Zemax中有一些表面定義的時候使用了歸一化半徑，而不是原本的位置坐標（即不使用 Z= f(x,y) 或 Z= f (r)的方式來定義）。

對于使用歸一化半徑的那些表面，大多數sag的表達式在系數表示方面用的是 Z= f(ρ) 。這里的可以是 ρ= x/Norm radius, 或ρ= y/Norm radius 或ρ= r/Normradius.歸一化半徑是沒有量綱的。默認的歸一化半徑值是100，下面介紹一下如果需要在已經定義好的表面基礎上更改歸一化半徑，在保證矢高不變的情況下系數該如何更改。

例如常見的擴展多項式面型的矢高定義如下所示：

假設當前表面中設置的歸一化半徑的值為 M ，那么根據參數14的說明，把多項式的前幾項為：

即要將歸一化半徑從M變為1時，要保證不改變 Ze 對應系數的變更應該如下表所示：

對于Zernike Standard Sag 表面，是由與偶次非球面（支持平面、球面、圓錐面和多項式非球面）相同的多項式加上附加 Zernike Standard 系數定義的附加非球面項組成，面矢高的形式為：

可以看到附加項矢高是通過 Z=f(ρ，φ)（“Zernike Standard 系數”）來描述的，其中的ρ是歸一化徑向坐標，假設設置的歸一化半徑是N，那么（r,θ）處的歸一化坐標ρ = r/N, 其中r = srqt(x*x+y*y)，對應的Zernike Standard 多項式的系數如下圖所示：

與上面討論的擴展多項式類似，上面的附加項展開是Z= A1*Term1 + A2*Term2+A3*Term3+ A4*Term4+…，但如果按照上面的思路來進行系數的換算的話，觀察Z4項/Z11就會發現，對于包含了有常數項的Zernike項，還要復原參數帶來的常數項影響。

例如對Zernike Standard Sag 更改Norm radius如果通過更改系數來維持表面矢高不變，為簡單起見僅使用Zernike項到第5項，假設一個表面初始的歸一化半徑設定為10，現在要更改到100，原Zernike項的系數A1=A2=A3=A4=A5=1根據上面擴展多項式的例子，可以知道Z2~Z5系數的對應關系如下：

由于Z4是有常數項的，系數縮放后常數項（也被縮放）與原來的值不同，我們可通過更改Z1的系數A1把這個影響消除掉。原來式子中的常數項為 1-sqrt(3)，現在式子中的常數項為 A1*1 - 100*sqrt(3)。

上下兩式相等計算得到新的A1=1-sqrt(3) +100*sqrt(3)=172.473。

如下圖所示在軟件中設置相應的參數來驗證：

1、新建空白文件，將表面1設置為Zernike Standard Sag 表面，設置表面1的半直徑為100, 參數13 最大項數# = 5

2、添加兩個多重結構，輸入上表不同歸一化半徑的系數，其中結構1代表歸一化半徑 = 10，結構2代表歸一化半徑 = 100。

對于更改歸一化半徑之后的Z1的系數，可以通過軟件來計算，在評價函數中添加如下操作數，利用SSAG實現在兩種不同的結構中計算同一個位置的矢高值，優化目標是讓兩種設置中的sag值一樣（通過第5行DIFF實現，注意第5行設置了權重）

在Multi configurationeditor將結構2中的參數A1設置為變量，優化后軟件計算得到正是上面分析的理論值。

通過以上的方法，可在需要將已經設計好的表面重新調整Norm 但不想面型改變時，來指導系數的修改。但實際上Norm Radius不改變通光孔徑，只是一種定義面型的方法。

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審核編輯：湯梓紅