)控制可以實現(xiàn)最快速的伺服機(jī)構(gòu)運動。開關(guān)曲線最關(guān)鍵的一個方面，是使用調(diào)節(jié)誤差的平方根函數(shù)。甚至是模糊控制器，也被“調(diào)諧”以模擬該平方根函數(shù)。

然而，由于實際開關(guān)曲線仍然可以與sqrt（）函數(shù)的近似值不同。有沒有辦法找到位置伺服機(jī)構(gòu)的實際開關(guān)曲線？答案是肯定的。可以找到位置伺服機(jī)構(gòu)的實際開關(guān)曲線，“訓(xùn)練”ANN記住它并按需生成它。更進(jìn)一步，可以訓(xùn)練ANN來接管整個開關(guān)控制器。

開關(guān)曲線是關(guān)于[err，der]對值的序列，伺服電機(jī)驅(qū)動器對可施加到電機(jī)的額定（最大）電壓進(jìn)行極性轉(zhuǎn)換。通過在開環(huán)中運行伺服機(jī)構(gòu)（即無反饋），測量并記錄其位置（err）和速度（der）來查找相應(yīng)的值。

首先，準(zhǔn)備一系列預(yù)期的伺服機(jī)構(gòu)速度（der）值，從最低值到最高值。現(xiàn)在，將正的最大驅(qū)動變量（電壓+U）施加到電機(jī)上，并讓其運行，直到伺服機(jī)構(gòu)達(dá)到該系列中的第一個預(yù)期der值。重要提示：記錄與P1相同時刻的伺服位置，同時將執(zhí)行變量轉(zhuǎn)換為-U值。當(dāng)der降至零時，關(guān)閉電壓并將當(dāng)前位置記錄為P2。該過程提供了第一個開關(guān)曲線點的第一對[err，der]坐標(biāo)（其中err=P2–P1）。當(dāng)然，伺服機(jī)構(gòu)必須完全按照預(yù)期使用的方式滿載運行。

[err，der]坐標(biāo)序列表示開關(guān)曲線點。為了獲得最佳結(jié)果，沿der軸均勻分布大約50個坐標(biāo)（對）。然后訓(xùn)練一個合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使用這些開關(guān)點將執(zhí)行變量傳送到伺服機(jī)構(gòu)。即使是最簡單的具有一個隱藏層和大約12個節(jié)點的ANN也可以實現(xiàn)這種功能。

圖7展示了一個輸出值表，可用于訓(xùn)練ANN控制器。在捕獲開關(guān)曲線點之后，需要離線訓(xùn)練ANN控制器，即不直接在物理控制系統(tǒng)實體上進(jìn)行訓(xùn)練。從捕獲的坐標(biāo)序列的底部（或頂部）開始，對于每個單獨的der輸入，您需要生成多個err值（從-max到+max），并向[err，der]坐標(biāo)的每個組合提供（到ANN輸出）特定的輸出值。開關(guān)曲線的所有輸出值對應(yīng)負(fù)的最大驅(qū)動值；開關(guān)曲線右側(cè)的所有輸出值對應(yīng)為正的最大值。誤差坐標(biāo)離開關(guān)曲線越遠(yuǎn)，需要提供的±U值就越少，因為輸出曲線保持平坦。

▲圖7：這個簡單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)表，有助于 ANN 控制系統(tǒng)的設(shè)計。

此訓(xùn)練數(shù)據(jù)表與模糊系統(tǒng)的知識庫非常相似。起初，只使用狀態(tài)空間的上半部分來訓(xùn)練ANN控制器。當(dāng)伺服必須沿相反方向移動時，ANN控制器將僅交換輸出值。然而，如果伺服系統(tǒng)在兩個運動方向上的行為不相同，則必須在整個狀態(tài)空間內(nèi)，對ANN控制器進(jìn)行行為訓(xùn)練。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)如何與其它系統(tǒng)競爭？可查看其輸出變量的形狀，如圖8中白色線展示。

07

四種控制方法的比較

使用Python的屏幕截圖（圖8）展示了模擬伺服機(jī)構(gòu)及其控制器的結(jié)果。伺服機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)近似為1/((1+s100)s200)，其中時間常數(shù)以樣本數(shù)表示。階躍函數(shù)（期望的伺服系統(tǒng)位置）是從0到800（其中1000是期望位置和驅(qū)動變量的最大值）生成的，在1000個樣本之后，它從800下降到400。輸入階躍函數(shù)在圖8中以綠色線表示。

圖8還展示了各個控制系統(tǒng)的運行情況。第一個是最佳調(diào)諧的PD控制器，它對階躍函數(shù)做出即時反應(yīng)。它的KP參數(shù)設(shè)置為5。但這實際上只是一個理想的PD控制。這些實際最佳調(diào)諧PD控制器具有有限驅(qū)動變量，其行為如紅色曲線所示。與其它控制器相比，它實際上是表現(xiàn)最差（最慢）的。然而，如果調(diào)整得當(dāng)，它不會超調(diào)，這在某些應(yīng)用中可能非常重要。

▲圖8：此圖比較了不同的控制方法，以幫助確定應(yīng)用的最佳狀態(tài)。包括最優(yōu)控制（藍(lán)色線）、模糊控制（橙色線）、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（白色線）和 PID 控制（黃色和紅色線）。

表現(xiàn)最好（最快）的控制器是基于ANN的控制器（如白色曲線所示）。這并不奇怪；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過訓(xùn)練，可以模擬精確的開關(guān)曲線，因此它表現(xiàn)為一個完美的、時間最優(yōu)的控制系統(tǒng)。

通過sqrt（e）函數(shù)來模擬開關(guān)曲線的經(jīng)典時間最優(yōu)控制器（藍(lán)色線）表現(xiàn)稍差（較慢）。不過，考慮到其實施非常簡單，因此不應(yīng)對其性能有太多抱怨。

在這種特殊情況下，模糊控制器（橙色線）表現(xiàn)不佳。不過，它沒有調(diào)整到最佳性能（僅進(jìn)行了初始調(diào)整以大致模擬開關(guān)曲線），因此其性能有進(jìn)一步提高的空間。理論上，模糊控制器的性能不應(yīng)比經(jīng)典的時間最優(yōu)控制器差。

這個特定案例驗證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在工業(yè)控制中的應(yīng)用。然而，如果系統(tǒng)“在運行中”改變行為/參數(shù)，則需要一個更能容忍這種變化的控制器。容差是模糊控制器的亮點。最令人驚訝的發(fā)現(xiàn)之一是：50多年前在大學(xué)里學(xué)習(xí)的經(jīng)典時間最優(yōu)控制器（基于sqrt（）函數(shù)），仍然可以很好地運行。

審核編輯 ：李倩