當我們已知一個系統的閉環傳遞函數時候，我們通常有兩種方法來判斷系統的穩定性。第一種是時域分析方法，可以觀察閉環傳遞函數的階躍響應；第二種是頻域分析法，可以觀察閉環傳遞函數的頻率響應。頻域分析方法中，伯德圖一般被廣泛使用。這兩種分析方法都可以借助Matlab工具得到直觀的曲線，非常有助于我們對問題的分析。

Note1：時域分析時，除了常用的階躍信號作為輸入激勵外，還常使用脈沖信號和斜坡信號作為激勵。Note2：頻域分析法，我們既可以選擇環路增益的伯德圖，也可以選擇閉環傳遞函數的伯德圖。

以一個非常有代表性的標準二階系統為例，可以通過Matlab研究該系統的特性。其閉環傳遞函數如下（公號不支持公式編輯也真是個亮點，直接上圖吧）：下面針對公式2進行分析。01 時域

當ζ取不同的值時，該系統的階躍響應會是怎樣的呢？設計如下所示的Matlab代碼。仿真波形如圖1所示，三維波形如圖2所示。

% G（s）=ωn^2/（s^2+2ζωn s+ωn^2 ）.whenωn=1，research unit-step response

% with different ζvalues.

%------------------------------------------------------------------------

t=0:0.2:10;

zt=［0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0］;

for n=1:6

num=［1］;

den=［1 2*zt（n） 1］;

［y（1:51，n），x，t］=step（num，den，t）;

［y（1:51，n），x，t］=impulse（num，den，t）;

end

plot（t，y）

grid

title（‘plot of unit_step response curves with omega_n=1 and zeta=0.1，0.2，0.4，0.6.0.8，1.0’）

xlabel（‘t secs’）

ylabel（‘response’）

text（3.7，1.7，‘zeta=0.1’）

text（3.5，0.8，‘zeta=1.0’）

% to plot a three-dimensional diagram，enter the command mesh（t，zeta，y‘）

figure（2）

mesh（t，zt，y’）

title（‘three-dimensional plot of unit-step response curves’）

xlabel（‘t secs’）

ylabel（‘zeta’）

zlabel（‘response’）

圖 1 ζ取不同值時的閉環階躍響應曲線

圖 2 ζ取不同值時的三維圖形

當ζ從0不斷增大時，系統將逐漸從欠阻尼狀態（0＜ζ＜1）過渡到臨界阻尼狀態（ζ=1）再過渡到過阻尼狀態（ζ＞1）。

觀察閉環階躍響應曲線，當ζ＜0.6時，系統表現出很大的減幅振蕩；當ζ≥0.6時，系統趨于穩定，可以看到ζ=1.0時已非常穩定。也可以發現，當系統的穩定性有保障之后，響應速度隨著ζ越大而越來越慢。在工程控制中，為了平衡系統穩定性和響應速度，ζ一般取0.707。

02 頻域

其實也可以在頻域上觀察系統的穩定性，設計如下的Matlab代碼，仿真結果如圖3所示。

% G（s）=ωn^2/（s^2+2ζωn s+ωn^2 ）.whenωn=1，the plot of bode digram

% with different ζvalues.

%------------------------------------------------------------------------

zt=［0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1］;

%zt=［0.1:0.1:1］;

for n=1:6;

num=［1］;

den=［1 2*zt（n） 1］;

G=tf（num，den）;

hold on;

bode（G）

end

grid

title（‘plot of bode diagram with omega_n=1 and zeta=0.1，0.2，0.4，0.6.0.8，1.0’）

圖 3 ζ取不同值時的閉環頻率響應曲線

觀察閉環頻率響應曲線，因為ωn=1，發現1rad/s附近有好幾條曲線具有正的增益，這其實是系統不穩定的表現。重點觀察ζ=0.1時的曲線，因為ωn=1時，所以曲線在大約1rad/s處出現尖峰（意味著極大增益），實際會表現為振蕩。同理，如果ωn=2，ζ=0.1時曲線會在2rad/s附近出現尖峰。（注：如果ζ=0，會發現在ωn處有無窮大增益）。工程控制中一般取ζ=0.707是非常有道理的，此時系統在穩定性和響應速度方面可以說達到了最好平衡。此時，閉環系統的頻響平坦區范圍基本上是0~ωn。

03 總結

ζ=0.707時，系統的穩定性和響應速度之間達到最好的折衷，此時閉環頻率響應的平坦區范圍可到ωn；

ζ=0.707不一定是所有二階系統的最優選擇 ，在穩定性得到保障之后，ζ具體取多大還要看實際系統的具體需求；

一個不穩定的二階系統，很可能會在ωn附近出現振蕩行為；

使用Matlab可以對任意已知傳遞函數的系統進行階躍響應、脈沖響應、斜坡響應的分析。脈沖響應可直接使用impulse（num，den，t）命令。斜坡響應較為復雜，沒有直接的命令可用。這時就需要進行公式轉換，斜坡響應的拉普拉斯表示為1/s2，將其乘以G（s）得到G（s）/s2，因此G（s）的斜坡響應可通過G（s）/s的階躍響應得到。

參考：

［1］ 現代控制工程，Katsuhiko Ogata，P123~P149

［2］ 控制系統計算機輔助設計，薛定宇，P170~P190

審核編輯：黃飛