Δ技術(shù)可以用來(lái)實(shí)現(xiàn) ΣΔADC 和 ΣΔDAC ，是高精度、低噪聲 ADC/DAC 的主流技術(shù)。要理解 ΣΔADC 和 ΣΔDAC ，需要按照以下順序來(lái)學(xué)習(xí)：

離散ΣΔ調(diào)制器 → ΣΔDAC

離散ΣΔ調(diào)制器 → 模擬ΣΔ調(diào)制器 → ΣΔADC

本文詳細(xì)講解離散ΣΔ調(diào)制器。閱讀后，你就能分析、設(shè)計(jì) ΣΔDAC 。

本文會(huì)先為讀者建立足夠的知識(shí)鋪墊；然后從直觀理解和建模分析的角度講解離散ΣΔ調(diào)制器的原理，包括一階ΣΔ調(diào)制器和高階ΣΔ調(diào)制器；最后用 Python 編寫和評(píng)估一階、二階、三階離散ΣΔ調(diào)制器的性能。

本文涉及離散信號(hào)處理的知識(shí)，需要讀者熟悉z變換的一些概念（除非只關(guān)注結(jié)論）。

如果要進(jìn)一步理解 ΣΔADC ，還需要閱讀 (下) 篇，理解模擬ΣΔ調(diào)制器：

ΣΔ(Sigma-Delta)技術(shù)詳解(下)：模擬ΣΔ調(diào)制器73 贊同 · 12 評(píng)論文章

目錄

Ⅰ 基礎(chǔ)元件介紹

Ⅱ ADC的信噪比

Ⅲ ADC過(guò)采樣技術(shù)

Ⅳ 二值調(diào)制器

Ⅴ PWM調(diào)制器

Ⅵ 離散Δ調(diào)制器

Ⅶ 離散一階ΣΔ調(diào)制器

Ⅷ 離散高階ΣΔ調(diào)制器

Ⅸ 離散二階、三階ΣΔ調(diào)制器

Ⅹ 各種離散二值調(diào)制器的實(shí)現(xiàn)和評(píng)估

Ⅺ 總結(jié)

附：一階、二階、三階ΣΔ調(diào)制器的Python實(shí)現(xiàn)

Ⅰ 基礎(chǔ)元件介紹

本節(jié)介紹幾個(gè)離散信號(hào)處理中常見的元件，如表1。它們可以用計(jì)算機(jī)算法實(shí)現(xiàn)，也可以用數(shù)字電路（比如FPGA）來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，比例器、加法器、減法器可以用組合邏輯來(lái)實(shí)現(xiàn)，延遲器可以用D觸發(fā)器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

表1中的幾種線性元件不必多說(shuō)。這里我們需要介紹一下這里唯一的非線性元件——量化器。我們知道，對(duì)連續(xù)信號(hào) x(t) 以采樣周期 Ts=1/fs 采樣就能得到離散信號(hào) x[n] ：

x[1]=x(Ts),x[2]=x(2Ts),...,x[n]=x(nTs)

把連續(xù)信號(hào)采樣為離散信號(hào)……把連續(xù)信號(hào)采樣為離散信號(hào)(1)

而再對(duì)離散信號(hào)的幅度進(jìn)行量化就能得到數(shù)字信號(hào)。量化器能把取任意實(shí)數(shù)的輸入信號(hào) x[n] 轉(zhuǎn)化為取有限的 q 個(gè)實(shí)數(shù)的輸出信號(hào) y[n] 。

對(duì)于 q=2,3,4,16 的量化器，我們繪制它的輸入 x[n] 和輸出 y[n] 之間函數(shù)圖如圖1?？梢钥闯鰍是函數(shù)圖中的“臺(tái)階數(shù)”。

圖1：量化器的函數(shù)圖。其中x軸是量化器的輸入，y軸是量化器的輸出。

量化器能把取值無(wú)限的離散信號(hào)轉(zhuǎn)化為取值有限的數(shù)字信號(hào)，因此也稱為理想ADC。比如，理想 10-bit ADC 就是 q=210=1024 的量化器。

之所以要理解量化器，是因?yàn)榈湫偷碾x散ΣΔ調(diào)制器里面會(huì)用到一個(gè)二值量化器，它是 q=2 的量化器，它對(duì)于正數(shù)輸出+1，對(duì)于負(fù)數(shù)輸出-1，可以用比較器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

量化器是非線性元件。眾所周知，非線性元件比較難以進(jìn)行分析。所幸我們很多時(shí)候可以把量化器近似為線性元件：

量化器線性近似y[n]=x[n]+e[n]……量化器線性近似(2)

其中量化噪聲:

e[n]=y[n]?x[n]

這看似是個(gè)沒(méi)什么用的循環(huán)定義，不過(guò)有時(shí)候 e[n] 能近似為與 x[n] 無(wú)關(guān)的白噪聲，此時(shí)用線性近似 (2) 就能簡(jiǎn)化分析。

另外，即使當(dāng) x[n] 超出范圍 [?1.0,+1.0] 時(shí)， y[n] 也會(huì)限制在 [?1.0,+1.0] 內(nèi)，體現(xiàn)出限位器的特性。此時(shí)我們說(shuō)量化器超量程了，此時(shí)量化噪聲 e[n] 會(huì)很大，在設(shè)計(jì)時(shí)要特別注意避免量化器的超量程。

Ⅱ ADC的信噪比

信噪比 (SNR) 是指系統(tǒng)輸入的信號(hào)功率與系統(tǒng)引入的噪聲功率之比，是衡量系統(tǒng)優(yōu)劣的重要參數(shù)，越大越好。

下面我們來(lái)分析理想ADC（量化器）的 SNR 。它的噪聲全部來(lái)自量化噪聲 e[n] 。由圖1可知，相鄰兩個(gè)量化值之間相差：

δ=2/(q?1)

理想的相鄰兩個(gè)量化值之差的計(jì)算公式……理想ADC的相鄰兩個(gè)量化值之差δ的計(jì)算公式

在平均情況下，信號(hào)均勻分布在相鄰兩個(gè)量化值之間，根據(jù)均勻分布的方差，可以得出噪聲 e[n] 的功率為：

e2ˉ=δ212=13(q?1)2

理想的平均噪聲功率……理想ADC的平均噪聲功率(4)

我們向理想ADC輸入一個(gè)滿量程的正弦信號(hào)：

x[n]=sin(ωt+?)

該正弦信號(hào)的幅度為 [?1.0,+1.0] ，我們可以算出它的平均功率為：

Psin=limN→∞∑n=0Nx[n]2N=0.5

當(dāng)該正弦信號(hào) x[n] 通過(guò)理想 ADC 時(shí)，會(huì)疊加量化噪聲 (4) ，得到 SNR ：

SNRsin=Psine2ˉ=0.513(q?1)2=32(q?1)2

理想信噪比……理想ADC信噪比

在工程中，我們習(xí)慣用分貝 (dB) 來(lái)表示 SNR ：

SNRsin=10log10?(32(q?1)2)(dB)

=10log10?(32)+10log10?((q?1)2)(dB)

≈1.76+20log10?(q?1)(dB)

理想信噪比……理想ADC信噪比(5)

已知 N-bit 理想 ADC 的 q=2N ，代入公式(5)可以得到 N-bit 理想 ADC 的信噪比：

理想信噪比SNRsin≈1.76+6.02N(dB)……理想ADC信噪比(6)

實(shí)際ADC的噪聲來(lái)源不止是量化噪聲，還有電路引起的熱噪聲等，因此實(shí)際 N-bit 的 ADC 的 SNR 一定小于(6)。

為了評(píng)估實(shí)際ADC的優(yōu)劣，我們往往在實(shí)驗(yàn)中用滿量程正弦波輸入實(shí)際ADC，測(cè)出SNR，然后代入(6)反向計(jì)算出N，稱為ADC的有效位(ENOB)。ENOB代表了該ADC在測(cè)量滿量程正弦波時(shí)，SNR相當(dāng)于多少bit的理想ADC。

注意：ENOB并不能代表ADC輸入直流時(shí)的分辨率，只能代表交流性能，而ADC的直流分辨率位數(shù)可能大于或小于它的ENOB。這部分內(nèi)容不做贅述。

用公式(6)計(jì)算理想ADC的SNR前，一定要檢查兩個(gè)條件是否滿足：

條件①：ADC未超量程。否則 y[n] 和 x[n] 之差就會(huì)很大，量化噪聲 e[n] 就不能視作均勻分布于相鄰量化值之間，則公式(4)不成立，無(wú)法推導(dǎo)出公式(6) 。

條件②：輸入信號(hào) x[n] 的幅度要遠(yuǎn)大于相鄰兩個(gè)量化值之差 δ 。否則量化噪聲 e[n] 同樣不能視作均勻分布于相鄰量化值之間，公式(4)不成立，無(wú)法推導(dǎo)出公式(6) 。

注意：對(duì)于位數(shù) N 很小的ADC， q 會(huì)很小，δ 會(huì)很大，條件②很容易被違反。其中二值量化器（ N=1,q=2,δ=2 ）是一個(gè)極端，完全無(wú)法套用公式(6)來(lái)計(jì)算SNR，其SNR會(huì)比公式(6)算出來(lái)的 7.78 dB 小很多。

Ⅲ ADC過(guò)采樣技術(shù)

設(shè)我們有一個(gè)采樣率為 fs 的ADC，然后輸入給該 ADC 一個(gè)帶寬為 fB 的模擬信號(hào)。眾所周知，ADC 的理論帶寬是奈奎斯特帶寬 fs/2 ，也即我們要滿足 fs/2>fB ，才能保證高頻部分不會(huì)混疊到低頻。

除了要保證 fs/2>fB 外，我們還可以使用 ADC過(guò)采樣技術(shù)來(lái)提高SNR。方法是：

選取采樣率更快的 ADC （更大的 fs ），讓 fs/2 遠(yuǎn)大于fB ；

然后在 ADC 后加一個(gè)帶寬為 fB 數(shù)字低通濾波器。

考慮到 ADC 的量化噪聲和熱噪聲往往是白噪聲，均勻分布于奈奎斯特帶寬 [0,fs/2) 內(nèi)。加了數(shù)字低通濾波器后， f∈[0,fB) 內(nèi)的信號(hào)和噪聲被保留， f∈[fB,fs/2) 內(nèi)的噪聲被濾掉。因此噪聲會(huì)降低到原來(lái)的 fs/(2fB) ，SNR 會(huì)提升 fs/(2fB) 倍：

過(guò)采樣原始SNR過(guò)采樣=SNR原始×fs2fB

在分貝標(biāo)度上我們可以得到：

過(guò)采樣原始SNR過(guò)采樣=10log10?(SNR原始×fs2fB)(dB)

原始=SNR原始+10log10?fs2fB(dB)

過(guò)采樣技術(shù)帶來(lái)的信噪比提升……ADC過(guò)采樣技術(shù)帶來(lái)的信噪比提升(7)

這就是ADC的過(guò)采樣技術(shù)。其中我們稱 fs/(2fB) 為過(guò)采樣比。

公式(7)告訴我們，采樣率 fs 每提升10倍，SNR 就提升 10dB；采樣率 fs 每提升4倍，SNR 就提升 6.02dB，也即 ENOB 提升 1bit。

注意公式(7)成立的兩個(gè)條件：

條件①：使用的低通濾波器足夠理想，也即通帶和阻帶間增益足夠陡，阻帶的增益足夠小；

條件②：ADC 的噪聲近似白噪聲。

如果ADC的噪聲偏紅（更多地分布于低頻），由于低通濾波器無(wú)法濾掉這些低頻噪聲，則過(guò)采樣技術(shù)就收效甚微，無(wú)法獲得公式(7)那么多的SNR提升。

反之，若噪聲偏藍(lán)（更多地分布于高頻），過(guò)采樣技術(shù)就能獲得比公式(7)還好的SNR提升，本文要介紹的ΣΔADC 就用了該思路。

作為引子，我們看看對(duì)理想 ADC 使用過(guò)采樣技術(shù)達(dá)到的效果如何。我們把滿幅正弦波 x[n]=sin?(2πn/2048) 輸入不同 q 值的量化器，得到輸出 y[n] 如圖2（上）、量化噪聲 e[n] 如圖2（中）、y[n] 的 262144 個(gè)樣點(diǎn)的頻譜如圖2（下），并計(jì)算 SNR 展示在表2 第一行。

然后我們用過(guò)采樣技術(shù)，在頻譜上截取帶寬 f表2 第二行（相當(dāng)于使用了理想低通濾波器）。根據(jù)公式(7)知，這樣可讓 SNR 提升 18dB，然而從表2 知，當(dāng) q 很小時(shí)，過(guò)采樣技術(shù)帶來(lái)的 SNR 提升遠(yuǎn)不及 18dB。這是因?yàn)閺?strong>圖2（中）可知，當(dāng)量化不夠“細(xì)膩”，也就是 δ 不顯著小于 x[n] 的幅度時(shí)，量化噪聲 e[n] 與 x[n] 呈強(qiáng)相關(guān)，不能被近似為白噪聲，而是偏紅，導(dǎo)致過(guò)采樣技術(shù)收效甚微。

圖2：滿幅正弦波輸入理想ADC得到的時(shí)域輸出（上）；量化噪聲（中）；輸出的頻譜（下）

Ⅳ 二值調(diào)制器

二值調(diào)制器并不是一個(gè)元件，而是泛指一類能把輸入信號(hào)轉(zhuǎn)化為二值信號(hào)的元件。在本文中，二值信號(hào)是指取值僅為 -1.0 或 +1.0 的離散信號(hào)，也可以視為1bit數(shù)字信號(hào)。

衡量二值調(diào)制器的性能的方法是看它輸出的二值信號(hào)是否能在頻譜上盡量多的保留其輸入信號(hào)的信息。具體來(lái)說(shuō)，我們對(duì)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)分別做離散傅里葉變換（FFT），看它們的頻譜在一定帶寬內(nèi)是否相似，越相似越好。

上一節(jié)介紹的二值量化器就是一種二值調(diào)制器，但它的性能并不好，因?yàn)槠湟氲牧炕肼?e[n] 主要分布于低頻（偏紅），和信號(hào)混在同一帶寬內(nèi)，用低通濾波器并不能把大多數(shù) e[n] 濾掉。

后文我們會(huì)看到幾種性能更好的二值調(diào)制器（PWM調(diào)制器、Δ調(diào)制器、ΣΔ調(diào)制器）。它們引入的噪聲 e[n] 呈現(xiàn)白色或藍(lán)色，用低通濾波器濾掉大多數(shù)高頻噪聲后，可以獲得較高的 SNR 。

二值調(diào)制器分為兩種：

離散二值調(diào)制器：輸入離散信號(hào)，輸出二值離散信號(hào) (1bit數(shù)字信號(hào)) ，可用數(shù)字電路或計(jì)算機(jī)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文后文要講的PWM調(diào)制器、離散Δ調(diào)制器、離散ΣΔ調(diào)制器都屬于離散二值調(diào)制器。

模擬二值調(diào)制器：輸入連續(xù)信號(hào)，輸出二值離散信號(hào) (1bit數(shù)字信號(hào)) ，可用模數(shù)混合電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。(下)篇文章中要講的模擬ΣΔ調(diào)制器就屬于模擬二值調(diào)制器。

如圖3，模擬二值調(diào)制器可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)ADC，離散二值化調(diào)制器可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)DAC。后級(jí)都加了低通濾波器用來(lái)濾除二值信號(hào)中我們不關(guān)心的高頻噪聲，來(lái)盡量還原原始信號(hào)。

圖3：用二值調(diào)制器實(shí)現(xiàn)ADC和DAC

顯然，二值調(diào)制器的性能是這種 ADC 和 DAC 關(guān)鍵，因?yàn)槿绻嫡{(diào)制器性能差，產(chǎn)生的二值信號(hào)在我們關(guān)心的低頻帶寬內(nèi)混雜了過(guò)多的噪聲，那么即使低通濾波器再理想，也無(wú)法濾掉這種噪聲。

這也是為什么后文要花大篇幅來(lái)分析 離散ΣΔ調(diào)制器 ，掌握了離散ΣΔ調(diào)制器的分析方法，我們才能設(shè)計(jì)出 SNR 足夠高的 ΣΔDAC 。

相反，圖3中的低通濾波器設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單，只要滿足通帶和阻帶間增益足夠陡，阻帶的增益足夠小，它就能從二值信號(hào)中盡量濾掉我們不想要的高頻噪聲，保留低頻信號(hào)。濾波器的設(shè)計(jì)是《信號(hào)與系統(tǒng)》和《數(shù)字信號(hào)處理》中的基礎(chǔ)知識(shí)，而且 MatLab、Python 中有成熟的濾波器設(shè)計(jì)工具，因此本文不做贅述。

Ⅴ PWM調(diào)制器

PWM調(diào)制器是一種最直觀的二值調(diào)制器。PWM調(diào)制器用直觀的“占空比”法來(lái)產(chǎn)生二值信號(hào) y[n] 。如圖4，它把相鄰 m 個(gè)樣點(diǎn)視作一個(gè)時(shí)間片，在時(shí)間片內(nèi)放置 r 個(gè) +1 和 (m?r) 個(gè) -1 ，因此該時(shí)間片內(nèi)的均值是：

yˉ=1×r+(?1)×(m?r)m=2rm?1

其中 r 是占空比， 1m 是PWM頻率。它們都是算法或數(shù)字電路中可以改變的參數(shù)。通常我們保持 m 固定，通過(guò)改變 r 來(lái)讓 yˉ=x ，也即讓輸出信號(hào)在時(shí)間片內(nèi)的均值等于輸入信號(hào)：

yˉ=x

?2rm?1=x

?rm=x+12

圖4：PWM調(diào)制

Ⅵ 離散Δ調(diào)制器

Δ調(diào)制器是另一種二值調(diào)制器，是ΣΔ調(diào)制器的前身。圖6是離散Δ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖，其中Δ調(diào)制器只是左半部分，它輸出二值信號(hào)y[n]。右半部分是一個(gè)補(bǔ)償器，它輸出的w[n]不是二值信號(hào)。該補(bǔ)償器的參數(shù)需要根據(jù)積分器的參數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中積分器和補(bǔ)償器是不同的實(shí)現(xiàn)，比如模擬Δ調(diào)制器中的積分器是模擬積分器，而補(bǔ)償器是數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)。

圖6：離散Δ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖

圖7：Δ調(diào)制器在輸入正弦波時(shí)的現(xiàn)象

在后文中，約定小寫字母 (x[n], v[n], y[n]) 代表時(shí)域離散信號(hào)，大寫字母 (X, V, Y) 代表對(duì)應(yīng)的 z 變換后的信號(hào)。

我們先進(jìn)行直觀理解：設(shè) x[n] 是正弦信號(hào)，得到各個(gè)信號(hào)的波形圖如圖7?？梢钥吹?v[n] 在試圖跟隨 x[n]，這是因?yàn)楫?dāng) x[n]>v[n] 時(shí)，二值量化器會(huì)輸出 y[n]=+1，而因?yàn)?v[n+1]=αv[n]+ky[n] ，只要 α 不是太小，就能讓 v[n+1]>v[n] ，也就是讓 v[n]增大。同理當(dāng) x[n]

有了直觀理解后，進(jìn)行理論分析，首先我們知道時(shí)域關(guān)系：

v[n+1]=αv[n]+ky[n]……(8)

考慮到 y[n]只取+1 和-1，所以 v[n]能達(dá)到的最高的變化率與 v[n] 的取值有關(guān)，為：

|Δv|max=min((α?1)v,(1?α)v)+k……(9)

而滿幅正弦波 x[n]=sin?(2πnf/fs) 的變化率隨著 x[n] 的取值而變化，關(guān)系為：

|Δx|max=2πffscos?(arcsin?x)……(10)

為了讓 v[n] 能跟隨 x[n]，必須保證 |Δv|max>|Δx|max ，即：

min((α?1)x,(1?α)x)+k>2πffscos?(arcsin?x)……(11)

解(11)得Δ調(diào)制器必須滿足約束：

k2?(1?α)2>(2πffs)2

調(diào)制器能成功跟隨的條件……Δ調(diào)制器能成功跟隨的條件(12)

下面我們推導(dǎo)Δ調(diào)制器在 z 變換域的傳遞函數(shù)，注意我們把二值量化器進(jìn)行了線性近似，E 是它的量化噪聲。 另外，以下公式中的大寫字母都是 z 變換域的復(fù)變函數(shù)，比如 Y 應(yīng)寫做 Y(z)，這里省略了(z)。

Y=X+E?kz?11?αz?1Y

?Y=1?αz?11?(α?k)z?1(X+E)

調(diào)制器的傳遞函數(shù)……Δ調(diào)制器的傳遞函數(shù)(14)

(14)的傳遞函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn) z=α?k ，要讓系統(tǒng)穩(wěn)定，令極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

調(diào)制器穩(wěn)定的條件?1<α?k<1???……Δ調(diào)制器穩(wěn)定的條件(15)

從前文的直觀敘述我們知道，二值信號(hào) y[n] 包含 v[n] 的增加/減小信息，當(dāng) x[n] 是直流時(shí)，v[n] 在 x[n]上下跳躍，此時(shí) y[n]在+1, -1 間交替，并不包含直流信息。這一點(diǎn)我們也可以從傳遞函數(shù)(14)來(lái)理解，在直流（z → 1）時(shí)，由于α一般接近于 1，導(dǎo)致 Y 非常小，說(shuō)明直接使用 y[n] 作為輸出就會(huì)丟失 x[n] 的直流部分，因此對(duì)Δ調(diào)制器來(lái)說(shuō)，加入圖6所示的補(bǔ)償器是必須的，該補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為 1?(α?k)z?11?αz?1 ，具有積分的效果，可以從 y[n] 中恢復(fù)出 x[n] 的直流信息。經(jīng)補(bǔ)償后，(14)前面的因子被消掉：

調(diào)制器補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)W=X+E……Δ調(diào)制器補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)(16)

習(xí)慣上，把傳遞函數(shù)表示成：

W=HxX+HeE

其中 Hx 稱為信號(hào)傳遞函數(shù)； He 稱為噪聲傳遞函數(shù)。

我們發(fā)現(xiàn)，經(jīng)補(bǔ)償后 Hx=He=1 ，這似乎意味著只要滿足約束條件(12)(15)就能隨意配置參數(shù)α和k，實(shí)則不然，因?yàn)槎盗炕鞯姆蔷€性，實(shí)踐中會(huì)觀察到 α=1 時(shí)量化噪聲 e[n] 近似白噪聲，而 e[n] 越小，e[n]越分布于低頻。因此實(shí)踐中往往令 α=1 ，再在(12)(15)的約束下配置一個(gè)盡量小的 k 。在模擬Δ調(diào)制器設(shè)計(jì)中，由于一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，比如運(yùn)放開環(huán)增益并不是無(wú)窮大，導(dǎo)致積分器緩慢泄漏，即 α 是一個(gè)略小于 1 的值（比如 0.99）都是完全能容忍的。不過(guò) α 不能過(guò)小，否則會(huì)導(dǎo)致低頻噪聲很大。

為了驗(yàn)證以上結(jié)論，我們?cè)?12)(15)的約束下設(shè)計(jì)出七種 α, k 的組合如表3。我們編寫代碼仿真，將正弦波 x[n]=0.9sin(2πn/4096) 輸入這些Δ調(diào)制器，計(jì)算出帶寬 f表3?？梢钥闯鲈?α>0.97 時(shí) SNR 都還不錯(cuò)，但隨著 α 繼續(xù)減小，SNR會(huì)持續(xù)惡化。

加補(bǔ)償?shù)摩ふ{(diào)制器的傳遞函數(shù)為 W=X+E 。考慮到當(dāng) α 接近 1 時(shí)，E 為白噪聲，過(guò)采樣技術(shù)帶來(lái)的 SNR 提升滿足公式(7)，即每過(guò)采樣 4 倍，SNR 提升 6.02dB 。注意：Δ調(diào)制器與 1-bit ADC 的區(qū)別就在于 1-bit ADC 的量化噪聲 E 不是白噪聲，導(dǎo)致過(guò)采樣技術(shù)失效；而Δ調(diào)制器不會(huì)使過(guò)采樣技術(shù)失效。

Ⅶ 離散一階ΣΔ調(diào)制器

對(duì)Δ調(diào)制器稍作修改就能得到一階ΣΔ調(diào)制器如圖8，它后面也有一個(gè)補(bǔ)償器（但不是必須的）。為了方便分析，設(shè)積分器無(wú)泄漏（α = 1）。實(shí)際使用中與Δ調(diào)制器同樣， α 不能與 1 相差過(guò)大，否則影響性能。另外，相比于Δ調(diào)制器，反饋回路中多了一個(gè)增益 g ，因此ΣΔ調(diào)制器有兩個(gè)參數(shù)：k, g 。

圖8：離散一階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖

我們依然先進(jìn)行直觀理解：設(shè) k=0.3, g=1.2 ，分別考察輸入 x[n] 為以下情況時(shí)的現(xiàn)象：

直流輸入 x[n]=0 ，如圖9(左)，當(dāng) y[n]=?1 時(shí) u[n]=g ，由于積分器的存在導(dǎo)致 v[n] 上升， 導(dǎo)致二值量化器下次會(huì)輸出 y[n+1]=1 。反之，當(dāng) y[n]=1 時(shí)會(huì)讓 v[n] 下降，導(dǎo)致 y[n+1]=?1 。 總之， y[n] 會(huì)在+1 和-1 上反復(fù)跳躍。

直流輸入 x[n]=0.5 ，如圖9(右) ，當(dāng) y[n]=?1 時(shí) u[n]=0.5+g ，引起的 v[n] 的上升量為 v[n+1]?v[n]=k(g+0.5) ；同理當(dāng) y[n]=1 時(shí)引起的 v[n] 的下降量為 ?v[n+1]+v[n]=k(g?0.5) 。 這說(shuō)明每次 v[n] 上升的更多而下降的更少，最終的效果是 v[n] 在 0 附近跳躍，但需要更多的上升步數(shù) 和更小的下降步數(shù)，導(dǎo)致 y[n]=1 的情況更多，y[n]=?1 的情況更少。

直流輸入 x[n]=0.001 ，v[n] 每次的上升量為 k(g+0.001) ；下降量為 k(g?0.001) ， 盡管上升量和下降量相差很小，但畢竟有微小區(qū)別，這使得在足夠長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi) y[n]=1 的情況略多， y[n]=?1 的情況略少。這說(shuō)明理論上一階ΣΔ調(diào)制器有無(wú)限精確的直流分辨率！這是Δ調(diào)制器不具備的。 不過(guò)這依賴于足夠多的樣點(diǎn)以及后級(jí)數(shù)據(jù)處理手段。

正弦輸入 x[n]=0.9sin?(2πn/64) ，如圖10，可以看到當(dāng) x[n] 較大時(shí) y[n]=1 的情況更多；當(dāng) x[n] 較小時(shí) y[n]=?1 的情況更多。

圖9：一階ΣΔ調(diào)制器在輸入 x[n]=0 (左) 和 x[n]=0.5 (右) 時(shí)的現(xiàn)象

圖10：一階ΣΔ調(diào)制器在輸入正弦波時(shí)的現(xiàn)象

下面我們根據(jù)圖8推導(dǎo)ΣΔ調(diào)制器的傳遞函數(shù)，注意二值量化器被進(jìn)行了線性近似，E 是它的量化噪聲：

Y=E+V

?Y=E+k1?z?1U

?Y=E+k1?z?1(X?gz?1Y)

?Y=kX+(1?z?1)E1?(1?gk)z?1

一階調(diào)制器的傳遞函數(shù)……一階ΣΔ調(diào)制器的傳遞函數(shù)(17)

(17)有一個(gè)極點(diǎn) z=1?gk ，要讓系統(tǒng)穩(wěn)定，令極點(diǎn)在單位圓內(nèi)：

一階調(diào)制器穩(wěn)定的必要條件0

我們也可以在ΣΔ調(diào)制器后加入補(bǔ)償器。這樣可以消掉(17)的分母：

W=1?(1?gk)z?1kY

?W=1?(1?gk)z?1k×kX+(1?z?1)E1?(1?gk)z?1

?W=X+(1?z?1)kE

一階調(diào)制器補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)……一階ΣΔ調(diào)制器補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)(18)

實(shí)踐中 gk 并不會(huì)設(shè)的太小，因此(17)中的分母 (1?(1?gk)z?1)?1 幾乎不影響低頻（ z→1 ）的相移和增益的平坦性，因此ΣΔ調(diào)制器的補(bǔ)償器不是必須的，通常我們省略掉補(bǔ)償器，而不像Δ調(diào)制器必須進(jìn)行補(bǔ)償。

現(xiàn)在假設(shè)我們不加補(bǔ)償，也即直接使用圖8中的 Y 作為輸出。根據(jù)(17)，我們可以得出ΣΔ調(diào)制器的信號(hào)增益和噪聲增益：

Hx=k1?(1?gk)z?1

He=(1?z?1)1?(1?gk)z?1

調(diào)制器的信號(hào)傳遞函數(shù)和噪聲傳遞函數(shù)……ΣΔ調(diào)制器的信號(hào)傳遞函數(shù)Hx和噪聲傳遞函數(shù)He(19)

考慮到我們只關(guān)注低頻，也即 z 在單位圓上接近 z=1 的位置，此時(shí)噪聲傳遞函數(shù) He 趨近于一 階無(wú)窮小，這說(shuō)明如果我們關(guān)心的信號(hào) x[n] 分布于低頻，則 ΣΔ 調(diào)制器只會(huì)引入很小的噪聲，SNR很高。

為了直觀說(shuō)明這個(gè)特點(diǎn)，我們使用《信號(hào)與系統(tǒng)》中學(xué)過(guò)的頻率響應(yīng)法來(lái)畫出ΣΔ調(diào)制器的噪聲頻譜 (噪聲幅頻特性曲線)。具體方法是：把 z=exp?(j2πf/fs) （z 取單位圓上的點(diǎn)）代入(19)，繪制 |He| 的函數(shù)圖，得到如圖13中的藍(lán)線，可以看出 |He| 隨著 f 的減小而減小，這說(shuō)明：如果圖8中的二值量化器量化噪聲 E 是白噪聲，則ΣΔ調(diào)制器輸出的噪聲偏藍(lán)。因此只要我們關(guān)注的頻率足夠低，帶內(nèi)噪聲就會(huì)很小，得到的 SNR 也會(huì)非常高。

Ⅷ 離散高階ΣΔ調(diào)制器

將一階ΣΔ調(diào)制器中的減法-積分器結(jié)構(gòu)復(fù)制M份就能得到M階直連型ΣΔ調(diào)制器如圖12。推導(dǎo)其傳遞函數(shù)：

Y=E+k1?z?1(?gz?1+k1?z?1(?g2z?1+k1?z?1(...k1?z?1(?gMz?1Y+X))))

?Y=z?1?(1?gk)(gk)M+1z?1?(1?gk)(1?z?1)M+1(kMX+(1?z?1)ME)

階直連型調(diào)制器的傳遞函數(shù)……M階直連型ΣΔ調(diào)制器的傳遞函數(shù)(20)

圖12：離散M階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖

現(xiàn)在考察該傳遞函數(shù)(20)的穩(wěn)定性，也就是看左邊的因子項(xiàng)的極點(diǎn)是否都在單位圓內(nèi)。我們利用數(shù)值計(jì)算得到一階到五階的穩(wěn)定條件如表4。注意這是線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件！由于因?yàn)榱炕鞯姆蔷€性，該系統(tǒng)還存在非線性失穩(wěn)的可能，因此表4只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。

然后考察幅頻特性，若我們補(bǔ)償?shù)?20)中左邊的因子，得到信號(hào)傳遞函數(shù) Hx=kM ，噪聲傳遞函數(shù) He=(1?z?1)M 。顯然 He 在 z=1 處有n重零點(diǎn)，這意味著當(dāng)頻率很?。?f<圖13?？梢钥闯鲈趲?f<0.16fs 內(nèi)，階數(shù)越高，帶內(nèi)噪聲一定越小。

圖13：理想ΣΔ調(diào)制器的理論噪聲增益：奈奎斯特帶寬內(nèi)的線性坐標(biāo)（左）；低頻內(nèi)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)（右）

這看似是個(gè)非常好的結(jié)論，意味著我們只要按圖12的結(jié)構(gòu)堆疊階數(shù)，理論上就能在我們關(guān)心的低頻帶寬內(nèi)得到無(wú)限低的噪聲。然而，在階數(shù) M>3 時(shí)，量化器的非線性往往會(huì)產(chǎn)生非線性失穩(wěn)：我們可以把量化器看作一個(gè)增益元件，當(dāng)量化器的輸入 vM[n] 越大時(shí)，增益反而越小，因?yàn)橄到y(tǒng)構(gòu)成環(huán)路，增益過(guò)小會(huì)導(dǎo)致環(huán)路失穩(wěn)。除了非線性失穩(wěn)問(wèn)題，高階情況下各積分器的輸出 vi[n] 的范圍往往不易控制，若不精心設(shè)置系統(tǒng)，很可能導(dǎo)致 vi[n] 遠(yuǎn)超出范圍 [-1,+1] ，在實(shí)際電路實(shí)現(xiàn)中，可能超出器件的線性工作區(qū)。

所幸我們有很多辦法來(lái)規(guī)避這些問(wèn)題，讓高階ΣΔ調(diào)制器變得可行：

配置圖12中的增益參數(shù) 。比如增加 g 來(lái)讓環(huán)路有足夠的增益；減小 k 來(lái)控制 vi[n] 的范圍。實(shí)際上各個(gè)積分器的增益 k 可取不同值，反饋路徑的增益 g 也可取不同值，來(lái)達(dá)到更優(yōu)的結(jié)果。本文只考慮它們都相同的情況。

在圖12的基礎(chǔ)上增加新的信號(hào)通路（比如前向通路）來(lái)達(dá)到同樣的目的。

拋棄圖12的積分器高階級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，而是使用多個(gè)低階ΣΔ調(diào)制器級(jí)聯(lián)來(lái)等效出高階的效果。

方法2和3更復(fù)雜且效果好，被廣泛用在當(dāng)今的ΣΔADC集成芯片中。下文我們僅僅簡(jiǎn)單地用方法1來(lái)讓二階和三階ΣΔ調(diào)制器變得可行。

Ⅸ 離散二階、三階ΣΔ調(diào)制器

根據(jù)圖12，二階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖如圖14；三階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖如圖15。

圖14：離散二階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖

圖15：離散三階ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)框圖

根據(jù)公式(12)得出，二階ΣΔ調(diào)制器的傳遞函數(shù)：

Y=k2X+(1?z?1)2E1?(1?gk)(2+gk?z?1)z?1……(21)

以及三階ΣΔ調(diào)制器的傳遞函數(shù)：

Y=k3X+(1?z?1)31?(1?gk)(3+2gk+g2k2?(3+gk)z?1+z?2)z?1……(22)

如表5，筆者用代碼仿真的方法確定了能夠穩(wěn)定，且效果較好的二階ΣΔ調(diào)制器的參數(shù) (M=2, k=0.6, g=1.2)，以及較好的三階ΣΔ調(diào)制器的參數(shù) (M=3, k=0.3, g=1.3)。為了幫助直觀理解，我們用該二階和三階ΣΔ調(diào)制器繪制了一段時(shí)域波形如圖16和圖17 。

圖16：二階ΣΔ調(diào)制器在輸入正弦波時(shí)的現(xiàn)象

圖17：三階ΣΔ調(diào)制器在輸入正弦波時(shí)的現(xiàn)象

然后我們考察這些配置下的噪聲傳遞函數(shù)。把我們選擇的一階ΣΔ調(diào)制器的參數(shù) (M=1, k=0.45, g=1.2) 、二階ΣΔ調(diào)制器的參數(shù)(M=2, k=0.6, g=1.2) 、三階ΣΔ調(diào)制器的參數(shù)(M=3, k=0.3, g=1.3) 分別代入 (17)、 (21) 和 (22) 并繪制噪聲傳遞的幅頻曲線 |He| ，如圖18 ，可以看出，階數(shù)越高，噪聲增益越低。

圖18：本文的實(shí)驗(yàn)使用的幾種ΣΔ調(diào)制器配置（見表5）的理論噪聲增益

Ⅹ 各種離散二值調(diào)制器的實(shí)現(xiàn)和評(píng)估

本節(jié)對(duì)幾種離散二值調(diào)制器進(jìn)行評(píng)估。我們用 Python 3 實(shí)現(xiàn)了上文中的二值調(diào)制器（部分代碼見附錄），并找到幾種效果不錯(cuò)的配置如表5。

直觀起見，取輸入信號(hào) x[n]=0.9sin(2πn/256) ，繪制各調(diào)制器的輸出如圖19，樣點(diǎn)的數(shù)量為256。可以看出：除了Δ調(diào)制器外，其余的調(diào)制器均體現(xiàn)出 x[n] 越大則輸出的均值越大的規(guī)律。而Δ調(diào)制器要經(jīng)補(bǔ)償后才能看出這個(gè)規(guī)律。

圖19：輸入為 x[n]=0.9sin(2πn/256) 時(shí)各個(gè)調(diào)制器產(chǎn)生的輸出

然后取輸入 x[n]=0.9sin?(2πn/2048) 繪制 218 個(gè)點(diǎn)的頻譜如圖20 ?？梢钥闯霾煌恼{(diào)制器有不同的底噪，Δ調(diào)制器好于PWM調(diào)制器；ΣΔ調(diào)制器好于Δ調(diào)制器；高階ΣΔ調(diào)制器好于低階ΣΔ調(diào)制器。另外，Δ調(diào)制器的底噪呈現(xiàn)白色，而所有ΣΔ調(diào)制器的底噪都呈現(xiàn)出頻率越低，噪聲越小的現(xiàn)象，這符合之前的理論分析。

圖20：輸入為 x[n]=0.9sin(2πn/2048) 時(shí)各個(gè)調(diào)制器輸出的信號(hào)的頻譜（2^18個(gè)點(diǎn)）

最后，取不同的正弦波幅度和頻率，用 220 個(gè)點(diǎn)的頻譜計(jì)算帶寬 f表6。注意：在計(jì)算頻譜和SNR時(shí)，為了防止頻譜泄漏，時(shí)間窗口都截取 x[n] 的完整周期，且窗口長(zhǎng)度是周期長(zhǎng)度的2的次冪倍。

Ⅺ 總結(jié)

本文帶讀者“入門”了ΣΔ技術(shù)，內(nèi)容包括：

理想ADC的信噪比計(jì)算。

ADC過(guò)采樣技術(shù)；以及其在量化階數(shù)q較小時(shí)的局限性——量化噪聲不再是白噪聲，導(dǎo)致過(guò)采樣技術(shù)收效甚微。

離散二值調(diào)制器、模擬二值調(diào)制器的基本概念；以及如何用前者實(shí)現(xiàn)DAC，用后者實(shí)現(xiàn)ADC。

最直觀的二值調(diào)制器——PWM調(diào)制器。

ΣΔ調(diào)制器的前身——Δ調(diào)制器，分析出其量化噪聲呈白噪聲，從而讓過(guò)采樣技術(shù)生效。

一階離散ΣΔ調(diào)制器，分析出其量化噪聲偏藍(lán)，從而讓過(guò)采樣技術(shù)獲得奇效。

高階離散ΣΔ調(diào)制器：從z變換的角度解釋階數(shù)高的好處，也指出了高階面臨的穩(wěn)定性問(wèn)題。

比較了離散PWM調(diào)制器、Δ調(diào)制器、離散一二三階ΣΔ調(diào)制器的信噪比。

離散ΣΔ調(diào)制器可以實(shí)現(xiàn)ΣΔDAC。如果對(duì)ΣΔADC的基礎(chǔ)——模擬ΣΔ調(diào)制器感興趣，請(qǐng)閱讀(下)篇：

ΣΔ(Sigma-Delta)技術(shù)詳解(下)：模擬ΣΔ調(diào)制器73 贊同 · 12 評(píng)論文章

附：一階、二階、三階ΣΔ調(diào)制器的Python實(shí)現(xiàn)

# -*- coding:utf-8 -*-
# python3
# 離散ΣΔ調(diào)制器（一階、二階、三階）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 運(yùn)行參數(shù) --------------------------------------------------------------------------------
MARGIN     = 16384                                                          # 初始丟棄點(diǎn)數(shù)
TIME       = 1048576                                                        # 有效點(diǎn)數(shù)
PERIOD_X   = 2048                                                           # 正弦周期
AMP_X      = 0.9                                                            # 正弦幅度
BAND_RATIO = 0.5/240                                                        # 過(guò)采樣比

MODULATORS = [       # 參與評(píng)估的調(diào)制器配置，格式: [ 名稱 , 階數(shù) , k   , g   ] ------------
    ['ΣΔ1' ,    1 , 0.5 , 1.2 ] ,
    ['ΣΔ2' ,    2 , 0.6 , 1.2 ] ,
    ['ΣΔ3' ,    3 , 0.3 , 1.3 ] ,
]

def sigma_delta_mod(X, M, k, g):      # ΣΔ 調(diào)制函數(shù) ---------------------------------------
    Y = np.zeros(len(X))                                                    # 輸出信號(hào)
    V = np.zeros([M, len(X)])                                               # 中間信號(hào)
    for t in range(len(X)):                                                 # 遍歷時(shí)間
        V[0][t] = V[0][t-1] + k*(X[t] - Y[t-1]*g**M )                       # 積分操作
        for m in range(1, M):                                               # 遍歷階數(shù)
            V[m][t] = V[m][t-1] + k*(V[m-1][t] - Y[t-1]*g**(M-m))           # 積分操作
        Y[t] = 1.0 if V[M-1][t] > 0 else -1.0                               # 量化操作
    return Y

if __name__ == '__main__':            # 主程序 --------------------------------------------
    X = np.sin(np.arange(MARGIN+TIME)*2*np.pi/PERIOD_X) * AMP_X             # 構(gòu)造正弦波
    for (label, M, k, g) in MODULATORS:
        Y = sigma_delta_mod(X, M, k, g)                                     # 調(diào)制
        Y = Y[MARGIN:]                                                      # 丟棄邊界
        FFT_A = np.abs(np.fft.fft(Y))[1:int(TIME*BAND_RATIO)] + 10e-8       # 計(jì)算頻譜
        FFT_F = np.arange(1,int(TIME*BAND_RATIO)) / TIME                    # 計(jì)算頻譜橫軸
        peak = np.argmax(FFT_A)                                             # 計(jì)算峰值
        snr = 1.0/(sum(FFT_A**2)/sum(FFT_A[peak-4:peak+4]**2)-1.0)          # 計(jì)算SNR
        plt.plot(FFT_F, FFT_A, label=label )
        print('%s  SNR=%.1fdB' % (label, 10*np.log10(snr) ) )
    plt.xlabel('Frequency (normalized to sample frequency)')
    plt.yscale('log')
    plt.legend()
    plt.grid(True)

審核編輯 黃宇