本文提出了一種新型的濾波器，其頻響具有直線特性，本文將詳細(xì)解釋如何推導(dǎo)這種特殊的濾波器。最后介紹基于Matlab的濾波器設(shè)計(jì)軟件，以低通為例，展示其功能。給出Github相關(guān)鏈接。

直線幅度濾波器特點(diǎn)和用途

直線幅度濾波器(Linear Amplitude Filter, LR Filter)濾波器本公眾號首次公開的一種濾波器，其幅頻特性在某一點(diǎn)上具有最佳直線幅度逼近特性，這種濾波器可以用于補(bǔ)償線纜插損，可以用于幅度均衡和濾波器兩用。

直線幅度濾波器

直線幅度濾波器是一類特殊的理想濾波器，其地位和矩形濾波器以及高斯濾波器相當(dāng)，是無法通過多項(xiàng)式直接擬合得到的，只能通過函數(shù)逼近的方式得到，現(xiàn)在我們總結(jié)下現(xiàn)有濾波器設(shè)計(jì)。

總共有三類濾波器綜合如下(當(dāng)然這個(gè)圖還可以擴(kuò)展)：

直線幅度濾波器綜合全流程如下：

直線幅度濾波器逼近

這里定義直線幅度濾波器的幅頻響應(yīng)為：

其中為階直線幅度濾波器多項(xiàng)式。

約束

1,是階多項(xiàng)式(可實(shí)現(xiàn)性，在頻率增益為0)

2,(直線特性第一點(diǎn)，在頻率為0的位置增益為，其中)

3,(直線特性第二點(diǎn)，在頻率為1的位置增益為)

4,(直線濾波器帶寬定義，幅度最高點(diǎn)規(guī)定為1)

5,在通帶范圍內(nèi)逼近直線(直線幅度濾波器特征)

直線幅度逼近

首先需要澄清一點(diǎn)是定義，為了可實(shí)現(xiàn)性，因?yàn)橹挥卸囗?xiàng)式是偶次項(xiàng)才能實(shí)現(xiàn)，偶次就意味著零點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，所以，最后濾波器極點(diǎn)就一定可以選擇到左半邊平面，是可以實(shí)現(xiàn)的。

照例我們定義:

是一個(gè)偶次多項(xiàng)式。

由約束2和3可以繪制出理想濾波器草圖：

那么我們可以得到直線濾波器在帶寬范圍內(nèi)的直線表達(dá)式：

由約束1，是一個(gè)多項(xiàng)式，所以在區(qū)間范圍內(nèi)，結(jié)合式和式，得到：

變量代換得到：

我們得到了理想濾波器在范圍內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式，這里使用泰勒展開來進(jìn)行幅度逼近，其中展開的點(diǎn)可以在范圍內(nèi)隨意指定:

為簡單起見，這里將展開點(diǎn)定為，并且，使用wolfram alpha計(jì)算：

得到：

從泰勒逼近式我們可以看到，只能取偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最高次項(xiàng)是負(fù)，當(dāng)頻率為無窮時(shí)，，違反約束1。這里取，得到:

看看逼近效果：

由于泰勒逼近只在有效，所以最終逼近后約束2,3,4將失效，所以需要對式和進(jìn)行處理，由約束3,4以及式可以得到多項(xiàng)式：

所以需要調(diào)整直線的截距來達(dá)到約束條件：

要依據(jù)式(8)和泰勒逼近(6)聯(lián)合得到所需的和展開點(diǎn)，最終求解的方程為：

兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，式(8b)求解過程非常復(fù)雜，我們采用數(shù)值求解方案：這里采用了chebfun函數(shù)逼近庫來計(jì)算，得到時(shí),,，多項(xiàng)式為：

最終效果如下：

這個(gè)濾波器就是帶寬為1，斜率為0.5的4階直線幅度濾波器響應(yīng)。

那么當(dāng)階數(shù)增加，逼近效果怎樣呢，這里制作了階數(shù)從2到20階的幅度響應(yīng)動(dòng)圖(圖中對比了Butterworth頻響)：

下圖是將幅度修改為dB，頻率軸還是線性：

歸一化參數(shù)與階數(shù)的關(guān)系如下，當(dāng)階數(shù)升高，最終值會(huì)趨于0.5。圖中16階后曲線有偏移是因?yàn)橛?jì)算精度問題。

奇數(shù)階濾波器設(shè)計(jì)

目前還未找到一個(gè)有效的辦法解決奇數(shù)階直線幅度濾波器的設(shè)計(jì)(探索了幾個(gè)方案均不滿意)。

線性幅度濾波器多項(xiàng)式

和勒讓德濾波器類似，線性幅度濾波器多項(xiàng)式并沒有統(tǒng)一的公式來求解，這里采用了Matlab的符號計(jì)算工具來進(jìn)行求解：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-07-03(yyyy-mm-dd)
% 線性幅度濾波器系數(shù)設(shè)計(jì)
% 注意返回值低次在前，高次在后
%--------------------------------------------------------------------------
function [Ln] = funGenLinearAmpPoly(FilterOrder, IL)
if mod(FilterOrder, 2)
    Ln = [];
    warning('FilerOrder must be even');
    return;
end
% 使用chebfun函數(shù)計(jì)算m和b，使得在w=1處有單位增益和最大值
[m, b] = funLinearAmpGet_mb_chebfun(IL, FilterOrder);
if FilterOrder > 20
    dig = 100;
else
    dig = 16;
end
syms x
% 定義了直線幅度濾波器傳遞函數(shù)
f = 1/((1-IL)*sqrt(x)+b)^2;
a = sym(m);
coeffsx = sym(0);
for k = 0:FilterOrder
    kk = sym(k);
    % 使用在x=m處的麥克勞林展開得到系數(shù)
    coeffsx = coeffsx + vpa(subs(diff(f, x, kk) / factorial(k), x, a)*vpa((x-a)^kk, dig), dig);
end
polyx = coeffs(coeffsx);
% 計(jì)算平方的系數(shù)
Ln = vpa(zeros(1, length(polyx)*2-1), dig);
Ln(1:2:end) = polyx;
end

輸入，的到參數(shù)：

>> [Ln] = funGenLinearAmpPoly(2, 0.707)
Ln =
[1.4882, 0, -0.9764, 0, 0.4882]

也即得到2階直線幅度濾波器多項(xiàng)式：

這里給出數(shù)值計(jì)算出的線性幅度濾波器前14階偶數(shù)濾波器多項(xiàng)式(注意這里不是特征多項(xiàng)式)：

在s平面取其左半邊極點(diǎn)得到前14階偶數(shù)線性幅度濾波器系數(shù)為(時(shí)幅度為1，時(shí)幅度為0.707)：

前14階線性幅度濾波器極點(diǎn)為(時(shí)幅度為1，時(shí)幅度為0.707)：

線性幅度濾波器零極點(diǎn)

不同參數(shù)對線性幅度濾波器的極點(diǎn)影響如下圖所示，其極點(diǎn)分布推測和高斯濾波器一樣符合某種Szeg?曲線分布(其中兩個(gè)參數(shù)為0.5，另外一個(gè)參數(shù)從0.1掃描到0.9)：

當(dāng)濾波器階數(shù)非常高時(shí)就極點(diǎn)分布規(guī)律就非常明顯（以下展示100階濾波器極點(diǎn)分布）：

下圖是不同類型濾波器的零極點(diǎn)分布圖，紅色曲線和點(diǎn)是6階直線幅度濾波器極點(diǎn)分布：

直線幅度濾波器綜合

這里僅使用全極點(diǎn)濾波器來綜合，列出一個(gè)簡單的2階3dB直線幅度濾波器綜合實(shí)例，以供參考：

直線幅度濾波器IL(As)限制

對于上述線性幅度濾波器，由于綜合實(shí)現(xiàn)方面的限制，對于兩端匹配線性幅度濾波器，只能滿足特定IL(As)目標(biāo)，比如對于2階線性幅度濾波器，其As必須小于3.4dB，對于10階線性幅度濾波器，其As必須小于2.3dB。

具體如下圖所示(圖中陰影部分是可實(shí)現(xiàn)的部分)：

但是對于單端匹配狀態(tài)下的線性幅度濾波器，可以綜合出來的幅度調(diào)整范圍就寬很多，如對于終端開路的直線幅度濾波器，假設(shè)，那么可以得到如下的綜合結(jié)果：

同樣的參數(shù)4種不同終端情況匯總?cè)缦拢梢跃C合出實(shí)際的電路出來：

當(dāng)然兩端口直線幅度綜合限制也是有的，如下所示(圖中陰影部分是可實(shí)現(xiàn)的部分)：

直線幅度濾波器設(shè)計(jì)軟件

基于Matlab的appdesign工具開發(fā)了一套濾波器設(shè)計(jì)軟件, 主要特點(diǎn)是：

支持直線幅度濾波器(Linear Amplitude Filter)、勒讓德濾波器(Legendre Filter)、高斯濾波器(Gaussian Filter)、貝塞爾濾波器(Bessel Filter)、橢圓函數(shù)濾波器(Elliptic/Cauer Filter)、切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計(jì)

支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計(jì)

T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換

可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)

可以設(shè)置通帶衰減來綜合濾波器

可以隨意配置負(fù)載和終端阻抗, 并支持一端接載(源端電阻短路, 源端電流源, 終端開路, 終端短路)設(shè)計(jì)

可以幅頻響應(yīng)分析、零極點(diǎn)分析、瞬態(tài)分析

可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)和實(shí)際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)

可以支持實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計(jì)

LinearAmp LPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)一款-2.0dB截止頻率為1GHz, 8階低通線性幅度濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計(jì)過程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

線性幅度濾波器瞬態(tài)仿真結(jié)果：

線性幅度濾波器AC仿真結(jié)果：

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabLinearAmpFilterDesignApp)，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗(yàn)，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。

展望

本文只提出了偶數(shù)階濾波器的梯形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)方法，還可探索奇數(shù)階濾波器設(shè)計(jì)；

理論上還存在多種不同實(shí)現(xiàn)方案，比如使用電阻和電容網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)；

兩端匹配衰減幅度的范圍也可以進(jìn)一步拓寬；

匹配特性還可改善，比如將對地電阻衰減更換為衰可以進(jìn)一步改善駐波；

審核編輯：湯梓紅