一.起手式

--物理學(xué)中的振動概念

第一部分：簡諧振動

在物理學(xué)中，有一套專門的理論和方法用于振動系統(tǒng)的研究。其中，最基本的振動模型是簡諧振動。顧名思義，“簡”即“簡單，基本”，在這里，我們考慮帶彈簧的一維機(jī)械系統(tǒng)，“諧振”即“共振”，不同的領(lǐng)域有不同的叫法，“動”表示運(yùn)動狀態(tài)。

簡諧振動的充分必要條件：物體受到的回復(fù)力大小與物體的位移大小成正比，回復(fù)力方向與位移方向相反。

翻譯成大白話就是，你在向前沖，我把你向后拉，你向前沖的越多，我拉你的勁越大。（這樣才能挽留你啊）

簡諧振動的動力學(xué)描述：

其中，F(xiàn)表示回復(fù)力，k為彈性系數(shù)，x為物體的位移。

由牛頓第二定律可以知道，此時的回復(fù)力可以表示為位移的 二階導(dǎo)數(shù) ，即：

或者寫成：

簡諧振動系統(tǒng)是一個二階系統(tǒng)，其動力學(xué)描述是一個 二階常系數(shù)微分方程 。事實上，通過求解二階常系數(shù)微分方程及可以得到其通解。再帶入系統(tǒng)的初始條件（初始位移x(0)和初始速度v(0))，即可得到方程的特解。

為了更直觀地理解簡諧振動，根據(jù)微分方程的特解，簡諧振動有三種表示方法：解析表示，波形表示和旋轉(zhuǎn)矢量表示。

1.解析表示

直接用微分方程的特解表示：

其中，A為物體做簡諧振動的振幅，ω為振動的圓頻率（或稱角頻率），Φ0為初始相位角。

1）物體振動的角頻率，僅由系統(tǒng)的本身的的性質(zhì)決定，在這個場合，由彈性系數(shù)k和物體質(zhì)量m共同決定。

2）至于振幅和初始相位角，則由系統(tǒng)的初始條件（初始位移和初始速度）決定。

3）簡諧振動的周期和頻率，同樣由系統(tǒng)自身的性質(zhì)決定。相比于角頻率，周期和頻率更有意義。他們對應(yīng)了實際物理世界的時間和次數(shù)。

2.波形表示

如下圖，橫軸表示時間，縱軸表示物體的位移，正弦波的周期及為諧振的周期，波形與縱軸的交點(diǎn)即表示初始時刻物體的位置（初始位移），波形上每一點(diǎn)的斜率即為物體的速度。

3.旋轉(zhuǎn)矢量表示

旋轉(zhuǎn)矢量表示法，其原理是勻速圓周運(yùn)動投影到x軸上正好是余弦函數(shù)。之所以要表示成旋轉(zhuǎn)矢量，是為了更方便直觀的表示兩個狀態(tài)之間的相位差。該方法常用在同頻率的簡諧振動的疊加。

以上，我們解釋并量化了最基本的一維簡諧振動，三種表示方法殊途同歸，可視具體場合選用哪種表達(dá)。

第二部分：阻尼振動

在實際的物理系統(tǒng)中，簡諧振動的情況無法存在，因為系統(tǒng)的能量總是有損耗的，那么對于能量或振動幅度隨時間減小的振動，我們稱之為阻尼振動。與簡諧振動不同，阻尼振動的能量是實時被消耗的。

（注意，這部分需要有高等數(shù)學(xué)和微分方程的基礎(chǔ)，覺得復(fù)雜的讀者可以忽略下面這些公式的推導(dǎo)，有興趣的讀者可以參考常微分方程的相關(guān)知識）

考慮與物體運(yùn)動速度成正比，方向相反的粘滯阻力（事實上，阻力不一定與速度成嚴(yán)格的正比關(guān)系，這里我們簡化模型只考慮正比的情況）

此時物體在回復(fù)力與阻力一起作用下的運(yùn)動方程為：

可以看到，物體的運(yùn)動方程仍然是一個二階常系數(shù)微分方程，如果初始條件確定，該方程在數(shù)學(xué)上是有嚴(yán)格的解析解的。不過這里我們更關(guān)心方程的解的物理意義。下面分為三種情況討論阻尼振動的形式：弱阻尼（或稱欠阻尼）、過阻尼、臨界阻尼。由以下五張圖片介紹。

實際上，這樣的阻尼振動形式不僅存在于機(jī)械系統(tǒng)中，在控制理論，電子電路等各個領(lǐng)域中也是常見。本文的主體部分即是將各種諧振形式引入到電路系統(tǒng)中，方便各位工程師和從業(yè)人員更好地理解振動這種自然現(xiàn)象，并應(yīng)用之。

第三部分：受迫振動

前面我們提到的簡諧振動和阻尼振動，在振動過程中，除彈性力和阻尼力外，無其他維持振動的外力，這類振動被稱為 自由振動 。

相對地，振動系統(tǒng)在連續(xù)周期性外力作用下發(fā)生的振動，我們稱之為 受迫振動 。

在受迫振動中，假設(shè)周期性的外力為

此時的振動方程則被寫成

這里，我們僅僅考慮弱阻尼的情況，同樣可以得到方程的解析解

聰明的小伙伴，你們發(fā)現(xiàn)了沒有，得到的微分方程 左邊項的系數(shù)β是和系統(tǒng)自身性質(zhì)相關(guān) ，與外力無關(guān)；而方程右邊項則是外力和激勵頻率ω決定。

下面我們針對解的物理意義做幾點(diǎn)討論（圖中n為β）：

從上圖中可以看出，當(dāng)逐漸增大激勵頻率時，振幅大小會沿著振幅--圓頻率曲線（ 幅頻曲線 ）變動。當(dāng)振幅達(dá)到極大值時，此時的頻率被稱為 共振頻率 （或諧振頻率）。不同的β對應(yīng)不同的幅頻曲線和共振頻率。根據(jù)數(shù)學(xué)上求連續(xù)函數(shù)極值的方法，可以計算得到共振頻率和共振時的振幅的解析值。

通過受迫振動的幅頻曲線我們還可以知道， 振動系統(tǒng)具有選頻特性。在共振頻率點(diǎn)附近的周期激勵產(chǎn)生的受迫振動振幅要明顯大于遠(yuǎn)離共振頻率處的周期激勵所產(chǎn)生的。 假如一個系統(tǒng)的共振頻率為10kHz，外部給的激勵可以分解成800Hz,8kHz,80kHz三個余弦單位激勵，那么最后系統(tǒng)所表現(xiàn)的諧振動（也即是系統(tǒng)的響應(yīng)），一定是8kHz的最明顯。

至此，我們則可以定性地理解上文中提到的Tacoma大橋的坍塌原因：風(fēng)的頻率接近橋梁受迫振動的共振頻率，且此時的阻尼因子β較小，使得橋振動振幅不斷增大，橋體形變產(chǎn)生的應(yīng)力超過了橋的結(jié)構(gòu)能承受的最大應(yīng)力，從而橋體斷裂。

以上就是振動現(xiàn)象的物理學(xué)基礎(chǔ)。針對這一起手式，我們來劃一下重點(diǎn)：

1. 簡諧振動是最基本的振動，它決定了振動的動力學(xué)特征是一個二階微分方程。
2. 有三種方法表示簡諧振動，解析法，波形法，旋轉(zhuǎn)矢量法。
3. 自然界中的振動都是有阻尼的，阻尼振動的模型同樣也可以簡化成二階微分方程；
4. 阻尼振動，可以根據(jù)阻尼的大小劃分成弱阻尼，過阻尼，臨界阻尼三類形式，不同形式的阻尼振動波形不一樣。
5. 在周期性外力的激勵下，阻尼振動可以升級成受迫振動。受迫振動是阻尼振動和諧振動的疊加。
6. 受迫振動容易產(chǎn)生共振（諧振），共振條件即為激勵頻率等于系統(tǒng)共振頻率。共振頻率與系統(tǒng)自身的性質(zhì)相關(guān)，與激勵和初始條件無關(guān)。
7. 振動系統(tǒng)具有選頻特性。

二.雙掌式

--時域與頻域兩個維度

前文中我們說到，要將振動的概念從一般的物理系統(tǒng)推廣到電路系統(tǒng)中。在此之前，我們還需要處理 三個問題 ，第一個問題是， 采用什么樣的方法或者算法解析受迫振動現(xiàn)象 。第二個問題，是如何 建立電路系統(tǒng)與起手式中振動系統(tǒng)的聯(lián)系 。最后一個問題，則是如何描述電路系統(tǒng)，即通過何種模型，讓電路的諧振運(yùn)行狀態(tài)更容易被量化。

1.對于第一個問題的答案，從起手式的討論中我們可以初見端倪--既然受迫振動是和激勵頻率相關(guān)，那我們是否可以站得更高，將頻率作為一個連續(xù)的自變量，單獨(dú)討論任何形狀的周期性激勵對系統(tǒng)的作用？

高等數(shù)學(xué)告訴我們，任何一個周期性連續(xù)函數(shù)都可以寫成正余弦函數(shù)的無窮級數(shù)，即 傅里葉分解 。

這樣，我們就可以將外力激勵分解成無窮多個余弦激勵，這無窮多個余弦激勵對應(yīng)不同的幅值（能量）和頻率，并且其頻率都是原始周期性激勵頻率的正整數(shù)倍。下圖是以方波為例的傅里葉分解。

相應(yīng)地，我們只需要單獨(dú)求出系統(tǒng)對這無窮多個激勵的響應(yīng)，再將這些響應(yīng)疊加，即可得到系統(tǒng)的總響應(yīng)。（在這里我們再請大家思考，系統(tǒng)的總響應(yīng)能由各個不同頻率響應(yīng)疊加的條件是什么？）

值得注意的是：我們在上文中提到了振動系統(tǒng)是具有選頻特性的。 那么根據(jù)傅里葉分解得到的一系列余弦激勵分量，并不是被均勻響應(yīng)的。只有頻率接近共振頻率的那部分激勵，仿佛是被系統(tǒng)選中了。這部分激勵，才是對系統(tǒng)起決定性影響的外部激勵。例如上圖中基波頻率為ν0的方波激勵被分解成不同頻率的余弦波激勵，如果系統(tǒng)的共振頻率為3ν0,那么系統(tǒng)就主要響應(yīng)這部分頻率為3ν0的余弦波激勵，其他激勵頻率的分量被響應(yīng)地相對更少。

至此，我們有了周期性激勵對系統(tǒng)影響的描述方法，那么更進(jìn)一步， 如果系統(tǒng)的激勵是非周期性的呢？ 要回答這個問題，需要有信號與系統(tǒng)的基本理論基礎(chǔ)--拉普拉斯變換。感興趣的讀者可以進(jìn)一步去深入理解這部分內(nèi)容，在這里我們不做過多的闡述，只討論一種最特殊的情況，階躍激勵。

在振動系統(tǒng)中，我們經(jīng)常會遇到階躍輸入的情況。例如，在機(jī)械振動系統(tǒng)中，突然加上一個100N的外力，再比如在電路系統(tǒng)中，調(diào)節(jié)直流輸入電壓，從30V突然調(diào)至60V，這里的“突然”，即是對應(yīng)了激勵源的一個上升沿，都可以認(rèn)為是階躍激勵。

那么，如何量化階躍激勵呢？事實上，在信號與系統(tǒng)中，有對階躍函數(shù)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。由于階躍函數(shù)并非周期性連續(xù)函數(shù)，所以無法對其進(jìn)行傅里葉分解。但是，如果我們只關(guān)心階躍函數(shù)的上升沿，則可以認(rèn)為階躍函數(shù)是一個周期無窮大的方波（在工程領(lǐng)域，無窮大并不意味著數(shù)學(xué)上的高階無窮大，只要這個周期遠(yuǎn)大于被研究對象的周期，我們可以認(rèn)為這樣的近似是合理的）。于是我們可以沿用方波的方式，繼續(xù)做傅里葉分解。

例如上圖中，F(xiàn)(x)為原始的單位階躍激勵（幅值為1），我們用一個周期為20，幅值為1，占空比為0.5的方波去模擬這個階躍，對這個方波做傅里葉分解，圖中F1(x),F2(x),F3(x)分別為保留了傅里葉級數(shù)前10項，前20項，前30項的逼近函數(shù)。

可以看到，保留的項數(shù)越多，逼近函數(shù)的上升沿斜率越大，越能模擬方波的上升沿。這意味著，階躍激勵的上升沿處包含了各個頻率成分的激勵分量。如果把階躍激勵施加于振動系統(tǒng)，由于振動系統(tǒng)的選頻特性，振動系統(tǒng)必然會對某些頻率的激勵分量產(chǎn)生更明顯的響應(yīng)，這些頻率即在振動系統(tǒng)的共振頻率附近處。

以上，我們針對物理系統(tǒng)中的受迫振動系統(tǒng)，討論了如何分析系統(tǒng)在不同激勵下的響應(yīng)。我們知道，在電工學(xué)中，有電壓電流等物理量描述電路中各個元件運(yùn)行的狀態(tài)，并且實際電路中，這些物理量通常都是隨時間變化的。接下來我們將把前文中的振動系統(tǒng)的狀態(tài)量與電路中狀態(tài)量進(jìn)行對比，得到一致的振動形式。

2.我們對比二階電路系統(tǒng)和前文中的二階機(jī)械振動系統(tǒng)

上圖中，左邊為二階電路系統(tǒng)，在t=0時刻，開關(guān)S閉合，輸入電壓激勵vin(t)突然施加到電阻、電感及電容組成的串聯(lián)電路兩端。接下來，電路的運(yùn)行滿足基爾霍夫電壓電流定律，歐姆定律，同時也要滿足電感與電容充放電關(guān)系。

若把電容兩端的電壓vcr(t)當(dāng)做響應(yīng)，則整理上圖中的方程可以得到

這個形式是不是似曾相識？

沒錯， 電容電壓的運(yùn)動方程仍然是二階微分方程，與受迫機(jī)械振動具有相同的形式 。我們把上圖中的方程化為首一形式：

再對比受迫機(jī)械振動的方程：

兩個方程形式上是非常統(tǒng)一的，更進(jìn)一步，假設(shè)輸入電源電壓激勵函數(shù)vin(t)為余弦函數(shù)，即vin(t)=Vin*cos(ωt)，我們可以列出兩種系統(tǒng)中各個關(guān)鍵物理量的對比表：

由于二階電路系統(tǒng)與機(jī)械振動系統(tǒng)的一致性，我們完全可以把起手式中的分析方法照搬到電路系統(tǒng)里面。

下面我們把階躍輸入電壓作為電路激勵，查看二階電路系統(tǒng)對階躍輸入的響應(yīng)。我們使用如下仿真電路，用幅值為200V，周期為2ms，占空比為0.5的方波脈沖電源去模擬階躍激勵。

上圖中，橙色的波形為階躍激勵輸入，藍(lán)色的波形為電容的電壓。可知在圖中的這段時間內(nèi)，系統(tǒng)在做阻尼振動。那么問題來了，阻尼振動的頻率是多少呢？

我們前文中提到， 振動系統(tǒng)具有選頻特性，而階躍輸入的上升沿處含有各個頻率的激勵分量。哪個頻率的分量被選中了呢？沒錯，就是共振頻率 。

圖中給出的頻率35.7kHz，也可以通過計算得到。考慮到電路的阻尼電阻0.4歐姆（0.3歐姆電阻加電感寄生0.1歐姆），電感量80uH,電容量240nF,計算得到阻尼因子β為2.5e3,圓頻率ω0為2.28e5rad/s,共振頻率ωr=2.27e5,轉(zhuǎn)化成實際頻率fr=36.3kHz，與波形中的測量的頻率非常接近了。

再讓我們回顧上文提到的解決步驟：第一步先將激勵進(jìn)行傅里葉分解，得到余弦函數(shù)無窮級數(shù)，第二步根據(jù)每個單獨(dú)的余弦函數(shù)的幅值和頻率，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻曲線或者微分方程特解得到對應(yīng)的響應(yīng)。第三步將無窮多個（在誤差允許的范圍內(nèi)可以只計算有限個）響應(yīng)矢量疊加，得到總響應(yīng)。

但這樣的方法存在一個嚴(yán)重的問題：

這三步每一步的原理都非常清晰，但如果振動系統(tǒng)稍微復(fù)雜，激勵形式更加多樣化，在實際運(yùn)算中就會涉及到大量的微分方程，傅里葉分解及矢量合成，計算量較大，在工程上的可行性不高。所以我們接下來會引入復(fù)頻域的概念，也同時來回答第三個問題。

3.前文對振動模型的分析都是在時域，并且指出了時域分析運(yùn)算的復(fù)雜性，可見時域電路模型不適合應(yīng)用在階數(shù)較高（二階及更高階）的振動系統(tǒng)。在這里我們還是采用之前提到的拉普拉斯變換的思想（哈哈，逃不掉的），將電路的微分運(yùn)動方程，用復(fù)頻域的代數(shù)方程替代，更便捷地描述電路中電壓電流關(guān)系，最后再利用拉普拉斯反變換，得到電壓電流響應(yīng)的時域方程。

關(guān)于拉普拉斯變換在電路應(yīng)用中的合理性，在數(shù)學(xué)上是能夠嚴(yán)格證明的，詳情可參考 信號與系統(tǒng) 。這里我們同樣只考慮頻域的電路諧振模型，不對拉氏變換做太多的解釋。

根據(jù)拉氏變換，時域電路模型與頻域電路模型的等價如下：

A）對于電阻模型

B）對于電感模型

C）對于電容模型

其中iL(0-)和uc(0-)分別是開關(guān)閉合前的電感電流和電容電壓。

這樣，我們的二階電路系統(tǒng)的頻域運(yùn)算模型就已經(jīng)建立，如下圖

假設(shè)初始狀態(tài)電感和電容兩個元件上都無儲能，即iL(0-)和uc(0-)均為零，則可以寫出頻域中電容電壓Vcr(s)和輸入電壓Vin(s)的關(guān)系式:

得到這樣的傳遞關(guān)系后，電路的響應(yīng)求取就明確了。步驟如下：

第一步：將時域上的激勵輸入函數(shù)vin(t)做拉氏變換，得到頻域的Vin(s)，

第二步：根據(jù)上述關(guān)系式得到電容電壓的頻域表達(dá)式Vcr(s)，

第三步：對Vcr(s)做拉氏反變換，得到時域的響應(yīng)函數(shù)vcr(t)。

下面我們同樣以200V的階躍輸入作為激勵，求取電容電壓函數(shù)。 單位階躍函數(shù)ε(t)的拉普拉斯變換為1/s ,帶入到上圖中的表達(dá)式，并考慮弱阻尼的情況：

上圖中表達(dá)式即為單位階躍激勵下的電容電壓的頻域表達(dá)式， 為了方便做拉普拉斯反變換，將其整理成等號右邊的形式（中括號內(nèi)第一項對應(yīng)時域的指數(shù)函數(shù)，第二項對應(yīng)時域上衰減的余弦函數(shù)，第三項對應(yīng)時域上衰減得正弦函數(shù)） ，使用待定系數(shù)法可以求得A，B，C，最后即可得到時域電容電壓函數(shù)vcr(t)及波形。

把上文的電路參數(shù)帶入到電容時域電壓表達(dá)式，可以得到波形如下：

由圖可見，該波形與上文中時域分析仿真得到的波形一致，也證明了頻域運(yùn)算模型的有效性。

以上，我們分別從時域和頻域分析了二階振動電路的性質(zhì)，闡述了時域與頻域之間的聯(lián)系，時域模型和頻域模型本質(zhì)上是等價的，是看待同一事物的不同角度。但當(dāng)電路系統(tǒng)中電感和電容數(shù)量較多，電路的階數(shù)較高時，顯然頻域模型更加實用。

雙掌式要義總結(jié)：

1. 二階電路系統(tǒng)與二階機(jī)械振動系統(tǒng)形式統(tǒng)一，所有用于研究機(jī)械系統(tǒng)振動的方法都可以搬用到二階電路系統(tǒng)。
2. 時域上求解二階電路系統(tǒng)的方法：先列寫系統(tǒng)微分方程，再對輸入激勵做傅里葉分解，把每個頻率的激勵分量施加到微分方程的激勵函數(shù)，得到相應(yīng)的特解。將各個特解矢量疊加。
3. 頻域上求解二階及高階電路系統(tǒng)的方法：先將電路時域模型轉(zhuǎn)化成頻域模型，得到頻域傳遞函數(shù)，再將激勵函數(shù)做拉氏變換后與傳遞函數(shù)相乘，得到響應(yīng)的頻域表達(dá)式，最后拉氏反變換得到時域響應(yīng)。
4. 頻域方法比時域方法更適合二階以上的電路系統(tǒng)。

三.出掌風(fēng)

--電力電子電路中的諧振應(yīng)用例

前兩部分我們分別探討了機(jī)械振動系統(tǒng)和電路系統(tǒng)中諧振現(xiàn)象的物理基礎(chǔ)及其分析與求解方法，接下來我們便要將上文中的理論用于實際的電路中。（本部分供電力電子相關(guān)專業(yè)人員參考）

在電力電子電路中，諧振現(xiàn)象廣泛存在。有的電路需要避免諧振，例如反激電路需要減小漏感與開關(guān)管寄生電容的諧振以減小開關(guān)管電壓應(yīng)力；有的電路則是利用諧振實現(xiàn)軟開關(guān)，如LLC諧振電路。 我們在本篇中重點(diǎn)介紹利用諧振實現(xiàn)軟開關(guān)的一個例子--單管并聯(lián)諧振電路 。

這個電路被應(yīng)用到我們常用的家居生活電器電磁爐中。

我們知道，高頻的交流磁場在鐵磁材料中可以產(chǎn)生渦流，使得鐵磁材料被加熱，電磁爐正是利用了這個原理。下圖為電磁爐中單管諧振電路的拓?fù)鋱D

圖中，Req和Leq分別為放上鍋體后等效到電路中的電阻和電感，Q1和D1分別為IGBT開關(guān)管和續(xù)流二極管，Vin為交流輸入電壓整流后的饅頭波電壓，這里我們只考慮穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時饅頭波電壓峰值處的情況。

穩(wěn)態(tài)時的一個開關(guān)周期內(nèi)，這個電路存在四個關(guān)鍵模態(tài)，如下圖

這里，IGBT關(guān)斷后的模態(tài)2和模態(tài)3，是電感與電容的諧振過程，是一個典型的阻尼振動。我們有兩種方法來描述這個諧振過程，時域和頻域。這里我們不做過多的推導(dǎo)及計算，我們直接給出模態(tài)2和模態(tài)3兩個過程中IGBT的集射電壓Vce的表達(dá)式：

從表達(dá)式中可以看到Vce電壓不僅和輸入電壓相關(guān)，還和關(guān)斷前的IGBT電流峰值Ipk相關(guān)，這也對應(yīng)了頻域模型中的電感初始儲能。

為了能實現(xiàn)ZVS，Vce電壓必須到零，續(xù)流二極管才會導(dǎo)通 。如果Vce電壓諧振回不到零，則不具備ZVS條件，此時如果開通IGBT，諧振電容電壓瞬間被充電至Vin，從Vce波形上此處仿佛有個臺階打破了正常的諧振，產(chǎn)生較大的脈沖電流，被損耗到IGBT的溝道中，使得IGBT結(jié)溫被抬高，可能超出安全工作區(qū)。

為了利用諧振網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)ZVS，IGBT的電壓應(yīng)力被犧牲了 ，電路中的Vce電壓往往能達(dá)到1000V以上，所以選用的器件一般是1200V和1350V耐壓的IGBT。而器件的電壓應(yīng)力，則可以通過我們理論推導(dǎo)出來的公式去預(yù)測。

以上，我們通過電磁爐中諧振拓?fù)涞膶嵗颜駝永碚搼?yīng)用到了單管并聯(lián)諧振電路中。事實上，諧振在電力電子變換器中無處不在，無論是PWM變換器還是諧振變換器。今天我們只是引出了這個簡單的例子，重點(diǎn)關(guān)注了時域波形表現(xiàn)，下一篇我們將結(jié)合更多的電力電子電路分析諧振現(xiàn)象及軟開關(guān)。