一 IIR濾波器的特點及設計方法

1. IIR濾波器的特點

我們已經詳細闡述了兩種類型的濾波器——FIR濾波器及IIR濾波器的概念及區別

看下圖也可以，兩種濾波器的差異，一目了然。

圖1

2. IIR濾波器的設計方法

先思考一個問題，我們前面學到的FIR濾波器的設計方法，能不能應用于IIR濾波器？如果能，那該多好啊！

很可惜，答案是否定的。FIR濾波器的設計方法，完全、一丁點也不適用IIR濾波器。為什么呢？FIR濾波器的單位沖激響應 h(n) 是有限長的，h(n)就是其系統函數H(z)的系數（分子多項式系數，因為分母為1）。而IIR濾波器則完全不同，它的h(n) 是無限長的，其數值與系統函數H(z)的系數（分子多項式系數、分母多項式系數）沒有直接的對應關系。

也就是說，這兩種濾波器的設計思路是完全不同的。

我們回顧一下，FIR濾波器的設計，是從不可物理實現的理想濾波器出發，從理想濾波器的單位沖激響應出發（窗函數法）、或者從其頻率響應出發（頻率取樣法），進行處理，得到可物理實現的FIR濾波器。其設計過程，更側重用到數字信號處理的一些基本理論（如時頻域的對應關系、頻譜泄露、混疊等概念）。

而IIR濾波器設計，則是更側重數學的角度，用一些形狀合適的數學函數，通過調節函數中的某些參數，來直接逼近濾波器的幅度函數，使其滿足性能指標的要求。其目標依然是確定系統函數H(s)分子分母多項式的階數以及系數，也就是圖1中的各個ai和bi。

IIR的設計方法有兩種：

第一種方法，稱為“模擬原型法”，又稱為“間接設計法”。先設計模擬原型濾波器H(s)，再利用模擬系統數字化的方法轉換為數字濾波器H(z)，如果轉換？是我們本章的學習重點。

第二種方法，稱為“計算機輔助設計法”，又稱為“直接設計法”。是利用優化技術，借助計算機進行大量迭代運算，在某種最優化準則下逼近所需要的頻率響應。這其實是個數學問題。我們這里不多費口舌。

我們重點學習“模擬原型法”。

2. 模擬原型法的設計步驟

第一步：根據實際需求，確定數字濾波器的設計指標。

所謂實際需求，也就是對哪些頻段的頻率成分需要濾除（即阻帶），哪些頻段需要保留（即通帶）。以及濾除的干凈程度（阻帶最小衰減）、保留的不損失程度（通帶最大衰減）。

這兩個衰減，通常以dB為單位。而通帶和阻帶的截止頻率（或稱為邊沿頻率）通常是“模擬頻率”，所以我們設計濾波器的第一步，就是需要將“模擬頻率"，轉換為“數字域頻率”，公式如下：

這是學習數字信號處理的基礎，默認大家已經掌握了哈。

第二步：設計模擬原型濾波器

為什么叫“原型”，因為我們的目標是設計數字濾波器，所以這里設計的模擬濾波器只是一個中間存在，故而稱為“原型”。

既然是設計模擬濾波器，通帶、阻帶當然要以模擬頻率來表示，所以我們首先面臨一個疑問：數字濾波器的通帶阻帶是以數字域頻率來表示的，與模擬原型濾波器的通帶阻帶（模擬角頻率來表征的）有何對應關系呢？

這個疑問，我們先放一放，后面會解決的，這也是本章的一個重要知識點。

第三步：轉換為數字濾波器

如何轉換？是本章學習的重點。我們將重點學習兩種轉換方法，分別稱為“沖激響應不變法”和“雙線性變換法”。