本文介紹了濾波的概念并詳細(xì)說明了電阻電容（RC）低通濾波器的用途和特性。

時(shí)域和頻域

當(dāng)你看到示波器上的電信號(hào)時(shí)，你會(huì)看到一條線，它代表電壓隨時(shí)間的變化。在任何特定時(shí)刻，信號(hào)只有一個(gè)電壓值。你在示波器上看到的是信號(hào)的時(shí)域表示。一個(gè)典型的示波器跟蹤直接且直觀，但它也有一定的限制性，因?yàn)樗恢苯语@示信號(hào)的頻率內(nèi)容。與時(shí)域表示法相反，其中一個(gè)時(shí)刻僅對(duì)應(yīng)于一個(gè)電壓值，頻域表示法（也稱為頻譜）通過識(shí)別同時(shí)存在的各種頻率分量來傳遞關(guān)于信號(hào)的信息。

正弦波（頂部）和方波（底部）的時(shí)域表示。

正弦波（頂部）和方波（底部）的頻域表示。

什么是濾波器？

濾波器是一種電路，它去除或“過濾掉”指定頻率范圍的分量。換句話說，它將信號(hào)的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻塞的頻率分量。如果你對(duì)頻域分析沒有太多經(jīng)驗(yàn)，你可能仍然不確定這些頻率分量是什么以及它們?nèi)绾卧诓荒芡瑫r(shí)具有多個(gè)電壓值的信號(hào)中共存。讓我們看一個(gè)有助于澄清這個(gè)概念的簡(jiǎn)短例子。

假設(shè)我們有一個(gè)由完美的5 kHz正弦波組成的音頻信號(hào)。我們知道時(shí)域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到5 kHz的頻率“尖峰”。假設(shè)我們激活一個(gè)500 kHz振蕩器，它將高頻噪聲引入音頻信號(hào)。在示波器上看到的信號(hào)仍然只是一個(gè)電壓序列，每個(gè)時(shí)刻有一個(gè)值，但信號(hào)看起來會(huì)有所不同，因?yàn)樗臅r(shí)域變化必須同時(shí)反映5 kHz正弦波和高頻噪音波動(dòng)。

然而，在頻域中，正弦波和噪聲是同時(shí)存在于這一信號(hào)中的獨(dú)立頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號(hào)頻域表示的不同部分（如下圖所示），這意味著我們可以通過將信號(hào)引導(dǎo)通過低頻并阻擋高頻的電路來過濾噪聲。

濾波器的類型

濾波器可以放在與濾波器頻率響應(yīng)的一般特征相對(duì)應(yīng)的廣泛類別中。如果濾波器通過低頻并阻塞高頻，則稱為低通濾波器。如果它阻塞低頻并通過高頻，它就是一個(gè)高通濾波器。還有僅通過相對(duì)較窄頻率范圍的帶通濾波器，以及僅阻塞相對(duì)較窄頻率范圍的帶阻濾波器。

濾波器也可以根據(jù)用于實(shí)現(xiàn)電路的組件類型進(jìn)行分類。無(wú)源濾波器使用電阻器、電容器和電感器；這些元件不提供放大，因此無(wú)源濾波器只能維持或減小輸入信號(hào)的振幅。另一方面，有源濾波器既可以過濾信號(hào)又可以應(yīng)用增益，因?yàn)樗ㄓ性丛?a target="_blank">晶體管或運(yùn)算放大器。

基于流行的Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有源低通濾波器

本文探討了無(wú)源低通濾波器的分析和設(shè)計(jì)。這些電路在各種系統(tǒng)和應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。

RC低通濾波器

要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)無(wú)源低通濾波器，我們需要將電阻元件與無(wú)功元件組合在一起。換句話說，我們需要一個(gè)由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻電感（RL）低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻電容（RC）低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實(shí)際上，電阻電容版本更為常見，因此本文的其余部分將重點(diǎn)介紹RC低通濾波器。

RC低通濾波器

如圖所示，RC低通響應(yīng)是通過將一個(gè)電阻與信號(hào)通路串聯(lián)，電容器與負(fù)載并聯(lián)而產(chǎn)生的。在圖中，負(fù)載是一個(gè)單一元件，但在實(shí)際電路中，負(fù)載可能更復(fù)雜，例如模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換器、放大器或用于測(cè)量濾波器響應(yīng)的示波器的輸入級(jí)。如果我們認(rèn)識(shí)到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，就可以直觀地分析RC低通拓?fù)涞臑V波作用。

RC低通濾波器重新繪制，使其看起來像分壓器

當(dāng)輸入信號(hào)的頻率較低時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗高；因此，大部分輸入電壓在電容器上（以及負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián)）下降。當(dāng)輸入頻率較高時(shí)，電容器的阻抗相對(duì)于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且傳遞到負(fù)載的電壓就越小。因此，低頻通過并且高頻被阻塞。

RC低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當(dāng)我們需要實(shí)際設(shè)計(jì)電路時(shí)它并不是很有用，因?yàn)樾g(shù)語(yǔ)“高頻”和“低頻”非常模糊。工程師需要?jiǎng)?chuàng)建通過和阻塞特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留5kHz信號(hào)并抑制500kHz信號(hào)。這意味著我們需要一個(gè)從通過到阻塞的5kHz到500kHz的濾波器。

截止頻率

濾波器不會(huì)引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實(shí)導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無(wú)法識(shí)別濾波器停止傳遞信號(hào)并開始阻塞信號(hào)的一個(gè)頻率。然而，工程師需要一種方便簡(jiǎn)潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。

當(dāng)你查看RC濾波器的頻率響應(yīng)圖時(shí)，你會(huì)注意到術(shù)語(yǔ)“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號(hào)光譜圖像被“切割”成兩半，其中一個(gè)被保留而另一個(gè)不適用而被丟棄，因?yàn)樗p隨著頻率從截止點(diǎn)以下移動(dòng)到截止點(diǎn)以上而逐漸增加。RC低通濾波器的截止頻率實(shí)際上是輸入信號(hào)振幅降低3dB的頻率（選擇該值是因?yàn)檎穹档?dB對(duì)應(yīng)于功率降低50％）。因此，截止頻率也稱為-3 dB頻率，實(shí)際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語(yǔ)帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于-3 dB頻率（如下圖所示）。

該圖表示RC低通濾波器頻率響應(yīng)的一般特性，帶寬等于-3 dB頻率。

如上所述，RC濾波器的低通特性是由電阻器的頻率無(wú)關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻（R）和電容（C）之間的關(guān)系，我們還可以操縱這些值，以設(shè)計(jì)滿足精確規(guī)格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率（f C）計(jì)算如下：

我們來看一個(gè)簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)實(shí)例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值（例如10 nF）開始，然后將使用該公式來確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器，它將保留5 kHz音頻波形并抑制500 kHz噪聲波形。我們將嘗試100 kHz的截止頻率，稍后在文章中我們將更仔細(xì)地分析此濾波器對(duì)兩個(gè)頻率分量的影響。

因此，160Ω電阻與10 nF電容相結(jié)合，將為我們提供一個(gè)非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。

計(jì)算濾波器響應(yīng)

我們可以通過使用典型分壓器計(jì)算的頻率相關(guān)版本來計(jì)算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下：

RC濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個(gè)電容器代替R 2。首先，我們用電容器的電抗（X C）代替R 2（在分子中）。接下來，我們需要計(jì)算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有

電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過電容器的信號(hào)頻率。因此，我們必須計(jì)算特定頻率的電抗，我們用于此的等式如下：

在上面的設(shè)計(jì)實(shí)例中，R≈160Ω且C = 10nF。我們假設(shè)V IN的振幅是1 V，這樣我們就可以簡(jiǎn)單地從計(jì)算中去掉V IN。首先讓我們以正弦波頻率計(jì)算V OUT的振幅：

正弦波振幅基本不變。這很好，因?yàn)槲覀兊哪康氖窃谝种圃肼暤耐瑫r(shí)保持正弦波。這個(gè)結(jié)果并不令人驚訝，因?yàn)槲覀冞x擇的截止頻率（100 kHz）遠(yuǎn)高于正弦波頻率（5 kHz）。現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。

噪聲振幅僅為其原始值的20％左右。

可視化濾波器響應(yīng)

評(píng)估濾波器對(duì)信號(hào)影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)圖。這些圖形通常稱為波特圖，在縱軸上具有振幅（以分貝為單位），在橫軸上具有頻率；橫軸通常具有對(duì)數(shù)標(biāo)度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間、100Hz和1kHz之間的物理距離相同等等。這種配置使我們能夠快速準(zhǔn)確地評(píng)估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的行為。

頻率響應(yīng)圖的例子

曲線上的每個(gè)點(diǎn)表示如果輸入信號(hào)的振幅為1 V，頻率等于橫軸上的相應(yīng)值，即輸出信號(hào)將具有的振幅。例如，當(dāng)輸入頻率為1 MHz時(shí)，輸出振幅（假設(shè)輸入振幅為1 V）將為0.1 V（因?yàn)?20 dB對(duì)應(yīng)于十倍減小系數(shù)）。當(dāng)你花費(fèi)更多時(shí)間使用濾波器電路時(shí)，此頻率響應(yīng)曲線的一般形狀將變得非常熟悉。通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始快速下降。最終，衰減的變化率（稱為滾降）穩(wěn)定在20 dB / decade，即輸入頻率每增加十倍，輸出信號(hào)振幅降低20 dB。

評(píng)估低通濾波器性能

如果我們仔細(xì)繪制我們?cè)诒疚那懊嬖O(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到5 kHz時(shí)的振幅響應(yīng)基本上是0 dB（即幾乎為零衰減），500 kHz時(shí)的振幅響應(yīng)約為-14 dB（對(duì)應(yīng)于0.2的增益）。這些值與我們?cè)谏弦还?jié)中執(zhí)行的計(jì)算結(jié)果一致。

由于RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，并且因?yàn)樗p永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，我們無(wú)法設(shè)計(jì)出“完美”的濾波器，即對(duì)正弦波沒有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近5 kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚(yáng)聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近500 kHz，正弦波頻率的衰減會(huì)更小，噪聲頻率的衰減也會(huì)更小。

低通濾波器相移

到目前為止，我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號(hào)中各種頻率分量振幅的方式。然而，除了振幅效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。相位的概念是指周期內(nèi)特定時(shí)刻的周期信號(hào)的值。因此，當(dāng)我們說電路引起相移時(shí)，我們的意思是它會(huì)在輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間產(chǎn)生一個(gè)偏差：輸入和輸出信號(hào)不再在同一時(shí)刻開始和結(jié)束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示產(chǎn)生了多少偏差。

電路中的每個(gè)電抗元件都會(huì)引入90°的相移，但這種相移不會(huì)同時(shí)發(fā)生。輸出信號(hào)的相位與輸出信號(hào)的振幅一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在RC低通濾波器中，我們有一個(gè)電抗元件（電容器），因此電路最終會(huì)引入90°的相移。

與振幅響應(yīng)一樣，通過檢查橫軸表示對(duì)數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評(píng)估相位響應(yīng)。下面的描述傳達(dá)了一般模式，然后你可以通過檢查繪圖來填寫詳細(xì)信息。相移最初為0°；它逐漸增加，直到它在截止頻率達(dá)到45°；在這部分響應(yīng)期間，變化率正在增加；在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率正在降低；隨著相移漸近接近90°，變化率變得非常小。

實(shí)線是振幅響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng)。注意，在截止頻率為100 kHz下的相移為45°。

二階低通濾波器

到目前為止，我們假設(shè)RC低通濾波器由一個(gè)電阻器和一個(gè)電容器組成。此配置是一階濾波器。無(wú)源濾波器的“階數(shù)”由電路中存在的無(wú)功元件（即電容器或電感器）的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無(wú)功元件，這導(dǎo)致更多的相移和更陡的滾降。第二個(gè)特征是增加濾波器階數(shù)的主要?jiǎng)訖C(jī)。

通過向?yàn)V波器添加一個(gè)無(wú)功元件。例如，從一階到二階或二階到三階，我們將最大滾降增加20 dB /十倍。更陡的滾降轉(zhuǎn)換為從低衰減到高衰減的更快過渡，并且當(dāng)信號(hào)不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時(shí)，這可以導(dǎo)致性能提高。二階濾波器通常圍繞由電感器和電容器組成的諧振電路構(gòu)建（這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)稱為“RLC”，用于電阻器—電感器—電容器）。但是，也可以創(chuàng)建二階RC濾波器。如下圖所示，我們需要做的就是級(jí)聯(lián)兩個(gè)一階RC濾波器。

雖然這種拓?fù)淇隙〞?huì)產(chǎn)生二階響應(yīng)，但它沒有被廣泛使用，頻率響應(yīng)通常低于二階有源濾波器或二階RLC濾波器。

二階RC濾波器的頻率響應(yīng)

我們可以嘗試創(chuàng)建一個(gè)二階RC低通濾波器，根據(jù)所需的截止頻率設(shè)計(jì)一階濾波器，然后將這兩個(gè)一階級(jí)串聯(lián)起來。這確實(shí)導(dǎo)致濾波器具有類似的總頻率響應(yīng)，最大滾降為40 dB / decade而不是20 dB / decade。但如果我們更仔細(xì)地觀察響應(yīng)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)-3 dB頻率已經(jīng)降低。二階RC濾波器不能按預(yù)期工作，因?yàn)閮蓚€(gè)階段不是獨(dú)立的，我們不能簡(jiǎn)單地將這兩個(gè)階段連接在一起，并將電路分析為一階低通濾波器，然后再分析為相同的一階低通濾波器。

此外，即使我們?cè)趦杉?jí)之間插入緩沖器，使得第一RC級(jí)和第二RC級(jí)可以用作獨(dú)立濾波器，原始截止頻率處的衰減將是6dB而不是3dB。這是因?yàn)閮蓚€(gè)階段獨(dú)立工作。第一個(gè)濾波器在截止頻率處具有3 dB的衰減，而第二個(gè)濾波器增加了另外3 dB的衰減。

二階RC低通濾波器的基本限制是設(shè)計(jì)人員無(wú)法通過調(diào)整濾波器的Q因子來微調(diào)從通帶到阻帶的轉(zhuǎn)換；此參數(shù)表示頻率響應(yīng)的阻尼程度。如果級(jí)聯(lián)兩個(gè)相同的RC低通濾波器，則整體傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)于二階響應(yīng)，但Q因子始終為0.5。當(dāng)Q = 0.5時(shí)，濾波器處于過阻尼的邊界，這導(dǎo)致頻率響應(yīng)在過渡區(qū)域中“下降”。二階有源濾波器和二階共振濾波器沒有這個(gè)限制；設(shè)計(jì)人員可以控制Q因子，從而微調(diào)過渡區(qū)的頻率響應(yīng)。

總結(jié)

所有電信號(hào)都包含所需頻率分量和不需要的頻率分量的混合。不期望的頻率分量通常由噪聲和干擾引起，并且在某些情況下它們將對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生負(fù)面影響；濾波器是以不同方式對(duì)信號(hào)頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。

低通濾波器旨在通過低頻分量并阻塞高頻分量；低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉(zhuǎn)變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域；RC低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由（頻率無(wú)關(guān)）電阻和（頻率相關(guān)）電抗組成的分壓器來計(jì)算；振幅（以dB為單位，在縱軸上）與對(duì)數(shù)頻率（以赫茲為單位，在橫軸上）的關(guān)系圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法。

你還可以使用相位與對(duì)數(shù)頻率的關(guān)系圖來確定將應(yīng)用于輸入信號(hào)的相移量；二階濾波器提供更陡的滾降；當(dāng)信號(hào)不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時(shí)，這種二階響應(yīng)是有用的；可以通過構(gòu)建兩個(gè)相同的一階RC低通濾波器，然后將一個(gè)輸出連接到另一個(gè)的輸入來創(chuàng)建二階RC低通濾波器，整體-3 dB頻率將低于預(yù)期。