在今后的文章中，你會了解到只需使用幾個簡單的諧波合成器就可以模擬（或者說「合成」）出許多「真實」的樂器。比如說，鋸齒波（sawtooth wave）可以模擬出管弦樂團的銅管和弦樂音色、方波（square wave）可以合成出單簧管等木管樂器的音色，聲音較為單薄的脈沖波（pulse wave）可以提供類似雙簧管和巴松管的尖銳聲音。

不光只有管弦樂器，相同的波形同樣用于可以合成現(xiàn)代樂器。將鋸齒波和脈沖波混合可以得到與真實貝斯吉他極其類似的音色；給經(jīng)過適當(dāng)調(diào)制的鋸齒波加上一些效果器可以模擬出主音吉他的聲音。當(dāng)然，在演奏這些音色的時候你需要用與吉他類似的演奏技法才能保證聽感盡量真實，但這不是本文要討論的重點。重點在于：即使用一個只提供三種簡單波形的合成器你也可以模擬出各式各樣的音色。

不過，除了諧波振蕩器之外，還有一類振蕩器存在。這些「非諧波」振蕩器和諧波振蕩器一樣重要，但它們兩類的工作原理卻大相徑庭。包括爵士鼓、定音鼓以及許多民族樂器在內(nèi)的打擊樂器的聲音在現(xiàn)代西方音樂中被頻繁應(yīng)用。為什么這些打擊樂器的聲音與旋律樂器的音色差別如此巨大呢？以及，我們該如何運用減法合成的手法模擬這些打擊樂器的聲音呢？

回想一下我們在上篇文章中討論的繩子，不考慮其可以忽略不計的粗度，繩子只有一個維度——長度。雖然其他因素也會對繩子的震蕩產(chǎn)生影響，比如說它的密度和張力，但在三維空間中，對于繩子來說最重要的屬性只有長度。管狀物也（大致）相同，其口徑與材質(zhì)會對其聲音產(chǎn)生明顯的影響，但是最重要的屬性也只有長度一個。

現(xiàn)在想象一個圓形薄膜，其圓周的每一個點都被固定，并且被施加同等的力。鼓樂器的鼓面可以被類比為類似的圓膜，但我們在這里要將其當(dāng)作另外一種振蕩器來看待。像之前一樣，為了簡化這一假設(shè)，我們忽略鼓邊匡上的木材和金屬等因素，專注于鼓面這一振蕩器本身。

這一圓膜和繩子的最大區(qū)別顯而易見：與繩子不同，鼓面有兩個維度：鼓面是一個平面，而不是一條線。你可能已經(jīng)猜到鼓在被敲擊、被撥動或者被吹動的時候的震蕩方式和繩子相比會有很大區(qū)別。沒錯，振蕩器的物理維度對于其聲學(xué)屬性來說至關(guān)重要。

讓我們以一個圓形鼓樂器為例。與前文的繩子一樣，它的鼓面圓周處被固定，震動的時候圓周無法自由移動。

現(xiàn)在想想看如果敲擊這一鼓面的正中央，鼓面會產(chǎn)生什么樣的震動。如果你的回答是和繩子一樣上下往返運動的話，那么你就答對了。從側(cè)面觀察，圓膜的基頻的震蕩方式與繩子的震蕩方式極其類似——參照圖 1。這一震動類型被稱作膜狀物的 w01 震動模式。

圖 1：繩子的基頻震動與圓形薄膜的 w01 震動模式

（別擔(dān)心，這次我不會和上一篇文章一樣深入討論這一震動的數(shù)學(xué)原理。因為膜狀物的震動實在過于復(fù)雜，就算你是天體物理學(xué)家看到那些震蕩模式的公式恐怕也會頭疼。）

因為你在敲擊鼓面的正中央，所以你沒辦法用創(chuàng)建繩子的第二諧波的方法，將手指放在鼓面正中央，所以我們來看看鼓面震動的第三諧波。再回想一下繩子的震動方式，如果你將手指放在繩長三分之一的位置，可以生成頻率正好為基頻三倍的諧波。但如果用相同的方式，將手指放在鼓面半徑三分之一的位置，那么你就找錯位置了。與繩子的整數(shù)分之一的簡單的「零點」關(guān)系不同，鼓面的零點要用一個叫做「貝塞爾函數(shù)」的極為復(fù)雜的公式計算。具體的計算方式我們不在本文討論，你只需要知道，貝塞爾函數(shù)告訴我們鼓面的第一零點位于從鼓面中心到鼓邊 42.6 的位置。另外，鼓面在進行這種震動（w02 震動模式）的時候產(chǎn)生的頻率為基頻的 2.296 倍。所以說，雖然膜狀物的奇數(shù)泛音震動方式和繩子看起來相似，但其實兩者的聲學(xué)屬性卻大相徑庭（見圖 2）。

圖 2：（由上到下依次為）繩子震蕩產(chǎn)生的第三諧波；圓膜的 w02 震動模式；從上至下觀察的圓膜 w02 震動，中央的白色部分位于平面「上方」，圓周處的陰影部分位于「下方」，以此往復(fù)震動。黑色的實線為震動的「零點」，薄膜的此處保持靜止

繩子的下一個奇數(shù)諧波——第五諧波將繩子平均分為五段，其頻率為基頻的五倍整。相對的，鼓面的下一個奇數(shù)諧波的零點位于圓心到圓周處 27.8 和 63.8 的位置，其頻率為基頻的 3.6 倍（圖 3）。

圖 3：從上至下觀察的圓膜 w03 震動模式，白色部分位于平面「上方」，陰影部分位于「下方」，以此往復(fù)震動

更為復(fù)雜的是，如果你敲擊的不是鼓面的正中央，哪怕只是偏移一點點都會導(dǎo)致鼓面的震動方式變得完全不同，而且現(xiàn)實世界中，敲鼓的時候幾乎每次都敲不到正中央。圖 4 展示了鼓面的其他震動模式中的一小部分，以及震動產(chǎn)生的諧波與基礎(chǔ)頻率 f 的關(guān)系。

圖 4：鼓面的其他幾種震動模式

和繩子一樣，鼓面在震動的時候不只會生成一個單獨的頻率，而是會以多種模式同時震動。另外，這些震動的幅度與衰減速度全都不同。鼓樂器的音色因此而極其復(fù)雜，無法用簡單的諧波振蕩器生成的波形輕易模擬。

為了更明確地說明這一點，讓我們把鋸齒波的前四個諧波與鼓被敲擊時產(chǎn)生的波形的前幾個諧波分布對比來看（見圖 5）。

圖 5：（上）簡單諧波振蕩器的基頻與前三個泛音；（下）同樣基頻的鼓面及其前八個泛音

不難看到，簡單諧波振蕩器產(chǎn)生的諧波在頻譜上規(guī)則分布，而鼓面震動產(chǎn)生的諧波數(shù)量更多，并且以一種不規(guī)則的形態(tài)分布。正是因此鼓樂器的音色具備「無調(diào)性」的特征，我們在聆聽鼓音色的時候很難感知到一個簡單的音高或者聲調(diào)。如果你繼續(xù)觀察鼓面的高頻諧波，你就會發(fā)現(xiàn)其在頻率越高的位置諧波的數(shù)量就越多，并且分布越緊湊。隨便觀察一個鼓面震動的頻譜，即便是基頻只有 100Hz 的鼓音色，它的諧波分布也能一直延展至人類聽覺極限 20kHz 甚至更高的位置。

然而這還僅僅只是理想狀態(tài)下的情況，真實世界中的各種因素會讓鼓音色變得更為復(fù)雜得多。比如說，無論你將鼓調(diào)整得多么精準(zhǔn)，鼓面的不同位置的張力總是會有一些細(xì)微的差別，其震動模式也會因此發(fā)生變化，幾乎無法準(zhǔn)確計算。另外，每個鼓手都知道，敲鼓的時候用力越大鼓的音高就越高，也就是說鼓面的位移幅度還會對鼓的基頻產(chǎn)生影響...

我的建議是：雖然鼓的發(fā)聲原理看上去簡單，但實際情況要復(fù)雜得多的多，還是不要試圖精確分析它為好。有研究者花了幾十年時間構(gòu)建出來了龐大、復(fù)雜的膜狀物震動數(shù)學(xué)模型，但即使是運用了這些復(fù)雜算法的 DSP 設(shè)備產(chǎn)生的鼓音色與「真實」的鼓樂器比起來效果也只能算差強人意。所以說我們的模擬合成器就只能模擬 70 年代的小號和提琴音色，在鼓音色面前只能繳械投降了嗎？然而答案并非如此...

讓我們把鼓音色放在模擬合成器的環(huán)境中思考。如果我們要合成一個與鼓的聲音類似的音色，我們需要一個類似前文描述的分布非常密集的諧波，并且需要保證這些諧波之間沒有傳統(tǒng)的和聲關(guān)聯(lián)。幸運的是，大多數(shù)合成器都有一個具備類似功能的模塊——「噪聲發(fā)生器（noise generator）」可以同時產(chǎn)生所有的音頻頻率，利用這一特性我們可以取得普通振蕩器難以產(chǎn)生的波形，為模擬「鼓」音色提供基礎(chǔ)。實際上，許多 90 年代經(jīng)典的打擊樂音色——Roland CR78, CR5000, TR808 等等鼓機的聲音都是使用經(jīng)過濾波的噪聲合成的。

圖 6：使用 Minimoog 合成器合成的簡單鼓音色

但除了鼓之外其他的打擊樂器又該怎么辦呢？其實包括鈸和鑼在內(nèi)的這些樂器在許多方面都和鼓非常類似。雖然這些樂器的質(zhì)地是堅固的，并且邊緣沒有被固定，和柔性、被拉伸的鼓面不同，但它們的震蕩模式的數(shù)學(xué)原理和膜狀物其實是共通的。即使是鈴鐺這類擁有一定體積，看上去是三維的樂器也其實被描述為二維振蕩器更加合適，因為它們可以被簡化為是由彎曲、折疊的平面構(gòu)成的。

然而，金屬打擊樂器與鼓樂器在物理構(gòu)造上的區(qū)別導(dǎo)致了只用噪聲發(fā)生器合成出的鈴鐺與鑼聲等音色效果并不是很理想。這也就是類似圖 6 中的 Minimoog 這類基礎(chǔ)合成器的短板。然而如果觀察 ARP Odyssey 或者 ARP 2600 這些復(fù)雜合成器的音色表，你卻能找到許多「金屬」的音色。這是因為這些合成器都具備「環(huán)形調(diào)制器（ring modulator）」模塊。環(huán)形調(diào)制器是一個可以生成大量密集、不和諧泛音的電路，其泛音特征與金屬薄片類似。利用這一特性，再結(jié)合濾波器與包絡(luò)的調(diào)制，就能合成出簡單諧波振蕩器難以生成的打擊樂音色。

總而言之，只要我們手頭有幾個「傳統(tǒng)波形」振蕩器、再加上一個噪聲發(fā)生器和環(huán)形調(diào)制器，我們就能合成出幾乎所有常見的「真實」，或者說非電子樂器的聲音了。