對MNIST數據集使用2層神經網絡（1層隱藏層）實現。

1、2層神經網絡的類

將2層神經網絡實現為一個TwoLayerNet的類：

class TwoLayerNet:
    def __init__(self, input_size, hidden_size, output_size, weight_init_std=0.01):
        # 初始化權重
        self.params = {}
        self.params['W1'] = weight_init_std * np.random.randn(input_size, hidden_size)
        self.params['b1'] = np.zeros(hidden_size)
        self.params['W2'] = weight_init_std * np.random.randn(hidden_size, output_size)
        self.params['b2'] = np.zeros(output_size)
    def predict(self, x):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        return y
    # x:輸入數據, t:監督數據
    def loss(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        return cross_entropy_error(y, t)
    def accuracy(self, x, t):
        y = self.predict(x)
        y = np.argmax(y, axis=1)
        t = np.argmax(t, axis=1)
        accuracy = np.sum(y == t) / float(x.shape[0])
        return accuracy
    # x:輸入數據, t:監督數據
    def numerical_gradient(self, x, t):
        loss_W = lambda W: self.loss(x, t)
        grads = {}
        grads['W1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W1'])
        grads['b1'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b1'])
        grads['W2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['W2'])
        grads['b2'] = numerical_gradient(loss_W, self.params['b2'])
        return grads
    def gradient(self, x, t):
        W1, W2 = self.params['W1'], self.params['W2']
        b1, b2 = self.params['b1'], self.params['b2']
        grads = {}
        batch_num = x.shape[0]
        # forward
        a1 = np.dot(x, W1) + b1
        z1 = sigmoid(a1)
        a2 = np.dot(z1, W2) + b2
        y = softmax(a2)
        # backward
        dy = (y - t) / batch_num
        grads['W2'] = np.dot(z1.T, dy)
        grads['b2'] = np.sum(dy, axis=0)
        da1 = np.dot(dy, W2.T)
        dz1 = sigmoid_grad(a1) * da1
        grads['W1'] = np.dot(x.T, dz1)
        grads['b1'] = np.sum(dz1, axis=0
        return grads

定義了初始化函數__init__，其中params變量W1，2分別是第1，2層的權重，b1,2分別是1，2層的偏置。初始化函數中包含輸入層、隱藏層和輸出層的神經元數，W1是隨機生成的大小為輸入層神經元數量(m)*隱藏層神經元數量的矩陣(n)，b1是隱藏層神經元數量(n)的全0一維數組，W2是隨機生成的大小為隱藏層神經元數量(n)*輸出層神經元數量(k)的矩陣，b2是輸出層神經元數量(k)的全0一維數組。

定義了predict函數，表明網絡結構，輸入x權重+偏置進行激活得到隱藏層z1，z1權重+偏置進行激活得到輸出y。

定義損失函數loss，使用的是交叉熵誤差。

定義精確度函數accuracy，計算輸出與標簽一致（即正確識別）的概率。

定義了數值微分求權重梯度的函數numerical_gradient，返回梯度值，之前介紹過。

定義了另一種求權重梯度的方法，后面介紹。

上述代碼中涉及的兩個變量params和grads是字典型實例變量，前者保存了神經網絡中全部的參數，后者保存了各個參數的梯度。

2、Mini-batch的實現

定義了2層神經網絡的類相當于對神經網絡進行封裝形成一個模塊，需要的時候設計參數即可直接調用。現在對MNIST數據集進行學習，使用這個封裝好的2層神經網絡。

# 讀入數據
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(normalize=True, one_hot_label=True)
network = TwoLayerNet(input_size=784, hidden_size=50, output_size=10)
iters_num = 10000  # 適當設定循環的次數
train_size = x_train.shape[0]
batch_size = 100
learning_rate = 0.1


# 獲取mini-batch
for i in range(iters_num):
    batch_mask = np.random.choice(train_size, batch_size)
    x_batch = x_train[batch_mask]
    t_batch = t_train[batch_mask]
# 計算梯度
    #grad = network.numerical_gradient(x_batch, t_batch)
    grad = network.gradient(x_batch, t_batch)
# 更新參數
    for key in ('W1', 'b1', 'W2', 'b2'):
        network.params[key] -= learning_rate * grad[key]
# 記錄學習過程    
    loss = network.loss(x_batch, t_batch)
    train_loss_list.append(loss)

讀入數據后，調用了2層神經網絡的類，設置好函數完成調用，其中輸入神經元為784個（圖片像素為28*28），隱藏層50個神經元，輸出層10個神經元（對應0-9的分類）。

設置超參數，包括學習的次數iters_num，訓練數據的數量train_size，一次隨機選取的訓練數據的個數batch_size，學習率learning_rate。

獲取mini-batch，計算mini-batch中的梯度，有兩種計算方法數值微分和后面會介紹的高效方法，任意一種都行。通過grad函數更新參數W1,W2,b1,b2，使參數向梯度方向即使損失函數減小的方向移動，保存每一次更新的損失函數的值，后續繪圖可以觀察損失函數的變化。損失函數在不斷減小，說明神經網絡確實在學習。

3、基于測試數據的評價

損失函數的值是某一個mini-batch的損失函數的值，不能說明在其他數據集上也能有同等程度的表現，神經網絡的學習必須確認是否能識別訓練數據之外的其他數據，即確認是否會發生過擬合。

下面的代碼會對訓練和測試數據的每一個epoch記錄識別精度。一個epoch表示學習中所有數據均被使用過一次的更新次數，訓練數據有60000個，mini-batch是100個，那么重復隨機梯度下降法600次，所有訓練數據就都被看過了，因此600次是一個epoch。

train_acc_list = []
test_acc_list = []
iter_per_epoch = max(train_size / batch_size, 1)


if i % iter_per_epoch == 0:
  train_acc = network.accuracy(x_train, t_train)
  test_acc = network.accuracy(x_test, t_test)
  train_acc_list.append(train_acc)
  test_acc_list.append(test_acc)
  print("train acc, test acc | " + str(train_acc) + ", " + str(test_acc))
# 繪制圖形
markers = {'train': 'o', 'test': 's'}
x = np.arange(len(train_acc_list))
plt.plot(x, train_acc_list, label='train acc')
plt.plot(x, test_acc_list, label='test acc', linestyle='--')
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("accuracy")
plt.ylim(0, 1.0)
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

每經歷一個epoch就會對所有訓練和測試數據計算精度，然后繪制訓練和測試精確度的變化，訓練和測試的精度在慢慢提高且基本重疊，說明沒有過擬合。