系統(tǒng)級仿真是產(chǎn)品開發(fā)的重要組成部分，這種仿真包括與設(shè)備模型相結(jié)合的電路組件。Saber是一種系統(tǒng)級仿真工具，開發(fā)中可以將MOR電熱模型轉(zhuǎn)換為MAST模型，并在Saber中進(jìn)行電熱仿真。模型簡化在行業(yè)中被用于直接從有限元工具中獲得緊湊模型。

本文概述了以下主題，并說明了在 Saber 中執(zhí)行系統(tǒng)級電熱仿真的方法：

※ 狀態(tài)空間建模

※ 有限元分析

※ 模型降階

※ 用于電熱仿真的MOR矩陣

一、狀態(tài)空間模型簡介

在控制工程中，狀態(tài)空間表示的是物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，它由一階微分方程相關(guān)的一組輸入、輸出和狀態(tài)變量組成。系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為該空間內(nèi)的向量。為了從輸入、輸出和狀態(tài)的數(shù)量中抽象出來，這些變量表示為向量。此外，如果動態(tài)系統(tǒng)是線性的、時間恒定的和有限維的，那么微分和代數(shù)方程可以寫成矩陣形式。

線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的最通用狀態(tài)空間可以用以下形式表示，有M輸入、R輸出和N狀態(tài)變量：

圖1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示

A - 狀態(tài)矩陣 A。行數(shù)與狀態(tài)數(shù)相同的平方實(shí)值或復(fù)值矩陣。（n × n 矩陣，其中 n 是狀態(tài)數(shù)）

B - 實(shí)值或復(fù)值矩陣，行數(shù)與狀態(tài)數(shù)相同，列數(shù)與輸入數(shù)相同。(n × m矩陣，其中m為輸入數(shù))

C - 實(shí)值或復(fù)值矩陣，其行數(shù)與輸出數(shù)相同，列數(shù)與狀態(tài)數(shù)相同。(r × n矩陣，其中r為輸出數(shù))

D - 實(shí)值或復(fù)值矩陣，輸出行數(shù)和輸入列數(shù)相同。(r-by-m矩陣)

E - E矩陣用于隱式(描述符)狀態(tài)空間模型。默認(rèn)情況下，e =[]，這意味著狀態(tài)方程是顯式的。為了指定一個隱式狀態(tài)方程E dx/dt = Ax + Bu，將這個屬性設(shè)為與a相同大小的方陣。

有關(guān)如何在不同域中派生的狀態(tài)空間模型的一些示例，請參閱此鏈接。

二、有限元分析

有限元分析(FEA)是可用于求解偏微分方程的最強(qiáng)大的數(shù)值方法之一，它適用于復(fù)雜的形狀。該過程將復(fù)雜形狀細(xì)分為許多更簡單的形狀，在這些形狀上可以輕松求解復(fù)雜的微分方程，然后將所有更簡單的形狀“連接”在一起，確保元素間邊界的兼容性和平衡。該方法可用于結(jié)構(gòu)分析、動力學(xué)、振動、流體流動、熱力學(xué)、聲學(xué)、靜電學(xué)、電氣和流體網(wǎng)絡(luò)、電子學(xué)等。

熱電應(yīng)用是多樣的而復(fù)雜的，通常需要一個完整的三維(3-D)數(shù)值分析。有限元法是求解PCB板熱分布的一種有效方法。要應(yīng)用有限元法，必須有以下方面的詳細(xì)資料:

a. 設(shè)計PCB的幾何形狀。

b. 材料特性

c. 產(chǎn)生熱量的位置和數(shù)量

d. 可選擇的冷卻類型和數(shù)量

通過定義整個信息，可以通過將其簡化為數(shù)學(xué)關(guān)系來對實(shí)際問題進(jìn)行建模。有很多方法可以對這個問題進(jìn)行建模并研究PCB上的熱量分布和散熱。有限元模型是高維的，時間積分是不可行的。系統(tǒng)級仿真的常見做法是采用一個緊湊的或行為級的設(shè)備模型。這樣的模型是低維的，但可以很好地逼近動力響應(yīng)。MOR (Model Order Reduction),是一個軟件，它讀取系統(tǒng)矩陣，運(yùn)行模型縮減算法，然后寫出縮減矩陣。簡化后的矩陣可用于制作Saber MAST和VHDL-AMS中的模板

三、模型降階

模型簡化或模型階簡化是一種數(shù)學(xué)理論，用于為常微分方程 (ODE) 系統(tǒng)找到低維近似。主要思想是高維狀態(tài)向量實(shí)際上屬于低維子空間，如圖2所示。

圖2 低維子空間的概念

在已知低維子空間的條件下，常微分方程可以投影到其上。圖3顯示了ode線性系統(tǒng)的情況。這個投影給了我們一個所需的低維近似。

圖3 將一個ode系統(tǒng)投影到一個低維子空間上

對于熱分析，簡化的低階系統(tǒng)作為瞬態(tài)熱方程的狀態(tài)空間表示給出，其狀態(tài)向量為廣義變量 z、演化矩陣 E 和 A、輸入矩陣 B 和輸出矩陣 C。矢量 TJ 包括所有晶體管結(jié)溫。所需的狀態(tài)變量數(shù)量由誤差估計程序確定。

對于熱分析，將低階系統(tǒng)簡化為瞬態(tài)熱方程的狀態(tài)空間表示形式，其狀態(tài)向量為廣義變量z，演化矩陣E和A，輸入矩陣B和輸出矩陣C。矢量Tj包含所有晶體管結(jié)溫度。所需的狀態(tài)變量數(shù)目由誤差估計程序確定。

四、用于電熱仿真的 MOR 矩陣

傳統(tǒng)上，RC熱網(wǎng)絡(luò)是為瞬態(tài)熱仿真而開發(fā)的。創(chuàng)建RC熱網(wǎng)絡(luò)的過程是半自動的。這意味著首先用戶必須創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌@取決于熱源的數(shù)量和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。然后，將傳遞函數(shù)參數(shù)與由有限元模型測量或計算得到的結(jié)構(gòu)階躍響應(yīng)進(jìn)行擬合，自動提取RC網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)。

使用模型簡化可以更簡單地解決熱問題，因為傳熱偏微分方程的離散化會得到一階常微分方程組。模型簡化首先要用有限元程序創(chuàng)建一個精確的高維熱模型。。

微系統(tǒng)內(nèi)溫度分布的 3 維傳熱方程示例如下：

這里，K是熱導(dǎo)率，Cp是比熱容，ρ是質(zhì)量密度，T是溫度分布，Q是發(fā)熱率。

在空間上進(jìn)行離散化，得到常微分方程組。

這里，-K 是由于附加的對流項，傳導(dǎo)性矩陣從單純傳導(dǎo)熱流的對稱矩陣變?yōu)榉菍ΨQ矩陣，C是熱電容（K和C是系統(tǒng)矩陣），T是離散化過程中節(jié)點(diǎn)處的未知溫度，F(xiàn)i是第i個熱源對應(yīng)的載荷向量，ui是輸入函數(shù)，即第i個熱功率如何隨時間變化。

上述方程可以直接轉(zhuǎn)換為類RC網(wǎng)絡(luò)以用于聯(lián)合電熱模擬，但狀態(tài)向量T的維數(shù)通常太高而無法在實(shí)踐中利用這個機(jī)會。因此，首先應(yīng)該推導(dǎo)出一個緊湊的熱模型。

模型縮減的一個思路是找到一個低維子空間，以可接受的精度描述狀態(tài)向量軌跡。

也就是說，假設(shè)誤差向量?很小。矩陣V描述了從廣義坐標(biāo)z的低維子空間到未知溫度的原始向量T的變換，它的列數(shù)等于低維子空間的維數(shù)。當(dāng)找到子空間V時，投影得到低維常微分方程組。

這里

MOR4ANSYS 可用于自動生成降階模型。它從ANSYS二進(jìn)制文件中讀取原始系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，并執(zhí)行Arnoldi算法以獲得指定的最大階數(shù)的簡化模型。通過將結(jié)果與ANSYS 仿真進(jìn)行比較來選擇最佳順序。結(jié)果是簡化矩陣Kr和Cr、載荷向量Fr,i和變換矩陣V。

五、具體操作

1、將MOR矩陣轉(zhuǎn)換為MAST模型

降階熱網(wǎng)絡(luò)的演化：

我們可以將熱MOR文件轉(zhuǎn)換為Mast模型，其中狀態(tài)空間公式 dX/dt=AX+BU 通常從 *.sml 文件中給出（已經(jīng)進(jìn)行了矩陣求逆）。

或者我們可以直接從MOR矩陣 mor.A、mor.B、mor.C、mor.E創(chuàng)建Mast模型，其中狀態(tài)空間公式包括E矩陣，EdX/dt=AX+BU。本文采用這種方法。

輸入向量U實(shí)際上對應(yīng)于芯片上的有源器件產(chǎn)生的熱流（而不是有源器件的溫度）。有源器件的溫度是狀態(tài)空間公式的輸出向量 Y (Y=CX)。

轉(zhuǎn)換后的模型包括一個參考熱引腳，該引腳將連接到提供環(huán)境溫度偏移（例如 25°C）的本體溫度源。

在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)建了腳本“mor”。要讓此腳本生成 MAST 模型，需要設(shè)置以下輸入。

※ MOR 矩陣文件

※ 模型名稱

※ 輸入端口列表

※ 輸出端口列表

這些輸入端口和輸出端口的值通常可以在MOR矩陣給出的mor.B.names 和 mor.C.names 文件中找到。

2、將MOR模型轉(zhuǎn)換為MAST的步驟：

第一步：下載 隨附的mor.tlib和mor.tndx文件。

第二步：用A、B、C、E矩陣生成MAST模型的aim包。將上述兩個文件復(fù)制到$INSTALL/lib/aim目錄下。

第三步：下載并解壓mor_model _example_simple.zip 文件。其中包含用于轉(zhuǎn)換的“MOR_files”文件夾下的示例 MOR 矩陣以及用于電熱仿真的 MOR 模型的仿真示例。

第四步：進(jìn)入SaberRD命令窗口，運(yùn)行以下命令，更改工作目錄路徑為MOR_files目錄（cd D:/SaberExample/mor_model_example_simple/MOR_files）。

第五步：如下設(shè)置變量值并運(yùn)行命令生成“mor_example.sin”：

設(shè)置模型 mor_example

設(shè)置輸入 [list port1]

設(shè)置輸出 [list port1 port2 port3 port4]

設(shè)置 E_file mor.E

設(shè)置 A_file mor.A

設(shè)置 B_file mor.B

設(shè)置 C_file mor.C

MOR:GenerateMAST **model **inputs **outputs **E_file **A_file **B_file $C_file

第六步：“*.sin”文件在 MOR 文件以給定名稱保存的同一位置創(chuàng)建。檢查模型是否存在任何差異。

第七步：為這個模型創(chuàng)建一個符號。

第八步：將此模型和符號復(fù)制到工作目錄中，然后繼續(xù)測試模型并進(jìn)行電熱仿真（在這種情況下，轉(zhuǎn)換后的模型已經(jīng)在測試文件夾中可用）。實(shí)際上示例“test_mor_simple.ai_dsn”和“test_mor_simple_electro_thermal.ai_dsn”已經(jīng)提供，包含在“mor_model_example_simple”文件夾中以便理解。

第九步：將熱流源或溫度源相應(yīng)地連接到每個端口并運(yùn)行仿真以測試模型。分別使用提供的實(shí)驗“test_mor_example.ai_expt”、“test_mor_electro_thermal.ai_expt”運(yùn)行仿真并顯示結(jié)果，如下所示。

第十步：你可以使用此aim包根據(jù)上述步驟從具有不同輸入和輸出數(shù)量的熱MOR文件生成MAST模型。

3、使用降階模型仿真節(jié)點(diǎn)處的溫度

圖4 測試 MOR2MAST 轉(zhuǎn)換模型"test_mor_simple.ai_dsn原理圖

在測試電路中，我們通過端口 1 將熱量泵入網(wǎng)絡(luò)。由于熱網(wǎng)絡(luò)在端口1有一個輸入電阻，同時還有一些局部存儲（分布式熱電容），因此熱量在整個網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散，最終延遲到達(dá)其他端口并導(dǎo)致溫度升高。

除了其他端口，熱量還通過遠(yuǎn)處的環(huán)境溫度散熱片散逸，該散熱片對應(yīng)于FEA側(cè)的恒溫狄氏邊界條件。這就是t_ref端口的作用，它充當(dāng)溫度偏移量。

如果我們不添加ref引腳，如果所有局部設(shè)備都是發(fā)熱源，那么在這些節(jié)點(diǎn)處計算的溫度將參考零而不是環(huán)境溫度。一旦參考引腳連接到溫度源，流經(jīng)該溫度源的熱量就是通過邊界表面輻射的能量。

圖5 給定輸入的測試模型結(jié)果

該模型現(xiàn)在可以與有源設(shè)備連接以運(yùn)行電熱仿真。該模型有 4 個熱端口，其中一個用于連接代表 FEA 邊界條件的環(huán)境溫度源 (t_ref)。請注意，局部設(shè)備可以吸收或產(chǎn)生熱量。像 MOSFET 或二極管這樣的有源器件會產(chǎn)生熱量。低于整體網(wǎng)絡(luò)溫度（包括環(huán)境溫度）的散熱器或溫度源會吸收熱量。您還會遇到?jīng)]有明確的溫度或熱量驅(qū)動因素的情況。

MOSFET 或 IGBT 等有源器件根據(jù)器件中消耗的瞬時電功率 (v(t)*i(t)) 產(chǎn)生熱量；這種熱量將導(dǎo)致設(shè)備熱連接處的溫度升高，進(jìn)而動態(tài)影響設(shè)備的電氣特性及其產(chǎn)生的熱量。電熱系統(tǒng)成為一個閉環(huán)耦合，由仿真器解決逐次解決。

4、使用降階模型來模擬電路應(yīng)用中的結(jié)溫的電熱仿真

按照慣例，可以使用有源器件數(shù)據(jù)表中的 Zth 曲線來模擬結(jié)殼溫度。環(huán)境溫度升高的情況只能使用熱模型來計算。

圖6 PCB上有散熱器的有源器件

圖7 動態(tài)熱MOSFET模型

動態(tài)熱MOSFET模型允許自加熱改變Rdson, Vth和其他溫度相關(guān)的特性模型。這樣可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)仿真，獲得較高的精度。

下面的示例顯示了用于檢測給定應(yīng)用的IGBT結(jié)溫的仿真。通用 IGBT 模型是使用 SaberRD 的 IGBT 工具構(gòu)建的。使用數(shù)據(jù)表曲線的 IGBT 模型也可以基于所使用的組件來構(gòu)建。

該模型還提供了一個內(nèi)置的 RC Cauer 網(wǎng)絡(luò)來對數(shù)據(jù)表中的 Zth 曲線進(jìn)行建模。僅使用 Zth 曲線的局限性在于它只給出了從結(jié)到外殼的溫升，這里忽略了外殼到環(huán)境的溫升。

圖8 SaberRD的IGBT器件建模工具

下面的示意圖用于使用和不使用 MOR2MAST 轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行電熱仿真，端口根據(jù)用于 FEA 的 PCB 模型連接。

圖9 有和沒有連接到IGBT的熱MOR模型結(jié)果比較

熱MOR仿真結(jié)果顯示IGBT端口的溫升高于沒有PCB熱模型的常規(guī)模型。這里MOR模型不能被解釋為散熱器，但可以是導(dǎo)致最壞情況溫度的熱源。

此示例是根據(jù)在線提供的隨機(jī)矩陣創(chuàng)建的。它僅用于展示如何使用 MOR2Mast 轉(zhuǎn)換模型連接回有源設(shè)備并使用Saber 進(jìn)行電熱仿真。