本應用筆記解釋了一種使用積分器模塊和一些簡單的數學操作來產生任意階次濾波器響應的方法。該方法精確，易于應用，并且在需要非標準濾波器響應時可替代“標準”濾波器網絡集。

介紹

關于標準濾波器響應的設計和實現，已經發表了許多文獻和軟件。當需要非標準濾波器響應時，通常由電路設計人員使用自己的“標準”濾波器網絡集來生成解決方案。但是，這種方法還有另一種選擇，該方法精確，易于應用，并使用積分器塊和一些簡單的數學操作來生成任何階次的濾波器響應。

濾波器設計方法

該系統使用簡單的運算放大器積分器模塊，其示例如圖1所示。該方法可應用于連續時間和開關濾波器（例如開關電容濾波器）設計。

圖1.基于運算放大器的（線性）積分器電路模塊和符號表示。

圖1中積分器的傳遞函數及其符號表示如圖2中的表達式所示。該電路對輸入電壓的響應（輸出）以每倍頻程6dB的速率隨頻率而減小增益，單位增益以赫茲為單位的頻率為1/2πCR。

圖2.圖1中積分器電路模塊的傳遞函數。

該技術的應用

設計過程從所需的濾波器傳遞函數開始。圖3中的公式表示二階低通濾波器響應，將用于說明。該技術可用于任何濾波器類型，并且易于擴展到高階系統。

圖3.具有低通響應的二階濾波器的傳遞函數。

然后將一系列數學步驟應用于傳遞函數，以獲得以下形式的表達式：

VOUT = ?(VIN, VOUT, 1/S)

請注意，結果表達式中的所有頻率相關項（出現 S）都必須出現在分母項中。這是因為最終電路將由積分器組成，即1/S的功能。需要三個基本的數學步驟。每個階段獲得的表達式如下。

第 1 步。交叉乘法得到

S2 × VOUT + ω0/q × S × VOUT + ω02 × VOUT = ω02 × VIN

第 2 步。除以 S 的最高冪得到

VOUT + [(ω0/q) × VOUT]/S + (ω02 × VOUT)/S2 = ω02 × VIN/S2

第 3 步。重新排列以獲取 V 的表達式外

VOUT = VIN × (ω02/S2) - VOUT × (ω02/S2) - VOUT × [(ω0/q)/S]

步驟3中產生的方程現在是將執行所需濾波功能的積分器模塊網絡的定義方程。

剩下的兩個設計步驟有些直觀，但規則很簡單。首先，生成集成器網絡圖。這使用許多積分器和求和節點來生成由步驟 3 中的定義方程描述的網絡。要生成此網絡，首先要考慮定義方程的形式。這表示輸出電壓（V外） 就 V 的功能而言外和 V在，其中每個函數都是一個或多個積分器項的乘積。

從左到右考慮這些項，第一項是VIN和兩個積分器級（1/S2）的函數。因此，信號VIN必須通過兩個積分器模塊，然后才能出現在VOUT上。生成圖表的第一步是繪制VIN碼，為兩個串聯的積分器模塊供電，第二個積分器的輸出連接到VOUT。第二項也是兩個積分器級的函數，但這次積分器模塊從VOUT信號饋電。此外，前兩項的1/S2系數相同，為ω02，因此使前兩項的源電壓共享一條通往輸出的公共路徑是合理的。因此，求和結插入到第一個積分器級之前，并通過與VIN和VOUT的連接提供。方程的第三項是VOUT和單個積分器級的函數。為了說明這一點，VOUT還必須饋送到第二個積分器模塊的輸入端。這是通過插入第二個求和結來完成的，這次是在第二個積分器塊之前，輸入來自第一個積分器塊和 V外.

要完成網絡，必須為每個求和結輸入分配正確的符號（反相或同相）。圖1所示積分器的傳遞函數形式為-1/ST，因此積分器模塊將內置信號反轉。符號被分配給從輸出返回到輸入的求和交匯點。步驟 3 等式中的第三項表明來自 V 的反饋路徑外通過第二個求和結和第二個積分器，然后回到 V外應該是反轉的。由于積分器已經包含反轉，因此從 V 到第二個求和結的輸入外應該是同相的。通過類似的分析可以看出，由于定義方程的第一項是正數，因此從 V 開始的路徑在到 V外應該是同相的。由于兩個積分器都反轉信號，因此如果第一和第二求和結的輸入，即來自V在和第一個積分器模塊分別是同相的。請注意，如果兩個輸入都反相，這也適用。然而，正如我們將在最終設計階段看到的那樣，簡單積分器電路的自然形式是同相求和結，然后是反相積分器。積分器圖是通過將一個符號分配給最終求和結輸入來完成的，該輸入來自 V外到第一個求和交匯點。這是由定義方程中的第二項給出的，該項為負數。由于通過兩個積分器的路徑是同相的，因此必須將所需的反演置于信號輸入端，以便從V進行第一次求和外.步驟 3 定義方程的結果網絡如圖 4 所示。

圖4.積分器網絡表示步驟 3 的定義方程。

積分器時間常數，T1和 T2現在可以分配。從積分器網絡中，對定義方程的第三項的推導和分析，我們發現：

-ω0/qS = -1/ST2 → T2 = q/ω0

同樣，從定義方程的第一項和第二項中，我們發現：

ω02/S2 = 1/S2T1T2 → T1 = 1/ω02T2 = 1/ω0q

ω 的值0然后選擇 q 和時間常數 T1和 T2計算方法如下：

最后一步是將圖4所示的積分器網絡轉換為運算放大器/電阻/電容電路。標準反相運算放大器積分器模塊由運算放大器、反饋電容和輸入電阻組成，相當于單個（同相）求和節點，后跟一個（反相）積分器。然后，通過在運算放大器積分器模塊中添加更多輸入電阻來容納多個輸入求和節點。

圖5所示電路為所得有源濾波電路，由圍繞MAX4322運算放大器構建的運算放大器積分模塊構成。為 R 給出的值1/ 12， C1和 C2T的產生值分別為14.96μs和7.05μs。濾波器的增益響應如圖6所示。

注意向 IC 反饋的技巧1.要嚴格再現圖2中的網絡，需要在第一個求和節點的反饋中放置一個逆變器。應用來自 V 的反饋外到IC的同相輸入1在IC的輸出端產生信號1的 （V外+ V外/圣1），提供必要的積分輸出以及從 V 施加的信號的副本外到第二個求和節點。刪除第二個求和節點的反饋路徑可恢復正確的傳遞函數。

圖5.圖2中積分器網絡的電路實現。

圖6.濾波器的增益響應如圖5所示。

上述示例可以使用簡單的雙通道運算放大器IC和少量無源元件來實現。在考慮高階系統的情況下，通過使用多級濾波器IC，可以大大簡化整體設計任務。這類元件的兩個例子是MAX274/MAX275。這些器件分別提供基于一系列積分器模塊的四階和八階連續時間濾波。這些器件的濾波時間常數僅由外部電阻值定義，因為每個積分器級的反饋電容均在片內提供。

如果設計人員希望濾波器設計具有更高程度的可編程性，那么開關電容濾波器方法可能很合適。提供開關電容構建模塊IC，可通過可編程時鐘或電阻進行調整。某些器件還具有微處理器接口功能。MAX260和MAX268系列開關電容濾波器構建模塊IC為尋求可編程濾波功能的人士提供了全方位的控制方法。

這里描述的設計過程功能強大且用途廣泛。它幾乎可以應用于任何有源濾波要求和任何順序的功能。此外，由此產生的簡單集成器模塊的實現簡化了組件的選擇和公差問題。一些有源濾波器實現加劇了基本元件容差的影響，而積分器方法產生的基本容差敏感性與無源LCR濾波器電路相同的基本容差敏感性。此外，運算放大器帶寬變化的影響相對容易計算，因為每個積分器模塊的（所需）單位增益帶寬只需由1/T rad/s = 1/2πRC Hz給出。

審核編輯：郭婷