雷達方程大家一直是既熟悉又陌生的狀態(tài)，熟悉在于其形式之簡，無非就是幾個物理量的乘除，物理模型及概念又清楚明了；陌生在于雖其形式之簡，但使用起來終究有種食之無味，棄之可惜之感，之后就束之高閣了。原因在于，雷達方程本質(zhì)是一個將環(huán)境電磁傳播，目標散射屬性，雷達射頻硬件，信號處理算法等緊密聯(lián)系起來的方程式。換句話說，雷達方程是一個將物理組件實體和軟件信號虛體緊密聯(lián)系的偉大方程。

方程同時涉及硬件，射頻天線及軟件算法。負責硬件的同學，可能熟悉PCB特性，比如怎么樣的板材的介電常數(shù)比較穩(wěn)定，損耗較小，從而實現(xiàn)高質(zhì)量電磁輻射。負責射頻天線的，對天線增益，阻抗匹配，傳輸線損耗比較熟悉。做軟件算法的，對信噪比估計，F(xiàn)FT算法等比較擅長。但是，這三位同學如果只是限于自身領(lǐng)域，是不可能對雷達方程有更深層次認識的，始終會處于似懂非懂的境地，用起來也就味同嚼蠟了。

▲ radar equation

事實上，深入了解雷達方程并不需要硬件，射頻天線及軟件算法方面的艱深知識，只要這三個領(lǐng)域一些基本的知識概念即可，我嘗試拋磚引玉，分享一種我的理解思路及分析邏輯。并且我也會分享關(guān)于雷達方程在工程中的作用以及使用注意點等。

需要說明，關(guān)于雷達方程模型解釋方面的資料多如牛毛，考慮篇幅以及文章定位，不再贅述，讀者可以自行查閱其他資料，這樣做雖使得文章略欠系統(tǒng)性，但我希望主要把雷達方程最本質(zhì)的東西呈現(xiàn)于你。

另外指出，雷達方程常用的還有對數(shù)形式，對于單發(fā)單收（SISO），方程如下，

▲ radar equation(log type)

我以一個具體的例子貫穿全文闡述雷達方程，并且聯(lián)系實際。

大家可能看過TI radar chip的datasheet，比如AWR1642（如下圖）

▲ 器件概述（局部）

其中藍框內(nèi)有個重要的參數(shù)指標RX噪聲系數(shù)（Noise Figure，NF），在76-77GHz內(nèi)可以做到14dB。噪聲系數(shù)如何定義以及計算大家可以自行查閱資料。這個參數(shù)極為重要，并且越小越好。那么TI設(shè)計為14dB是否有什么依據(jù)，或者說TI將噪聲系數(shù)設(shè)置為14dB有什么思考邏輯，又或者說這個數(shù)值是不是芯片性能與成本的某種平衡。我嘗試從雷達方程的角度提供一個解釋，從中也可以反應(yīng)雷達方程的作用以及加深你對雷達方程的認識。

TI公司設(shè)計的AWR1642，功能框圖如下。

▲ AWR1642功能框圖

其中，RX接收共有4路，如功能框圖圖藍框所示，每一路可以稱為接收模擬鏈路（RX analog chain）,該鏈路包含兩大核心組件，RF(如LNA，mixer)，以及baseband(如IF，VGA，HPF等)，需要指出，前述的噪聲系數(shù)并不是鏈路中某個器件的噪聲系數(shù)，而是整個模擬接收鏈路（rx analog chain）的整體噪聲系數(shù)。因此，噪聲系數(shù)(NF)可以理解為，對應(yīng)于每個channel，接收信號在LNA輸入到ADC輸入這個過程中的信噪比損失。

那么這個信噪比損失也就是噪聲系數(shù)設(shè)置為多少合適呢，如果太小，當然是極好的，好是好估計要費好多錢和頭發(fā)，成本扛不住。如果太大，算法中有用信號被噪聲淹沒了，雷達就廢了。不過，借助雷達方程，我們可以粗略估計其數(shù)值。

▲ 雷達電磁傳播

首先，在確定NF之前，我們暫時先回到天線設(shè)計，我們設(shè)計的天線必須達到足夠的靈敏度（Sensitivity），所謂靈敏度就是雷達天線能夠接收微弱信號的能力表征。這與功能需求有關(guān)，比如，要求載頻77GHz雷達在80m處檢測到一個成人（rcs=0dBsm），并且雷達的輻射功率為12dBm，收發(fā)天線增益為12dBi。忽略一些損耗，根據(jù)前述雷達對數(shù)方程，在接收端某個channel，LNA輸入前的雷達接收信號能量為-121dBm(Pr = rcs - R + Gt + Gr + Pt + K)，這些量都是對數(shù)形式，K為方程中常數(shù)項的對數(shù)，所以Pr = 0 - 40*log10(80)+12 + 12 + 12 + 10 log10((0.00392.^2)/((4pi).^3)) =-121dBm。

假設(shè)rx端靈敏度足夠高，能夠檢測接收-121dbm的信號功率，也就是說LNA端的輸入是-121dBm，若不考慮通道增益不平衡以及環(huán)境雜波，每個channel的-121dBm能量將通過各自的rx analog chain 以及ADC處理。之后就是算法上距離維，速度維，角度維的處理。這個過程中，rx analog chain若干組件會放大接收信號，也就是接收信號獲得增益，但同時也會引入噪聲（通常是熱噪聲）。算法上的處理，如FFT處理同樣引入信號處理增益。那上述這些增益及噪聲與NF有何關(guān)聯(lián)？繼續(xù)分析。

▲ Receive Subsystem (Per Channel）

信號目標判決通常在算法層實施，如在range-Doppler map 進行閾值判斷以及CFAR處理從而確定有效檢測，這里有個算法上的核心工作： 確定全局信噪比 。信噪比的確定方法有很多，不過不在本文討論之列，假設(shè)我確定了該信噪比SNR為17dB，也就是說，任何低于17dB的目標檢測都視作無效目標檢測點。

將前述增益，噪聲，NF，以及SNR這幾個量統(tǒng)一的方式就是修正后的雷達方程。其對數(shù)形式為，

其中SNR中的Pr是在算法中做完距離維，多普勒維FFT后估計的接收功率。如果Pr是LNA前的接收信號功率，那么上式將修正為，

本文開頭的雷達方程止于接收端LNA之前的信號分析。如果再考慮rx analog chain以及信號處理算法鏈路，并引入檢測信噪比，那么雷達方程的形式將得到修正，也就是得到式(1)。

修正后的雷達方程非常有用。我們首先用它來估計NF。

比如接收端的檢測信噪比為17dB，上式kTNF表征熱噪聲，在微波頻率上，噪聲通常是在接收機內(nèi)部產(chǎn)生的。在接收機輸入級的電阻部分會由于導電電子的熱運動而產(chǎn)生噪聲，稱為“熱噪聲”或“約翰遜噪聲”，k為玻耳茲曼常數(shù)，數(shù)值上等于1.38e-23。T為熱力學溫度。NF為噪聲系數(shù)。NTr中N為chirp個數(shù)，Tr為chirp時寬。

那么若NTr為10ms，也就是累計時間為10ms，該數(shù)據(jù)代入方程(1)后得到，

NF = -40*log10(80)+12+12+12-81+174-20-17 = 15.8dB

通常，NTr要遠大于10ms，對NF的要求更低。所以式中的數(shù)據(jù)相對苛刻些。至此我們完成了NF的合理估計。那么你可能還有疑惑，方程(1)如何來的？

事實上，式(1)的非對數(shù)形式為，

其中的NTr = NMTs，其中M為chirp采樣點個數(shù)，Ts為快時間維采樣間隔。所以，上式可以進一步得到，

其中P_algo是算法中估計信號功率，P_beforeADC是信號輸入ADC之前的功率，P_LNA是LNA前測量的信號功率。由此可見，式(1)與本文開頭的雷達方程也是統(tǒng)一的，只不過經(jīng)過算法處理后需要補償FFT的增益而已。

以上分析以及計算都是基于一定的前提條件，包括但不限于

1 收發(fā)天線無波束傾斜（no Antenna beam tilt measurement）,也就是天線輻射boresight.必須對準0°。天線波束tilt與多種因素有關(guān)，比如PCB，天線與饋電設(shè)計，RF，殼體與天線罩。像一些高增益天線以及低成本PCB材料容易發(fā)生波束tilt，需要詳細測試或校準。

2 無多通道天線增益不平衡以及無相位失配（mismatch），如果存在問題，需校準。

3 忽略PCB傳導損耗（Conductor Loss）,介電常數(shù)變化，銅箔不平整等問題。

4 不考慮溫度影響，否則需要溫度校準。比如溫度對相位的校準表。

5 環(huán)境路徑損耗，天氣引起的各類損耗，可以作為修正項引入。

事實上，式（1）的作用包括但不限于，

*TX-RX 回環(huán)SNR測量計算，并與RF鏈路理論分析結(jié)果對比，從而評估SNR合理性

*將TX輸出功率以及RX端噪聲系數(shù)整合，能夠識別整個鏈路中發(fā)射端天線增益，輸出功率，接收端天線增益可能存在的問題。

也就是說，如果你的雷達測距范圍在算法上已經(jīng)窮途末路，那不妨試試雷達方程鏈路分析手段，或許你會發(fā)現(xiàn)一些鏈路組件值得改進優(yōu)化的點，從而進一步增強你的雷達測距性能。