使用信賴域法求解無約束優(yōu)化問題

在 MATLAB 中，可以使用 fminunc 函數(shù)來求解無約束優(yōu)化問題，其中包括信賴域法。fminunc 函數(shù)的使用方法非常靈活，可以通過修改參數(shù)來指定不同的算法、梯度計(jì)算方法等。

以下是一個使用信賴域法求解無約束優(yōu)化問題的簡單示例：

假設(shè)有以下無約束優(yōu)化問題：

下面是 MATLAB 的代碼實(shí)現(xiàn)：

%定義目標(biāo)函數(shù)和梯度函數(shù)
f=@(x)(x(1)-1)^2+x(2)^2;
grad_f=@(x)[2*(x(1)-1);2*x(2)];

%定義初始點(diǎn)和參數(shù)
x0=[0;0];
options=optimoptions('fminunc','Display','iter','Algorithm','trust-region');

%調(diào)用fminunc函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化
[x,fval,eflag,output,grad,hessian]=fminunc(f,x0,options);

在上面的代碼中，首先定義了目標(biāo)函數(shù) f 和梯度函數(shù) grad_f，然后調(diào)用 fminunc 函數(shù)來求解優(yōu)化問題。需要注意的是，信賴域法需要計(jì)算 Hessian 矩陣，因此需要將 fminunc 函數(shù)的輸出參數(shù)中的 Hessian 矩陣 hessian 提取出來。如果不需要計(jì)算 Hessian 矩陣，可以通過將 fminunc 函數(shù)的參數(shù) 'Hessian','off' 來禁用 Hessian 計(jì)算。

信賴域法還有一些其他的參數(shù)可以調(diào)整，例如信賴域半徑、最大迭代次數(shù)、收斂容限等。我們可以通過修改 options 結(jié)構(gòu)體中的參數(shù)來指定不同的值。在上面的代碼中，我們指定了 Algorithm 為 'trust-region'，即使用信賴域法求解無約束優(yōu)化問題，默認(rèn)情況下 fminunc 函數(shù)使用擬牛頓法進(jìn)行優(yōu)化。

需要注意的是，信賴域法需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，因此要確保梯度函數(shù)的正確性。如果沒有提供梯度函數(shù)，則 fminunc 函數(shù)會通過自動微分方法計(jì)算梯度。

審核編輯：湯梓紅