1. 引言

神經網絡是一種模擬人腦神經元結構的計算模型，廣泛應用于圖像識別、自然語言處理、語音識別等領域。在神經網絡中，激活函數起著至關重要的作用，它決定了神經元的輸出值，進而影響整個網絡的性能。本文將詳細介紹激活函數的定義、類型。

2. 激活函數的定義和基本功能

2.1 定義

激活函數（Activation Function）是神經網絡中的一種非線性函數，用于將輸入信號轉換為輸出信號。在神經網絡中，每個神經元的輸出都是通過激活函數計算得到的。激活函數的引入使得神經網絡能夠模擬復雜的非線性關系，從而提高網絡的表達能力和性能。

2.2 基本功能

激活函數的基本功能包括以下幾點：

（1）引入非線性：激活函數將神經元的線性輸出轉換為非線性輸出，使得神經網絡能夠模擬復雜的非線性關系。

（2）控制神經元的激活狀態：激活函數可以控制神經元的激活狀態，即決定神經元是否對輸入信號產生響應。

（3）加速收斂：合適的激活函數可以加速神經網絡的訓練過程，提高收斂速度。

（4）防止梯度消失或爆炸：在神經網絡的訓練過程中，激活函數可以防止梯度消失或爆炸，從而保證網絡的穩定性。

3. 常見的激活函數類型

3.1 Sigmoid函數

Sigmoid函數是一種常見的激活函數，其數學表達式為：

f(x) = 1 / (1 + exp(-x))

Sigmoid函數的輸出范圍在(0, 1)之間，具有S形曲線的特點。Sigmoid函數的優點是平滑且連續，但其缺點是存在梯度消失問題，即當輸入值非常大或非常小時，梯度接近于0，導致網絡訓練速度變慢。

3.2 Tanh函數

Tanh函數（雙曲正切函數）是Sigmoid函數的一種變體，其數學表達式為：

f(x) = (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))

Tanh函數的輸出范圍在(-1, 1)之間，其形狀與Sigmoid函數相似，但中心點在0。Tanh函數的優點是輸出值以0為中心，可以減少學習過程中的對稱性問題。然而，Tanh函數同樣存在梯度消失問題。

3.3 ReLU函數

ReLU函數（Rectified Linear Unit，線性整流單元）是一種常用的激活函數，其數學表達式為：

f(x) = max(0, x)

ReLU函數的優點是計算簡單，訓練速度快，且在實踐中表現出較好的性能。然而，ReLU函數存在“死亡ReLU”問題，即當輸入值為負時，梯度為0，導致部分神經元不再更新。

3.4 Leaky ReLU函數

Leaky ReLU函數是對ReLU函數的一種改進，其數學表達式為：

f(x) = max(αx, x)

其中α是一個小于1的常數。Leaky ReLU函數在輸入值為負時，仍然有一定的梯度，從而解決了ReLU函數的“死亡ReLU”問題。

3.5 ELU函數

ELU函數（Exponential Linear Unit，指數線性單元）是一種自歸一化激活函數，其數學表達式為：

f(x) = x if x > 0 else α(exp(x) - 1)

ELU函數在輸入值為正時與線性函數相同，而在輸入值為負時，輸出值在(-α, 0)之間。ELU函數的優點是可以自動調節神經元的輸出值，使得網絡在訓練過程中更加穩定。

3.6 Softmax函數

Softmax函數常用于多分類問題中，其數學表達式為：

f(x_i) = exp(x_i) / Σ(exp(x_j))

其中x_i和x_j分別表示輸入向量的第i個和第j個元素。Softmax函數將輸入向量轉換為概率分布，使得每個類別的輸出值在(0, 1)之間，且所有類別的輸出值之和為1。