作者：Kevan Hashemi / Brandeis University

大家好，今天我們一起來看這一份濾波器設計指南， 網站上提供了比較詳細的濾波器設計表格工具，大家可以自行在網站上下載。指南原文為英文。

指南主要內容如下：

有源濾波器

有源低通濾波器

有源高通濾波器

工作頻率

濾波器多項式

無源濾波器

遞歸濾波器

匹配網絡

脈沖整形器

表面聲波濾波器

傳輸線

組件精度

本指南試圖通過討論BNDHEP和OSI構建和使用的實際電路來教授有源和無源濾波器電路的設計和實現。我們的討論從高通和低通濾波器開始。我們研究了在低頻下工作良好的有源實現和在高頻下工作良好的無源實現。我們考慮匹配網絡，它在高頻下對于匹配源和負載很重要。我們討論表面聲波濾波器，它在小包裝中提供驚人的性能。在每種情況下，我們都將討論限制在我們自己構建和使用的電路上。傳輸線是濾波器的一種形式，但我們在傳輸線分析中單獨詳細討論這些。

如果您不熟悉電容器、電感器和電阻器，我們將在電子學入門課程的前三堂課中介紹這些組件。我們總是可以單獨使用微分方程推導出由電容器、電感器和電阻器組成的濾波器的行為。但是如果我們使用復阻抗的方法，我們可以比微分方程更快地推導出它的頻率響應。如果我們使用拉普拉斯變換，我們可以同樣輕松地推導出頻率響應、階躍響應和脈沖響應。在下面的每個推導中，我們選擇這三種方法之一。例如，在我們關于脈沖整形器的部分中，我們在沒有拉普拉斯變換幫助的情況下介紹了濾波器的脈沖響應，只是為了展示它是如何完成的。

我們的濾波器工具是一個電子表格，用于計算和繪制各種濾波器的頻率響應。我們有兩個版本的電子表格：Filter.ods用于 Open Office，Filter.xls用于 Microsoft Excel。我們使用 Open Office 來創建電子表格，因此 Open Office 版本會更可靠。(電子表格可在網站下載)

有源濾波器

一個有源濾波器包含一個放大器，其輸出通過無源元件，通常是電容器和電阻器連接到其輸入端。輸出到輸入的這種反饋使我們能夠僅使用電容器和電阻器來構建具有虛極點的濾波器。如果沒有反饋，具有虛極的濾波器必須同時具有電感器和電容器。有源濾波器的主要目的是消除電感器并降低濾波器電容器的值。

圖：四極有源低通濾波器。雙運算放大器提供兩級，每一級產生響應的兩個極點。

在由電感器、電容器和電阻器組成的經典無源濾波器中，濾波器的頻率響應是電感器和電容器的阻抗相互變化以及濾波器中電阻變化的結果。在濾波器的截止頻率下，其所有元件的阻抗將具有相同的數量級。假設電阻器的數量級為 1 kΩ，那么電感器和電容器也將具有大約 1 kΩ 的阻抗。如果濾波器的截止頻率為 1 kHz，則電感量級為 100 mH。它們可能是 30 mH 或 300 mH，但不會比這少或多。該RL622-104K-RC是一個 100 mH 的電感器。它是一個高 11 毫米、寬 8 毫米的通孔部件，售價約為 50 美分。假設我們將電阻降至 10 Ω。現在電感量級為 1 mH。我們可以使用1812R-105J這是一個 4 毫米長的表面貼裝部件。它們的售價約為 1 美元。通過減少電阻器的值，我們減少了電感器，這是一件好事，但我們也增加了電容器。在 1 kHz 時阻抗為 10 Ω 的電容器為 10 μF。我們可以花 20 美分左右買到一個 10μF 的表面貼裝電容器。現在我們可以用 1kHz、1V 的正弦波驅動電路。由于電阻為 10 Ω，我們將從電壓源抽取 100 mA 的電流。所以我們可以將信號的大小減小到 10 mV 左右，現在我們只消耗 1 mA?，F在我們必須考慮另一個問題：組件的精度問題。在四極點濾波器中，元件值需要精確到 5% 以內，否則極點會出錯，濾波器響應也不會很尖銳。如果我們必須將濾波器的頻率降至 100 Hz。

借助低成本、低功耗運算放大器 ( op-amp )的反饋，我們可以消除電感器并在整個濾波器中使用相同的電容。如果我們使用來自同一卷零件的電容器，它們的值是相似的。電容器的相對值對濾波器響應形狀最重要。我們使用不同值的電阻器，但與精密電容器相比，精密電阻器更便宜。很難找到準確度為 1% 的電容器，但準確度為 1% 的電阻器的成本僅為幾美分。如果我們想改變過濾功能，我們只需要購買新的電阻。在我們的過濾工具的幫助下，我們可以嘗試不同的電阻值，看看響應會是什么樣子。結果是具有精確響應的緊湊型多功能濾波器。這是一個示例150Hz 低通濾波器在印刷電路板的一側占據 10 平方毫米的面積，消耗小于 5μA，所有這些都低于 5 美元。我們在下面討論工作頻率，但讓我們首先概述工作頻率如何影響您選擇的濾波器實現。

在低于 1 kHz 的頻率下，使用有源濾波器幾乎總是更好，因為在這些低頻下，無源濾波器所需的電感器又大又貴，而低頻運算放大器又便宜又小。在 1 kHz 和 10 MHz 之間，我們可能會使用有源濾波器，或者我們可能會使用由電感器和電容器組成的無源濾波器。這取決于我們可以提供給有源濾波器放大器的功率大小。我們可以提供的功率越大，我們選擇放大器的速度就越快，有源濾波器的有效頻率就越高?，F在，對于 10 mA 的預算，您可以構建一個截止頻率為 10 MHz 的有源低通濾波器。在這您會發現一個 1.6-MHz 四極點低通濾波器的原理圖。閱讀以下部分后，您將知道如何將濾波器級的增益和時間常數輸入到我們的濾波器工具中，并親自查看濾波器的響應。

在高達 100 kHz 的頻率下，您可以選擇有源濾波器實現方式：您可以使用運算放大器、電容器和電阻器來構建它們，或者您可以使用可編程模擬電路，如 Lattice Semiconductor 的PAC系列芯片。

在 10 MHz 以上的頻率下，電感器體積小且價格低廉，而運算放大器的速度已不足以有效實現濾波器功能。除了我們從Minicircuits購買的經典電感電容 (LC) 濾波器之外，您還可以獲得陶瓷濾波器、表面聲波 (SAW) 濾波器和晶體濾波器。一個 900 MHz 的 SAW 帶通濾波器只需幾美元，其響應與 10 極點 LC 帶通濾波器一樣敏銳。

有源低通濾波器

有許多低通有源濾波器電路。我們使用下圖所示的那個。如您所見，運算放大器的輸出通過電容器反饋到其正輸入。該電容器在電路方程中充當電感器。輸出也被饋送通過一個電阻分壓器回到負輸入，并且該除法得到有源濾波器其增益

在拉普拉斯域中，上面的電路有一個帶有兩個虛極的傳遞函數。我們推導出下面的傳遞函數。在拉普拉斯域中，電阻器的電壓與電流之比為R，電容器為 1/ sC，電感器為sL。我們表示在點電壓的拉普拉斯變換X字母X，等等。我們通過用j ω替換傳遞函數中的拉普拉斯變量s來獲得正弦輸入電路的復數增益，其中j = √(-1) 并且 ω 是濾波器正弦輸入的角頻率。

當我們改變A 時，同時保持RC不變，其傳遞函數的極點離開s平面的負實軸，并沿著圓的圓周移動到虛軸。這個圓的半徑是1/RC，它的中心是原點。下圖顯示了圓的左上象限。

巴特沃斯濾波器是與過濾器最大平坦在其通帶內的幅度響應。通過截止頻率，我們是指在其中巴特沃斯濾波器輸出下降到其值的71%(1 /√2)的頻率最大振幅在較低頻率。Butterworth 濾波器的最大幅度出現在 0 rad/s 處，而Chebyshev濾波器的最大幅度出現在低于截止頻率的幾個其他頻率處。

恰好具有截止頻率 ω c的巴特沃斯低通濾波器的極點均勻分布在以s平面原點為中心、半徑為 ω c的半圓的圓周上。二極濾波器的極點為±45°。四極濾波器的那些為±22.5°和±67.5°。下表給出了具有 1 到 8 個極點且截止頻率為 1 rad/s 的低通巴特沃斯濾波器的極點。這些稱為歸一化巴特沃斯多項式的極點。

轉到我們濾波器工具中的兩極LPF、三極 LPF 和四極 LPF 表，您將看到可以輸入二極、三極和四極濾波器極點的地方。您可以通過給出其實部和虛部的絕對值來指定一對共軛極點。您可以通過僅給出其實部來指定三極濾波器中的孤立極點。我們提供了各種濾波器函數的示例極點集表。當您輸入新的極點值時，濾波器工具會繪制出極點的幅度響應。

我們使用單個運算放大器級實現每個共軛極點，如上所示。我們可以使用 RC 網絡或在另一個運算放大器級中實現單獨極點，在其反饋電阻器上放置一個電容器。這種單極運算放大器級允許我們同時進行放大和濾波。使用兩個運算放大器，我們可以實現帶放大功能的三極低通濾波器。在這電路，你會看到一個由兩個運算放大器組成的三極濾波器。它有一個 10-MΩ 的輸入電阻，帶有一個 0.15-Hz 高通濾波器，后跟一個三極點濾波器，并提供 25 的總增益。我們在第一個運算放大器的反饋電阻器上使用一個電容器來實現單極點. 在高頻下，電容器將第一個運算放大器級的 ×11 增益降低到 ×1。理想情況下，電容器應將增益降低到 ×0，如果我們將運算放大器布置為反相放大器，就會如此。但是增益從 ×11 減少到 ×1 是一個足夠好的近似值，我們的濾波器可以很好地工作。

頻率圖從 0 rad/s 擴展到 3 rad/s。該圖旨在與歸一化濾波器多項式的極點一起使用，這些多項式的截止頻率為 1 rad/s。如果我們想使具有截止頻率ω4極巴特沃斯低通濾波器?使用有源濾波器級等中示出的一個以上，我們建立兩個階段，每個RC = 1 /ω ?，并挑選的值甲每個階段的放它的兩個共軛極點在正確的位置的半徑ω電路上?在小號-平面。A 的這些值與ω c無關，因此我們可以查看極點軌跡圖及以上的標準化波蘭人表，并找出增益，我們需要生產標準化巴特沃斯濾波器的極點。我們在截止頻率為 ω c 的濾波器中使用這些A值。您可以通過在極點軌跡中的點之間進行插值來以足夠的精度確定A，知道這些點代表A中 0.1 的步長，從 1.0 開始，兩個極點一起位于負實軸上。

不是使用極點軌跡來確定巴特沃斯濾波器級的正確A值，而是在我們的濾波器工具中選擇極點軌跡表。在那里你會找到我們的極點軌跡圖的數據，以及一個你可以輸入A和RC值的地方，并得到結果共軛極對的極點實部和虛部。我們已經為您完成了這項工作，并提供了A的正確值在下表中。請注意，具有奇數極點的濾波器只需要一個 RC 網絡來實現負實軸上的孤立極點。如果您想知道：階段的順序并不重要。該濾波器適用于任何正確增益值序列。

在我們濾波器工具的第 5 頁，您將看到如何改變一級、一級半和二級有源濾波器的A和RC以創建兩極、三極和四極低通濾波器。如果將RC設置為 1，并輸入上表中A的巴特沃斯值，您將看到巴特沃斯最大平坦幅度響應，截止頻率為 1 弧度/秒 (0.16 Hz)。巴特沃斯濾波器的所有級都具有RC =1/ω c，其中 ω c是以 rad/s 為單位的截止頻率。我們有f c = ω/2π 以赫茲為單位的截止頻率。改變RC對于每個階段的因子為兩倍左右，以及改變A，您將獲得各種其他響應，尤其是使用兩級濾波器時。我們提供ω c = 1 rad/s 的RC和A值。試試 Chebyshev 0.5-dB 紋波響應，我們在下面展示。

如果您想構建一個響應形狀與上圖相同但截止頻率為 ω c 的濾波器，請將每個級的RC除以 ω c，但保持A不變。您現在將擁有相同的響應形狀，但頻率軸按 ω c縮放。您可以在我們的濾波器工具的有源 LPF 表中試驗A和RC 的值，以查看最終的濾波器響應是什么樣的。你會發現試圖獲得Chebyshev 3-dB Ripple通過反復試驗做出反應是困難的。這就是為什么我們傾向于使用預先計算的極點表來構建我們的過濾器。

有源高通濾波器

您可以通過更換電阻和電容將低通濾波器更改為高通濾波器，如下所示。傳遞函數的極點保持固定，但我們在原點引入兩個零點。

正如我們從它的傳遞函數中看到的，高通濾波器相當于一個雙微分器與我們使用相同電阻和電容值獲得的相同低通濾波器串聯。在高頻下，雙微分器的放大被低通濾波器的衰減抵消，從而使我們得到平坦的響應。在低頻時，雙微分器的衰減占主導地位，并導致輸出幅度隨著頻率的降低而降低。當輸入角頻率 ω 等于 1/ RC 時，高通濾波器和低通濾波器的響應相等?？紤]傳遞函數的另一種方式是說高通濾波器響應是經過變換RCs的低通濾波器響應= 1/ RCs'，因此高通濾波器在角頻率 1/ RC 下的響應等于低通濾波器在相同頻率下的響應，而在角頻率 2/ RC 下它等于低通濾波器的響應頻率為 1/2 RC 的濾波器。

您會在此處找到 19 kHz 兩極巴特沃斯高通濾波器的糟糕繪圖，以及隨附的計算。電容器為 4.7 nF，R為 1.8 kΩ，A = 1.59。

運行頻率

用無源元件制成的濾波器隨著截止頻率的降低而變得更大更重。由電感器和電容器制成的 10 kHz 高通濾波器為 50 Ω 負載供電，必須包含阻抗為 50 / 2π.10kHz ≈ 1 mH 數量級的電感器。串聯電阻小于 5 Ω(50 Ω 的 10%)的 1mH 電感器的價格低于 5 美元很難找到，而且每邊至少有 15 毫米。在 10 kHz 時阻抗為 50 Ω 的電容器大約為 330 μF。這種尺寸的電容器往往是電解的，因此是極化的，因此您無法將它們連接到交流電壓。當我們降到 100 Hz 時，電感器和電容器是巨大的，而且我們現在傾向于看到它們僅用于過濾電源。

無源濾波器在低頻時很笨重，但有源濾波器在高頻時停止工作。大多數有源濾波器中的放大器是運算放大器或運算放大器。運算放大器是具有負輸入和正輸入的高增益差分放大器。它們有自己的內部增益，在低頻時很大，但隨著頻率的增加而下降。大多數運算放大器都有內部補償，這意味著它們在內部某處有一個電容器，用作與它們的大增益串聯的單極點低通濾波器。如果沒有這種補償，運算放大器在反饋回路中往往不穩定，設計人員不喜歡擔心運算放大器電路的不穩定。即使沒有電容器，運算放大器的增益也會隨頻率下降，但它以一種不規則且不可預測的方式下降。

由于補償電容，運算放大器反饋放大器的增益與其半功率帶寬成反比，因此我們有運算放大器的增益帶寬積，它是任何反饋增益的乘積由運算放大器制成的放大器以及運算放大器內部增益損失導致輸出幅度下降 29% (3 dB) 的頻率。

假設我們的運算放大器的增益帶寬積為 1 MHz，我們在此濾波器中使用的OPA2277就是這種情況。濾波器的第二級增益為 2.27，因此其帶寬為 1 MHz / 2.27 ≈ 400 kHz。濾波器的截止頻率f c為 10 kHz。放大器帶寬比截止頻率大四十倍。我們的經驗法則是放大器帶寬應至少比濾波器截止頻率大十倍。憑借大約兩 (2) 的級增益，OPA2277 使我們能夠構建截止頻率高達 40 kHz 的濾波器。

我們最喜歡的另一款運算放大器LM6172具有 100 MHz 的增益帶寬積，并支持截止頻率高達 10 MHz 的濾波器。在較高頻率下，使用有源濾波器沒有多大意義，因為電感器更簡單(前提是您知道如何設計無源濾波器)?？紤]一個由 50 Ω 源驅動并由 50 Ω 負載端接的無源 10 MHz 低通濾波器。濾波器中的電感器應具有與 10 MHz 下的 50 Ω 相當的阻抗，這意味著它們的電感L, 應為 50 / 2π.10MHz ≈ 1 μH。我們可以用不到 10 美分的價格購買一個采用 P0805 表面貼裝封裝、串聯電阻小于 0.2 Ω、自諧振頻率為 100 MHz 的 1-μH 電感器。濾波器在 1000 MHz 下無法很好地工作，因為廉價電感器的寄生電容將使 1000 MHz 頻率通過濾波器，但是您可以使用輔助單極低電平來阻止比截止頻率高 10 倍的頻率截止頻率為 100 MHz 的通濾波器。你可以用一個電容器和一個電阻器來制作那個濾波器。您可以在網上找到歸一化濾波器的電感器和電容器值表。低通切比雪夫濾波器的表格在這里。

可編程模擬電路，例如Maxim Semiconductor和Lattice Semiconductor提供的那些，使用模擬開關和電容器來制作開關電容濾波器。通過僅在 10% 的時間內將電容器連接到兩個端子，您可以創建一個 10% 大的電容器。這些電路的速度受電容器開關頻率的限制。最新的電路似乎支持高達 1 MHz 的開關頻率，這意味著我們可以使用它們來制作工作頻率高達 100 kHz 左右的濾波器。

就我們自己而言，我們使用低于 1 MHz 的有源濾波器，高于 10 MHz 的無源濾波器，并與我們自己爭論這兩者之間的范圍。我們還沒有看到對可編程濾波器的需求，但是當我們這樣做時，我們期待在低于 100 kHz 的頻率下使用它們。

濾波器多項式

通過在我們的濾波器工具的第二頁上改變四極濾波器的極點，您將看到響應對極點值的敏感程度。的巴特沃斯多項式為我們提供了最平坦的通帶幅度響應。輸出幅度與輸入幅度之比為 (1 + ω 2n /ω c 2n ) -?，其中n是濾波器中的極點數，ω 是輸入頻率，單位為 rad/s，ω c是截止頻率，單位為 rad/s。這種幅度關系定義了巴特沃斯多項式。下圖顯示了歸一化的二階巴特沃斯多項式，s 2+ s√2 + 1，提供指定的頻率響應。該歸一化的多項式為ω的多項式c ^ = 1弧度/秒。這種標準化的二階多項式的極是，我們在表中的兩排給兩極以上。

該切比雪夫多項式為我們提供了切比雪夫濾波器極點。Chebyshev 多項式允許您接受通帶幅度響應的變化，以換取通帶外更銳利的截止。歸一化的二階巴特沃斯幅度響應減少到 (1 + ω 4 ) ??。ω 2 中沒有項。因為ω 2中沒有項，所以幅度響應總是隨著頻率的增加而降低，并且不包含紋波。但是，如果我們可以接受通帶幅度響應中的一些波紋，那么我們可以添加一個 ω 2項，它與 ω 4項配合，使響應更急劇地下降到高于 ω c。

您可以在此處查看Chebyshev 多項式推導的基礎，我們在下表中為您提供了歸一化 3-dB 通帶紋波 Chebyshev 多項式，您可以在其中將它們與歸一化巴特沃斯多項式進行比較。

表：3-dB 通帶紋波的歸一化切比雪夫多項式。我們縮放多項式，以便當s = 0時它們的值為 1 。多項式的常數部分始終為 1，這樣可以更輕松地將其與相同階數的巴特沃斯多項式進行比較。

上表中的所有多項式在s = 0 時的值為 1。如果我們的傳遞函數在其分母中有多項式，則其在 ω = 0 rad/s 時的增益將為 1。在 ω = 1 rad/s 時，所有多項式產生比ω ≤ 1 rad/s的最大增益小 3-dB 的增益。Butterworth 濾波器的最大增益為 1，出現在 ω = 0 rad/s，但 3-dB Chebyshev 濾波器的最大增益為 √2，即比 1 大 3 dB，并且出現在一個或多個值處ω 在 0 rad/s 和 1 rad/s 之間。Chebyshev 濾波器在 ω = 1 rad/s 時的增益為 1。

圖：十極 3-dB 紋波切比雪夫和巴特沃斯低通響應。Chebyshev 響應在截止頻率的 10% 內下降 30 dB。您可以使用我們的濾波器工具的十極 LPF 表來調整紋波并查看它如何影響響應。

通過比較 Chebyshev 和 Butterworth 多項式，您可以了解為什么 Chebyshev 在其通帶外提供更尖銳的截止。所述? 5在第五階切比雪夫多項式具有系數15.9術語，而? 5術語在巴特沃思多項式具有系數1。對于頻率小于ω ?，五階切比雪夫多項式余額其大小號5術語具有大小號4、s 3、s 2和s項。這種平衡是以這樣一種方式完成的，即我們在s 中的最大系數的通帶響應中產生最小量的紋波5 . 一旦 ω 超過 ω c，s 5項會迅速超過所有其他項，并導致響應突然下降。Chebyshev 濾波器不僅總是為我們提供比 Butterworth 濾波器更清晰的截止，而且優勢隨著濾波器的階數而增長，如上圖所示。

無源濾波器

甲無源濾波器是一個電感器，電容器和電阻器的組成。在大多數情況下，濾波器中唯一的電阻是源阻抗和負載阻抗。這些電阻器可能作為單獨的電阻器組件存在于您的電路中，或者它們可能是提供信號的放大器和接收濾波器輸出的放大器的固有特性。在上面關于濾波器多項式的部分中，我們展示了如何得出最符合您要求的頻率多項式函數。無源濾波器通過與源阻抗和負載阻抗相互作用的電容器和電感器實現這些多項式頻率響應。

我們將在本節后面介紹一個示例無源濾波器設計，但我們首先對該主題進行定量介紹。開始學習無源濾波器的一種方法是使用像這樣的無源濾波器計算器。您輸入源電阻和負載電阻，選擇經典多項式頻率響應(巴特沃斯、切比雪夫、貝塞爾，如上所述)，選擇多項式的階數(傳遞函數中頻率的最高冪)，以及響應，例如巴特沃斯低通或高通濾波器的 -3 dB 點。計算器為您提供電路圖，并為您提供以亨利 (H) 和法拉 (F) 為單位的電感器 (L) 和電容器 (C) 值。

經典的無源濾波器，例如上面鏈接的計算器設計的濾波器，采用橫向梯形的形式，其中底部導軌是信號地，頂部導軌是一系列電感器或一系列電容器。它將是低通濾波器中的電感器和高通濾波器中的電容器。階梯的階梯(如果階梯是垂直的，它們將是階梯)是低通濾波器中的電容器和高通濾波器中的電感器。梯形圖中電容器和電感器的總數等于頻率多項式中頻率的最高冪，并為我們提供了濾波器的階數。梯形是無源濾波器的首選結構，因為連分數法 允許我們相對容易地將多項式頻率函數轉換為梯形電路。

鑒于濾波器是梯形濾波器，您需要為無源濾波器指定的另一件事是它是“并聯”還是“串聯”濾波器。甲分路濾波器是其中所述第一元件連接到信號接地(0V)。甲系列過濾器是在其中所述第一元件連接到第二元件，并且所述第二元件連接到地面。

如果您的源阻抗為零，則并聯濾波器沒有意義，因為接地組件不會影響具有零源阻抗的信號。但是在驅動無源濾波器時，零源阻抗在任何情況下都是不切實際的。從源頭看，濾波器的阻抗在截止頻率附近趨于急劇下降，無論它是并聯還是串聯布置。當濾波器阻抗下降時，從源汲取的電流將急劇增加，直到源不能再保持零源阻抗的出現，并且輸入信號變得嚴重失真。因此，當我們針對零源阻抗進行設計時，濾波器的性能實際上會受到影響。有限的源阻抗會降低濾波器必須汲取的電流，但代價是會損失一些信號幅度。

無限負載阻抗也被證明是不切實際的，因為它需要無限值的電感器和無限小的電容器。實際上，只要源阻抗與負載阻抗之比大于 10，就很難用標準部件構建濾波器。當您考慮這些無源濾波器電路以及它們如何與您的放大器相互作用時，請記住，與電阻器R串聯的電壓源V等效于與并聯的電流源I = V/R相同的電阻，R. 如果您的信號源是驅動 50 Ω 負載的 NPN 晶體管的集電極，則集電極等效于與該電阻串聯的電壓源。您可以通過電容器將輸出分流到地以啟動低通濾波器，或者您可以將電感器與其串聯。另一方面，你不能用電感將它分流到地來啟動高通濾波器，因為你會破壞晶體管的直流偏置。但是你可以從一個大串聯電容開始，它的阻抗與源阻抗相比可以忽略不計，以將晶體管與直流濾波器隔離，然后用一個對地的電感分流器開始你的高通濾波器。

在所有情況下，以及在整個濾波器中，您會發現每個單獨的電容器和電感器的阻抗與所需高通或低通截止頻率下的源阻抗和負載阻抗具有相同的數量級。如果您的源阻抗為 50 Ω，負載阻抗為 500 Ω，則元件的阻抗將通過電路增加，因此最靠近源的阻抗為 50 Ω，而最靠近負載的阻抗為 500 Ω。

在源阻抗和負載阻抗較高或阻抗不匹配的情況下，您可能會使用有源濾波器。無源濾波器最有可能應用在放大器具有 50 Ω 輸出和輸入阻抗的射頻電路中。但也有其他時候，無源濾波器是最簡單、最緊湊的解決方案，我們將以一個為例進行研究。

考慮抗混疊濾波器由R45，L4，C31和R46在S2071_8。下圖顯示了該電路的外觀，由 0805 表面貼裝元件制成。

圖：5 MHz 無源低通濾波器的照片。所有部件均采用 0805 表面貼裝封裝。

我們重新繪制下面的電路圖，更改了組件名稱。該濾波器提供 5 MHz 通帶，在 20 MHz 時衰減為 20 dB，以便準備信號VR以 40 MSPS 進行數字化。兩極最大平坦的巴特沃斯響應就足夠了。電阻器R1將源阻抗插入信號路徑。如果沒有這個，L和C將在其自然諧振頻率 1/(2π√( LC ))附近呈現接近零的阻抗，這將使提供輸入X 的運算放大器過載。我們選擇R1 = 100 Ω 以將輸入電流限制為 5 mA(對于 0.5 V 應用信號)。

圖：兩極無源低通濾波器。我們有R1 = 100 Ω 和R2 = 1 kΩ。我們需要 5 MHz 的截止頻率和 <1 dB 的通帶衰減。

電阻器R2提供有限負載阻抗。與源阻抗相比，負載阻抗越大，濾波器對其通帶內的頻率的衰減就越小。如果我們選擇R2 = 100 Ω，我們的輸出將是我們輸入幅度的一半。我們希望我們的濾波器盡可能少地衰減信號，因此我們希望選擇比源阻抗大得多的負載阻抗。然而，負載阻抗越高，在 5 MHz 下產生可比阻抗所需的L值就越大。我們選擇R2 = 1 kΩ。在低頻時，濾波器衰減為 1 dB，這是輕微的。我們連接Y的放大器輸入阻抗必須遠大于 1 kΩ，否則會影響濾波器的性能。使用另一個運算放大器很容易實現遠高于 1 kΩ 的輸入阻抗。

我們現在計算該電路對于正弦輸入的增益和相移。我們讓電容器的阻抗為 1/ sC，電感器的阻抗為sL，電阻器的阻抗為R。這里我們使用s作為拉普拉斯變量。濾波器的傳遞函數是從Y點到 0 V 的阻抗除以通過濾波器從X到 0 V的阻抗之比。如果我們使用復指數來獲得增益和相位，我們將遵循相同的程序，但阻抗設置為 1/ j ω C、j ω L和R，其中j = √(?1) 并且 ω 是角頻率。在下面的計算中，我們確定了截止頻率為 5 MHz 的最大平坦低通響應的L和C。

我們第一次執行上述計算時，在我們的筆記本中，我們失去了最大平坦響應所需的 √2 因子，得出的結論是 270 pF 和 3.3 μH 是正確的。我們用這些值構建了濾波器，對輸入應用了正弦波，并在增加頻率的同時測量了輸入和輸出幅度。我們獲得了以下增益與頻率的關系圖。

如果我們將截止頻率作為衰減下降到通帶以下 3 dB 的點，我們會看到濾波器的實際截止頻率約為 6 MHz。與通帶中的最大平坦響應不同，我們在截止之前有一個 1dB 的紋波。就我們而言，這種反應與我們想要的反應非常接近。

遞歸過濾器

我們可以定期對輸入電壓進行采樣，將樣本數字化，然后在微處理器中執行濾波，而不是構建一個作用于輸入電壓以產生輸出電壓的濾波器。我們以采樣頻率對輸入電壓進行采樣，我們表示為f s = 1/ T s。在采樣和數字化之后，輸入電壓X(t)變成一個二進制值序列X n = X(nT s )。在每個樣本時刻，我們計算濾波器輸出Y i。如有必要，我們將Y i轉換為電壓序列Y(nT). 對于時間nT ≤ t < ( n +1) T，輸出電壓等于Y(nT)。X的初始數字化將產生一個整數值。但隨后的計算可能發生在整數算術、浮點算術或整數分數算術中。

甲遞歸濾波器是一個其計算?我作為輸入樣本的當前和過去的值的線性和，并輸出樣本本身的過去的值。因此，過濾器不僅對其輸入進行操作，而且還參考其自身輸出的歷史記錄。一般來說，遞歸濾波器的脈沖響應會永遠持續下去，即使它變得非常小。以下等式給出了遞歸濾波器的一般形式。

Y i = a 0 X i + a 1 X i-1 + a 2 X i-2 + ... + a d X i-d + b 1 Y i-1 + b 2 Y i-2 + ... + b d y d這里d是過濾器的深度，它是我們必須保留多少X和Y樣本才能計算過濾器輸出。要實現深度為d的過濾器，我們必須存儲 2 d 個值。過濾器還要求我們手頭有 2 d + 1 個常數來計算線性和。

如果我們想使用遞歸濾波器來實現低通、高通或帶通頻率響應，我們必須有某種方法從濾波器常數確定其頻率響應。確定其頻率響應的一種方法是在軟件中實現，應用頻率增加的正弦曲線，并計算每個頻率的輸出幅度。但是有一個更簡單的方法。我們借助z 變換和復指數將濾波器表示為傳遞函數。該? -transform允許我們代表的延遲牛逼小號如? -1。我們不寫X i-1而寫Xz ?1. 上面的公式變為：

Y = a 0 X + a 1 Xz ?1 + a 2 Xz ?2 + ... + a d Xz ?d + b 1 Yz ?1 + b 2 Yz ?2 + ... + b d Yz ?d= ( a 0 + a 1 z ?1 + a 2 z ?2 + ... + a d z ?d ) X + ( b 1 z ?1 + b 2 z ?2 + ... + b d z ? d )是

并且從上面我們可以得到z域中遞歸濾波器的傳遞函數。Y/X = ( a 0 + a 1 z ?1 + a 2 z ?2 + ... + a d z ?d ) / (1 ? b 1 z ?1 ? b 2 z ?2 ? ... ? b d z -d )我們現在注意到，因為z -1是T s的延遲，角頻率ω 的正弦曲線乘以z -1的效果與ω T s的相位延遲相同。乘以z的效果與ω T s的相位超前相同。如果我們代表X與復指數ê jωt，相乘的效果X由?相同乘以X由? jωT小號。我們讓z = e jωT s 在上面的傳遞函數中得到濾波器的正弦增益。

Y/X = ( a 0 + a 1 e ?jωT s + a 2 e ?2jωT s + ... + a d e ?djωT s ) / (1 ? b 1 e ?jωT s ? b 2 e ?2jωT s ? ... ? b d e ?djωT s )

例如，考慮以下遞歸過濾器：Y i = 0.125 X i + 0.875 Y i-1使用z變換，該濾波器的傳遞函數為：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 z -1 )它在角頻率 ω 處的正弦增益為：Y/X = 0.125 / (1 - 0.875 e ?jωT s )

當 ω = 0 時，e ?jωT s = 1 且濾波器增益為 1。當 ω = π/ T s 時，也就是說正弦波的頻率是采樣頻率的一半，e ?jωT s = -1濾波器增益為 0.067。當 ω = 2π/ T s 時，所以我們的正弦波與采樣頻率具有相同的頻率，e ?jωT s = 1 且增益為 1。通常，頻率 ω < π/ T s處的增益與采樣頻率相同增益在頻率 2π/ T s -ω。也就是說：正弦頻率f < f s /2 處的增益與頻率f處的增益相同s - f。因此，如果我們只考慮低于f s /2 的頻率，我們的遞歸濾波器將提供低通頻率響應。這種對低于采樣頻率一半的頻率的限制適用于所有遞歸濾波器， f s /2 被稱為奈奎斯特頻率。

以下遞歸濾波器提供高通響應。Y i = 0.984375 X i ? 0.984375 X i-1 + 0.96875 Y i-1如果我們將其傳遞函數乘以我們的低通濾波器的傳遞函數，我們將獲得具有以下遞歸濾波器表示的帶通濾波器傳遞函數。Y i = 0.123046875 X i ? 0.123046875 X i-1 + 1.84375 Y i-1 ? 0.84765625 Y i-1

低通濾波器中的常數是 1/8 的倍數。高通濾波器中的那些是 1/64 的倍數。帶通濾波器中的那些是 1/512 的倍數。如果我們想要實現分數不超過 1/64 的帶通濾波器，我們應該分兩級而不是一級來實現。在我們的過濾器工具的遞歸表中，您可以通過將它們的常量輸入到數組中來試驗深度為 4 的遞歸過濾器。濾波器工具使用z = e jωT s替代來獲得遞歸濾波器在各種頻率下的增益，并繪制它們的頻率響應，如下所示。

通過對常量進行小的更改，您將看到遞歸過濾器對精確值的敏感程度。對于深度為 2 的過濾器，常數需要校正到優于 1%，對于深度為 4 的過濾器，需要校正到 0.01%。

匹配網絡

甲匹配網絡是一個無源濾波器，其改變電源或負載的有效阻抗。我們可以使用變壓器作為匹配網絡。變壓器的初級線圈和次級線圈都纏繞在同一磁芯上。假設次級側的匝數是初級側的N倍。我們向初級線圈施加幅度為V的正弦電壓，并在次級線圈上觀察幅度為NV。我們將電阻R 連接到次級線圈，并觀察與次級電壓同相流入電阻器的電流NV/R。同時，流入初級線圈的電流與施加的電壓同相，幅值N 2V/R。流入初級線圈的功率為N 2 V/R × V = N 2 V 2 /R。從次級線圈流入電阻器的功率同樣為N 2 V 2 /R。初級線圈電壓源承受的負載為R/N 2，而不是R。

假設我們有一個射頻電源，例如RFPA3800晶體管，該電源的幅度為 5 V rms，阻抗為 10 Ω。我們想要驅動阻抗為 50 Ω 的天線。如果我們將兩者直接連接在一起，放大器可能會發生振蕩。但假設放大器保持穩定。它產生 5 V rms，并通過其 10 Ω 輸出阻抗并進入天線的 50 Ω 輸入阻抗。天線將獲得 350 mW 的射頻功率。相反，如果我們將 50 Ω 天線連接到N = √(50/10) = 2.24的變壓器的次級側，則天線將在放大器上顯示為 10 Ω 負載，并將接收 625 mW 的力量。初級線圈上的電壓為 2.5 V rms，次級線圈上的電壓為 5.6 V rms。

變壓器可以在很寬的頻率范圍內匹配阻抗。所述ADT4-5WT從MiniCircuits操作形式0.3-500 MHz和具有阻抗匹配比4.0(匝數比2.0)。當我們在電路板上有空間放置變壓器，并且我們想要電阻源和負載的寬帶匹配時，變壓器是一個不錯的選擇。

但并非所有負載和源都是純電阻性的，我們有時希望我們的匹配網絡僅在特定頻率下有效。事實上，有時我們希望我們的匹配網絡去除非常窄的頻率范圍之外的信號。有時，電容器和電感器可以執行極好的匹配和鑒別。我們將通過查看選擇窄頻帶的無源電路來探索這些問題，然后轉向另一個具有相同功能但同時具有放大和阻抗匹配的無源網絡。下面的電路是來自我們的命令接收器 ( A3023CR )的電阻器調諧電路。甲罐電路是由電容器和電感器并聯連接。在某些頻率下，電感器阻抗的大小等于電容器的大小，但它們具有相反的相位。流出電感的電流流入電容器，反之亦然。槽上的電壓不斷增加，直到與施加到它的電壓相匹配，這樣就沒有更多的電流可以加入電容器和電感器之間的交換。我們稱之為條件共振. 電容和電感之間有大量電流流過，但從外面看，兩者并聯的阻抗似乎很大。事實上，對于完美的電感器和電容器，它們的并聯阻抗在諧振頻率處將是無窮大。

圖：晶體二極管無線電電路。我們看到一個由電阻器R8制成的諧振器調諧器，與諧振電路串聯。槽路電容為VC1與C14和C15并聯。電感是L2。

該電路顯示了天線的輸入。我們的目的是用幾圈不銹鋼線來獲得 146 MHz 的功率。電容器C20提供低頻阻斷。晶體二極管U10對射頻具有 10 kΩ 的有效電阻(有關二極管的更多信息，請參見此處)。在諧振處，與VC1、C14和C15并聯的L2的阻抗遠超過 10 kΩ。電阻器R8和晶體二極管形成一個分壓器，我們在二極管上得到 90% 的天線電壓。二極管在C16上提供一個直流電壓，隨著射頻功率的增加而增加，如下圖所示. 在其他頻率下，諧振電路的阻抗要低得多，因此會降低二極管上的信號幅度。以下曲線顯示了當我們將槽路電容設置為 1.0 μF 并將電感設置為 1.0 μH 時電路的響應。我們期望在f = 1/(2 π √( LC )) = 8 MHz處發生共振，這就是我們得到的結果。

圖： Tank Tuner 的響應。底部軌跡是我們應用于函數發生器的 TUNE 頻率。屏幕中央的頻率為 8 MHz。模糊軌跡是儲能電路上的電壓。峰值線是檢測器二極管輸出端的電壓。

坦克調諧器提供了良好的頻率選擇。但其增益在所需頻率下僅為 0.9。我們注意到檢測器二極管的阻抗為 10 kΩ，而我們天線的電阻要小得多，這意味著天線中可用的功率多于傳輸到二極管的功率。我們估計小型鋼制環形天線的源阻抗為 100 Ω 與 300 nH 串聯。因為源阻抗比負載阻抗低一百倍，所以我們希望在將天線信號呈現給我們的檢波二極管之前用匹配網絡放大它。

我們下面展示的電路應該代表一個小環形天線、一個匹配網絡和一個檢測器二極管。電阻器R2是天線導線的電阻，由于趨膚效應，它在射頻下很重要。電感L1是天線的自感。匹配的網絡組件是C1、R3、L2和C2。檢波二極管由R1表示，它是其在零偏置時的有效電阻。

圖：天線匹配電路。

通過為該電路選擇不同的值，我們不僅可以對天線和檢測器二極管布置進行建模，還可以對許多其他匹配網絡進行建模。我們過濾器工具中的匹配表繪制了網絡對于任意值組合的頻率響應。當R2 = 10 Ω 且R1 = 50 Ω 時，我們可以試驗其他組件的各種值，看看我們是否可以將源與負載阻抗相匹配。當我們想忽略一個組件時，我們會為它選擇一個大的或小的值，使其對活動的貢獻可以忽略不計。因此，我們可以將L1設置為 0 nH 以將其排除，或將C1 設置為 10000 pF。

然而，現在讓我們回到將環形天線信號與檢波二極管相匹配的問題。讓我們設置R3 = 0 Ω、C1 = 1 pF、C2 = 10 pF 和L2 = 100 nH。這種安排是一個spit-capacitor匹配網絡。與電阻槽網絡相比，它提供了顯著提高的性能。我們在A3024A微型、微功率、無線電接收器中使用分離式電容器匹配網絡。

在分裂電容器網絡中，槽路以我們的工作頻率諧振。油箱上的電壓V T幾乎與施加到C1上的電壓同相通過天線。電容器兩端的電壓幅度幾乎等于天線和槽路幅度之和。假設天線幅度為 100 mV，槽路幅度為 900 mV，小電容器的電抗為 1 kΩ。我們有 1.0 mA 電流流入電容器，如果我們將 10 倍大的電容器直接連接到天線產生的 100 mV，我們會看到相同的電流。因此，天線的有效電抗僅為 0.1 kΩ，而槽路電路的有效電抗為 0.9 kΩ。這個簡單的考慮向我們展示了如何使用不起眼的電容器在特定頻率下匹配兩個不同的源阻抗和負載阻抗。

通過為電感插入j ω L和 1/ j ω C，我們可以計算上述電路的復數增益，其中 ω = 2π f是角頻率，j是 √(?1)。我們得出以下解決方案。

圖：天線匹配電路分析。

我們看到電路有四個諧振頻率，對應于兩個電感器和兩個電容器的所有組合。當我們接近L2和C2的諧振時，增益增加。我們使用過濾工具匹配表中的上述公式計算增益，并在下面繪制各種組件值。

圖：天線匹配增益，適用于各種配置，0-1000 MHz。我們繪制增益的絕對值。我們用來獲得下表中給出的圖的組件值。繪圖 D 和 E 在 150 MHz 附近相互重疊。

下表給出了我們用來獲取每個圖的組件值。圖E的值對應于我們原來的電阻槽電路。

表：上下圖中使用的組件值。天線匹配電路圖中給出的組件名稱。

圖D顯示了如果我們將自感為 300 nH、電阻為 100 Ω 的天線與具有 4 pF 電容器的 10 kΩ 負載相匹配會發生什么。我們在 146 MHz 處獲得了一個不錯的增益峰值。我們的匹配網絡僅包含一個組件：一個 4pF 電容器。通常，我們可以用單個電感器和電容器匹配任意兩個源阻抗和負載阻抗。在這種情況下，我們使用天線自感作為匹配網絡中的電感。但是當我們彎曲或處理它時，天線自感會發生 10% 左右的變化。曲線A顯示了當天線電感改為 150 nH 且其電阻改為 50 Ω 時相同 4 pF 電容器匹配網絡的響應。增益峰值移動到 200 MHz，我們的匹配在 146 MHz 不再有效。

圖B和C顯示了由分離電容器網絡產生的增益。在這兩種情況下，匹配電路組件是相同的，但我們將天線電感和電阻改變了兩倍。增益峰值僅相差幾兆赫茲。天線的變化對匹配網絡的初級諧振影響很小。這種對天線特性的不敏感性使分離式電容器網絡在實踐中變得健壯和有效。在天線電感和匹配電容器之間也存在次級諧振。當我們改變天線電感時，這種共振就會移動。但這不是我們提供匹配增益所依賴的共振。

這是我們在 116-198 MHz 范圍內掃描天線頻率時實際分離電容器匹配電路的響應。我們有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。具有兩個峰值的軌跡是我們檢測器二極管的輸出，因此與匹配網絡的增益不成正比，但仍隨增益而增加。第一個峰值對應于 146 MHz 時的增益 4.5，第二個峰值對應于 170 MHz 時的增益 2.5。我們看到我們的天線信號通過純無源元件的作用被放大到我們的檢測器二極管。

圖：分裂電容器匹配網絡的響應。我們有C1 = 1 pF、C2 = 8 pF、L2 = 100 nH 和R3 = 0 Ω。天線電感和電阻由實際天線提供。底部走線是檢測器二極管的輸出。頂部軌跡是 VCO 調諧電壓，在 1 ms 內從 0-4 V 掃描。頻率在 116-198 MHz 之間變化，在 1.25 V 時為 146 MHz。

當我們將這些組件值連同我們對天線電阻和電感的估計值插入我們的濾波器工具時，我們的計算表明第一個峰值應該在 160 MHz 處，增益為 4.6，第二個峰值應該在 310 MHz 處，增益為 0.9。因此，我們的計算捕捉了匹配網絡行為的精神，但實際上印刷電路板的布局、單個組件的缺陷以及天線的不確定性要求我們在構建過程中選擇調諧電容。匹配網絡通常就是這種情況。如果我們想要通過無源網絡獲得如此壯觀的性能，我們將不得不在構建時調整電路。

我們也可以在放大器的輸出端使用匹配網絡，以便將它們的輸出阻抗與我們的負載阻抗匹配。在我們的命令發射器 ( A3029A ) 手冊中，您會發現我們對放大器輸入和輸出反射系數的測量記錄，以及正確匹配阻抗的后續計算，以提供有效的 50 Ω 功率傳輸負載。

脈沖整形器

當光電倍增管檢測到亞原子粒子產生的閃光時，它會產生一個十或二十納秒長的電壓脈沖。該電壓脈沖的面積與閃光的強度成正比。為了利用光電倍增管的輸出，我們必須測量脈沖的面積。最簡單的方法是以 1 GSPS 對脈沖進行數字化，從而獲得 20 ns 脈沖的 20 個樣本并在計算機中計算其面積。但是以 1 GSPS 采樣是很難做到的，而且如果閃光很少，那就太浪費了。另一種方法是用晶體管和電容器對脈沖進行積分，當脈沖完成時將積分器的最終值數字化，然后重置積分以準備下一個脈沖。另一種方法，結果證明是簡單性和采樣率之間的良好折衷，是將脈沖整形為相同面積的較長脈沖，以慢得多的速度數字化，然后在計算機中進行計算。為此，我們需要一個脈沖整形器。

考慮沿 50Ω 傳輸線傳播的脈沖。它通過脈沖整形器電路并沿另一條 50 Ω 傳輸線繼續傳輸。脈沖整形器與兩條傳輸線一起工作以延長原始脈沖。在下面的電路中，我們用R代表兩條傳輸線的阻抗，因為每條線都像一個電阻器(參見傳輸線分析)。拉普拉斯變換是獲得整形電路脈沖響應的最快方法，但我們使用微分方程和疊加原理推導出響應。我們首先獲得整形器的階躍響應。稍后，我們使用階躍響應來獲得脈沖響應。

我們有成形器在時間為零時對高度為X的步長的響應。但是現在我們注意到，這一步對時間的導數是區域X在時間零處的脈沖。整形器是一個線性系統，所以它對階躍導數的響應將是它對階躍響應的導數。

請注意，當我們對階躍響應進行微分以獲得脈沖響應時，沒有X的導數的單位為 1/s。但是輸入X是以 Vs 為單位的脈沖。當我們將導數乘以X 時，我們得到一個以 V 為單位的量。現在讓我們對整形電路的響應進行積分，看看它是否保留了脈沖面積。

在沒有整形器的情況下，由于兩個電阻器R 構成的電阻分壓器的作用，該區域也將是X /2 。整形器延長脈沖，但保留其面積。我們過濾器工具中的 Shaper 表允許您輸入L、C和R 的值，以便獲得面積為 1 V-ns 的脈沖的整形器的理論輸出。我們為選擇的值獲得以下圖。

圖：計算出的各種組件值的整形器輸出。在實際行告訴我們傳遞函數的根是否真實的或想象。

我們使用一個金屬盒、兩個 BNC 插座、一個線圈和一個 1nF 陶瓷電容器構建了以下整形器。

在將線圈安裝到整形器中之前，我們使用電阻器和函數發生器測量線圈的電感。其電感約為 3 μH。電容為 1 nF。我們將 50 Ω 同軸電纜從輸出連接到設置為 20 mV/div 和 20 ns/div 的 50 Ω 端接示波器輸入。我們生成一個 20 ns 的脈沖并以相同的電壓和時間尺度觀察它。我們將脈沖傳送到 ×5 放大器，然后傳送到整形器，全部使用 50 Ω 同軸電纜。下圖顯示了放大器輸入端的脈沖和整形器輸出端的脈沖。

計算出的圖C對應于我們的組件值 3 μH 和 1 nF，對于 1 V-ns 輸入，它在 8 mV 處達到峰值。我們在示波器上看到的輸入脈沖不是X，而是X /2。計算輸入脈沖軌跡下的方塊，我們估計它的面積是 1 V-ns，所以X的面積是 2 V-ns。我們預計y的峰值為16 mV。示波器上的輸出脈沖為5 y，其峰值為80 mV，因此y為16 mV，與我們的計算非常吻合。我們制作了另一個帶有 8μH 電感器和 2nF 電容器的整形器。

表面聲波濾波器

甲SAW(表面聲波)濾波器是壓電晶體的制造出來的小，無源器件。大多數 SAW 濾波器是帶通濾波器。八通道數據接收器A3027的解調放大器使用 915 MHz SAW 帶通濾波器來抑制 930 MHz 至 970 MHz 頻率范圍之外的 RF 功率。我們在這里描述了我們第一次使用 SAW 濾波器。

取一塊薄的矩形壓電晶體。它的頂面是平的。晶體隨著施加的電場而膨脹和收縮。如果我們敲擊水晶，它會像水晶酒杯一樣短時間顫抖，但頻率太高，我們聽不見。隨著晶體顫抖，它會在其表面產生一個與顫抖頻率和幅度相匹配的電壓。如果我們在頂面和底面放置電極，當我們施加正確頻率的正弦電壓時，晶體就會共振。晶體振蕩器使用這種共振來產生與晶體尺寸和平坦度一樣精確的頻率。

SAW 濾波器不使用晶體的體諧振。它使用表面聲波。SAW 濾波器在晶體表面的一端有兩個互鎖的電極梳，而不是在晶體的相對面上的電極，另外兩個這樣的梳位于相反的一端，但在同一晶體表面上。我們將輸入連接到這些梳子上，如下所示。

圖：梳狀電極和表面波傳播。我們展示了一個俯視圖，顯示了互鎖的梳子，以及一個側視圖，顯示了沿晶體傳播的表面波。我們將晶體的末端逐漸變細，以表明需要采取一些步驟來防止表面波從晶體的末端反射。

梳子沿著晶體表面建立電場，而不是在晶體內部。電場使晶體表面膨脹和收縮。如果我們在正確頻率的輸入電極上施加一個正弦電壓，我們將產生一個表面波，它在晶體上傳播，在那里它在輸出電極上產生一個電壓，輸出電極也是互鎖梳。您可以看到，只有在每個梳齒之間具有整數波長的頻率才會在它們穿過梳齒傳播時得到增強。結果是一個濾波器：只有與兩端梳子匹配的頻率才會從電信號轉換為表面波信號，然后再轉換回電信號。

波沿晶體表面傳播的速度由晶體的楊氏模量決定，壓電晶體的速度約為 4000 m/s。以這種速度傳播的 950 MHz 波的波長僅為 4.2 μm。在如此高的頻率下，SAW 濾波器傾向于使用其梳狀基波諧振頻率的諧波。為此，他們從為所需帶通頻率的整數部分設計的梳子開始，然后在梳齒中插入切口，使梳子在基頻上效率低下，但在所需帶通頻率上卻有效。

讓我們將DSF947.5 SAW 濾波器的頻率響應與多項式濾波器的頻率響應進行比較。

如果我們假設 SAW 濾波器是通帶低端的高通濾波器和高端的低通濾波器的組合，那么我們可以將其在高端的響應與多項式低通濾波器。我們看到，在截止頻率的 10 MHz 內，SAW 濾波器的虛擬低通濾波器響應下降了 30 dB。假設我們要嘗試構建一個具有相同響應的多項式低通濾波器。十極點 3dB 紋波切比雪夫濾波器響應在頻率變化 10% 后下降 30dB。換句話說，其通帶兩端的 SAW 濾波器截止頻率是十極點 3-dB 紋波切比雪夫濾波器的十倍。表面聲波濾波器每個成本約為 3 美元，采用 3 平方毫米封裝。

傳輸線

傳輸線是用于將電信號從一個地方傳輸到另一個地方的電纜。我們通常不認為傳輸線是濾波器，但它們確實提供了一些類似濾波器的功能，而且它們的行為很有趣。我們有一個專門介紹傳輸線的單獨網頁，傳輸線分析。有限長度的不完美端接的傳輸線，稱為傳輸線短截線，可用于創建阻抗以將源與負載匹配，代替我們在傳輸中討論的電容器、電感器和電阻器網絡我們傳輸線路頁面的線路存根部分。

元件精度

我們用 100μH 電感器和 100pF 電容器組裝以下電路。

我們為電阻器R嘗試不同的值。下面的示波器屏幕截圖顯示了電路對 50 kHz 至 5 MHz 頻率對數掃描的響應。

圖：不同R值的頻率響應。每個的左邊緣是 50 kHz，=center 是 500 kHz，右邊緣是 5 MHz。垂直刻度為 1 V/div。輸入是幅度為 4 Vpp 的正弦曲線。對于 2.2 kΩ，請參見此處。

我們的濾波器對 820 Ω 的響應看起來像最大平坦的巴特沃斯響應。假設這是我們的理想情況，我們希望在數百個電路上重現濾波器，而無需調整每個電路的組件。電阻的 ± 10% 變化不會對響應產生顯著差異。我們可以使用標準的 5% 電阻器。該電路對L和C的值更不敏感。該電路中L或C變化 20%與R變化 10% 具有相同的效果. 我們可以使用標準精度為 20% 的電容器和電感器。然而，當我們增加濾波器中的極點數時，我們對組件的要求精度就會提高。當我們將四極無源低通濾波器中的單個電容器更改 20% 時，其通帶中某處的增益將更改 3 dB。如果我們希望四極無源濾波器的精度優于 ±1 dB，我們需要使用 5% 的電容器和電感器。八極無源濾波器濾波器要求電容器和電感器的精度為 2%，電阻器的精度為 1%。準確度為 2% 的電容器的成本是準確度為 20% 的電容器的十倍。

有源濾波器對電容器的要求更為嚴格：極點的位置隨電容值而不是電容的平方根而變化。然而，高階有源巴特沃斯濾波器仍然實用：有源巴特沃斯濾波器的RC值對于每一級都是相同的。我們可以使用電阻器和電容器陣列來實現RC值，我們將確保RC的值將在彼此的 1% 以內。即使電容陣列電阻的絕對精度只有5%，我們發現陣列內的變化也小于絕對精度的十分之一。我們發現在一卷表面貼裝電阻器或電容器中存在相同的相對精度效應，因此 5% 電阻器的卷軸的相對精度將降低 0.5%，而 20% 電容器的卷軸的相對精度將為 2%。(在我們提出此聲明之前，我們測量了幾個卷軸中每個卷軸的 20 個電阻器和電容器。)同一卷軸內表面貼裝部件的相對精度使有源濾波器電路比其他情況更實用。

如果我們的有源濾波器的截止頻率因組件變化而移動 ±5%，這幾乎無關緊要。更重要的是濾波器極點的相對位置保持準確，以便極點協同工作以提供正確的濾波器形狀。元件值的 5% 變化可以重新排列巴特沃斯濾波器的極點，從而在通帶中引入 5 dB 紋波。但是，我們可以通過使用一組電阻器和電容器來確定每個級中 R 和 C 的公共值，并在分壓器中使用 1% 的電阻器來確定每個級的增益，從而構建具有平坦響應的巴特沃斯濾波器。

Chebyshev 濾波器的情況并非如此，其中每個階段都有不同的RC值。但是我們還是可以用一排電容，讓所有的電容都在1%以內，然后再用1%的電阻，這些都是免費的，價格也不貴。下圖顯示了一個三極點 3-dB 紋波切比雪夫低通濾波器的響應如何從一個組裝電路變化到另一個

圖：組裝濾波器的測量響應。它們由 5% 的相同值的電容器制成，取自相同的卷軸，以及 1% 的不同值的電阻器。

整個濾波器由三極 160 Hz 低通響應加上單極 1.7 Hz 高通響應組成。在低通濾波器中，我們對所有電路使用取自同一卷軸的只有一個值 1 nF 的 5% 準確電容器。低通濾波器電阻器的精度為 1%。每個阻值電阻都來自同一個卷軸，但濾波器中有多個阻值。從 10 Hz 到 200 Hz 的響應變化為 ±0.7 dB。每個濾波器的截止頻率在設計值的幾赫茲以內。高通濾波器由一個 5% 的電阻器和一個 10% 的電容器組成。它從 1 Hz 到 3 Hz 的響應變化為 ±1.5 dB。通過使用取自同一卷軸的電容器，并依靠精密電阻器，我們能夠生產出一個濾波器，其增益已知在其通帶內 0.7 dB 以內，并在 3% 以內的頻率上產生顯著的截止頻率。

審核編輯：湯梓紅