現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景往往具有復(fù)雜的多變量交互作用和非線性行為，在數(shù)學(xué)上均屬于高階問題，存在于實(shí)際應(yīng)用中的各個(gè)領(lǐng)域，如圖像處理中的去噪和超分辨率、工程設(shè)計(jì)與優(yōu)化、金融工程中的期權(quán)定價(jià)和投資組合優(yōu)化、醫(yī)療領(lǐng)域中的治療方案優(yōu)化和藥物代謝過程等。

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，解決高階問題充滿挑戰(zhàn)。一是容易陷入局部最優(yōu)解。高階問題通常涉及大量變量和約束，導(dǎo)致解空間變得龐大和復(fù)雜，且存在多個(gè)局部最優(yōu)解。因此，在尋找全局最優(yōu)解的過程中，避免陷入局部最優(yōu)解變得尤為關(guān)鍵，這增加了求解的難度。二是對(duì)計(jì)算資源需求高。這包括但不限于處理時(shí)間、內(nèi)存容量和處理器性能。隨著變量數(shù)量的增加，求解所需的時(shí)間可能會(huì)以指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，這不僅對(duì)硬件設(shè)施提出了更高的要求，也對(duì)算法的優(yōu)化提出了挑戰(zhàn)。三是對(duì)解的精度要求高，小的誤差可能會(huì)導(dǎo)致解的質(zhì)量顯著下降，最終影響結(jié)果的可靠性、有效性。

幸運(yùn)的是，現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜應(yīng)用場(chǎng)景通常是由最基礎(chǔ)的低階數(shù)學(xué)問題演化出來的。基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問題通過不斷組合和擴(kuò)展，形成了復(fù)雜的應(yīng)用場(chǎng)景。

比如，圖像處理是從像素操作（基礎(chǔ)矩陣運(yùn)算）出發(fā)，發(fā)展出圖像濾波、邊緣檢測(cè)等基本圖像處理技術(shù)。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用基礎(chǔ)卷積運(yùn)算和激活函數(shù)，提取出圖像高層次特征，使其能夠處理復(fù)雜的圖像分類、目標(biāo)檢測(cè)等任務(wù)，也構(gòu)成了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）的基本框架。進(jìn)一步，集成學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)技術(shù)通過多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和反向傳播算法，結(jié)合多個(gè)學(xué)習(xí)器，大幅提升了模型的處理能力和預(yù)測(cè)精度，最終形成強(qiáng)大的圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺系統(tǒng)。

再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，現(xiàn)實(shí)生活中的五顏六色，構(gòu)成了豐富多彩的世界，但這么多階的復(fù)雜顏色分類，其實(shí)都可以歸結(jié)為最基礎(chǔ)的“紅黃藍(lán)”三原色。通過三原色的多種組合，才演化出更高階的、更細(xì)分的具象色彩。

由于高階問題很復(fù)雜，所以直接求解非常困難，但降階（二次化）可以將高階函數(shù)轉(zhuǎn)換為基礎(chǔ)的二次函數(shù)，從而簡(jiǎn)化優(yōu)化問題，使其更容易求解。

例如網(wǎng)絡(luò)安全問題中的RSA加密算法的破解，借助降階，用QUBO（二次無約束二值優(yōu)化）可以建模整數(shù)分解問題，隨著量子比特的增加，用量子計(jì)算破解RSA算法將更容易。此外，銀行業(yè)務(wù)中通過設(shè)置信用評(píng)分卡的合理閾值，以使銀行的最終收入最多的復(fù)雜問題，也能利用QUBO建模進(jìn)行求解，得到高收益的銀行卡設(shè)置方案。

面對(duì)不同行業(yè)場(chǎng)景下的實(shí)際問題的高階函數(shù)，基于玻色量子自研的開物SDK都可以實(shí)現(xiàn)輕松降階，將HOBO（高階二值優(yōu)化）通過添加約束條件轉(zhuǎn)化為QUBO問題，簡(jiǎn)化問題難度，大幅加快解決NP-Hard組合優(yōu)化問題的速度。

降階思路：

HOBO可以通過添加約束條件轉(zhuǎn)化為QUBO問題。

具體來說，即通過變量替換，令y=x0x1，將原式中的單項(xiàng)式階數(shù)降低，并添加y=x0x1的約束。

銀行信用評(píng)分卡設(shè)置的降階案例

當(dāng)大家借用充電寶的時(shí)候，都會(huì)顯示一個(gè)信用評(píng)分的免押金彈窗，這是我們能看得見的一種信用等級(jí)評(píng)分。當(dāng)我們?cè)谏暾?qǐng)銀行信用卡或相關(guān)的貸款等業(yè)務(wù)中，銀行對(duì)客戶授信之前，需要先通過各種審核規(guī)則對(duì)客戶的信用等級(jí)進(jìn)行評(píng)定，通過評(píng)定后的客戶才能獲得信用或貸款資格，這是我們看不見的一種信用等級(jí)評(píng)分。

在銀行業(yè)，規(guī)則審核過程實(shí)際是經(jīng)過一重或者多重組合規(guī)則后對(duì)客戶進(jìn)行打分，這些規(guī)則就被稱為“信用評(píng)分卡”，每個(gè)信用評(píng)分卡又有多種閾值設(shè)置（有且只有一個(gè)閾值生效），這就使得不同的信用評(píng)分卡在不同的閾值下，對(duì)應(yīng)不同的通過率和壞賬率，一般通過率越高，壞賬率也會(huì)越高，反之，通過率越低，壞賬率也越低。

對(duì)銀行來說，通過率越高，通過貸款資格審核的客戶數(shù)量就越多，相應(yīng)的銀行獲得的利息收入就會(huì)越多，但高通過率一般對(duì)應(yīng)著高壞賬率，而壞賬意味著資金的損失風(fēng)險(xiǎn)，因此銀行最終的收入可以定義為：

最終收入= 貸款利息收入-壞賬損失

我們將該問題進(jìn)行做如下簡(jiǎn)化：假設(shè)貸款資金為100萬元，銀行貸款利息收入率為8%，要為3種信用評(píng)分卡選取閾值。三種信用卡組合后，總通過率為所有信用卡的通過率相乘，壞賬率為三種評(píng)分卡對(duì)應(yīng)壞賬率的平均值。也就是說，貸款利息收入=貸款資金×利息收入率×總通過率×（1－總壞賬率）

那么，如何設(shè)置合理的閾值，使得最終收入最多？

實(shí)際上使用QUBO建模可以進(jìn)行求解，得到高收益的銀行卡設(shè)置方案。

設(shè)y1j，y2j，y3j分別代表信用卡的第1、2、3種信用評(píng)分卡選擇第j個(gè)閾值，選擇則取1，不選則取0，h1j,h2j,h3j分別是第1、2、3種信用評(píng)分卡選擇第j個(gè)閾值的壞賬率。那么最終的收益率可以表達(dá)為：

表達(dá)式中出現(xiàn)了高次項(xiàng)：y1iy2jy3k已經(jīng)是三次項(xiàng)，需要借助降階把它變成二次項(xiàng)。

設(shè)置輔助變量qij，用它替換公式中的y1iy2j并約束qij=y1iy2j。 借助新增的輔助變量和約束，原問題就轉(zhuǎn)化為了二次問題。而要使得約束成立的方式是在原式中添加懲罰項(xiàng)，即Rosenberg二次懲罰項(xiàng):

最終新的多項(xiàng)式為

其中k是懲罰項(xiàng)系數(shù)。

其它降階方法

對(duì)于特定的情況，也存在一些特殊的降階方法。

如當(dāng)某一高次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，可以使用不同的二次化方法：

其中ba是輔助變量。

當(dāng)b1b2...bn=1時(shí)，說明對(duì)所有的都滿足bi=1，由于ba的取值只受b1,b2...bn影響，所以容易驗(yàn)證當(dāng)ba取1時(shí)等式右側(cè)QUBO值更低。當(dāng)?shù)仁接覀?cè)取最低值時(shí)正好與等式左側(cè)相等，取值為-1。

當(dāng)b1b2...bn=0時(shí)，說明存在bi都滿足bi=0，ba取1代入等式右側(cè)得到

所以容易驗(yàn)證當(dāng)ba取0時(shí)等式右側(cè)QUBO值更低。當(dāng)?shù)仁接覀?cè)取最低值時(shí)正好與等式左側(cè)相等，取值為0。

舉例：

可以等價(jià)替換為:

相比于上述方法，該方法可以用一個(gè)輔助變量將1個(gè)n次項(xiàng)變?yōu)?次，只增加1個(gè)輔助變量。但是應(yīng)用范圍要小。

針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景，還存在一些其它特定的降階方法。

總結(jié)

對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的不同行業(yè)不同場(chǎng)景下的復(fù)雜問題，高階函數(shù)的降階求解是一種通用型求解思維，基于玻色量子自研的開物SDK，用戶只需關(guān)注建立與場(chǎng)景所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，SDK提供的方法可以自動(dòng)完成降階，用戶不用關(guān)心背后的復(fù)雜度，大大降低用戶使用相干光量子計(jì)算機(jī)求解問題的難度。