在本文的第一部分，我們已論證運算放大器用于 type-2 補償器的開環增益 A_OL 的影響。我們進一步推進分析，重點著眼于運算放大器的幅值和相位響應，推導出了存在低頻和高頻兩個極點。如果在低帶寬設計中可忽略這些極點的存在，但在高帶寬系統需要增益和相位增強，您必須考慮到它們帶來的失真。在這第二部分中，我們將談談由于存在這些極點，如何確定 type-2 補償器的傳遞函數，和它們最終如何令濾波器的性能失真。

運算放大器中的兩個極點

為了穩定運行，運放設計人員實施所謂的極點補償，包括在低頻放置一個極點，使放置第二高頻極點前在頻率 f_c 處的增益下降到1（0 dB），通常在 2f_c. 。

圖1：運放的開環動態響應揭示了兩個極點的存在

圖1所示為一個典型的 μA741，您可看到交越頻率 1 MHz，低頻極點 5Hz 左右，而第二極點出現在約 2 MHz 。請注意，這是個典型的響應，開環增益A_OL106 dB 。開環增益不是個精確控制的參數，它可顯著變化。數據表規定在整個溫度范圍內（-55至125°C）增益從 15K（83.5分貝）移至 200K（106分貝），那么當分立時，這曲線轉變。

一個簡單的拉普拉斯表達式可描述這兩極點開環響應，如圖1所示：

（1）

由圖2的 Mathcad? 繪制曲線確定：

圖2：運算放大器有一個低頻極點，第二極點在超過 0 dB 的交越頻率處。

運算放大器的一個簡單的 SPICE 模型

我們可以很容易地建立模仿圖2的頻率響應的 SPICE 模型。如圖3，它采用一個電壓控制的電流源G₁，G₁有跨導g_m，后連一個接地電阻R_OL，再與電容C₁并聯。對于R_OL，反相引腳V_inv的傳遞函數很簡單：

（2）

如果我們現在緩沖電壓，并放置具有電阻R₂和電容C₂的第二極點，我們得到我們想要的完整的傳遞函數：

（3）

元件值已自動顯示在頁面的左側，一旦運行仿真，右側就顯示所獲得的幅值/相位圖。這是個簡化的運算放大器模型，但它可以用于第一階分析。它可稍后升級到模型更特定的特點，如電壓鉗位或壓擺率電路，如 [ 1 ] 所描述的。請注意圖中LoL和CoL的存在，由于它們的存在，在元件運行開環時需要將運算放大器輸出電壓固定為 2.5 V 。這里因為沒有電源軌，我們可運行一個簡單的交流分析，不考慮直流偏置點。

圖3: 一個簡單的 SPICE 電路，可建立一個有開環增益和兩極點的運算放大器。

然而，如果您打算分析一個包括電源軌的更全面的模型響應，那么當您想要手動調整直流工作點時，這個簡單的電路將避免該集成電路上下波動。在仿真開始時LoL短路，有助于以E₃和源V_ref調整工作點。一旦交流掃描分析開始于CoL，LoL阻斷E₃的調制，調整工作點的電路轉而靜止。這是通常的訣竅，采用平均模型以運行開環增益分析，同時確保確定閉環偏置點到所需的輸出值。這個簡單的 SPICE 模型將幫助測試我們分析得出的數學表達式。

Type-2 補償器有兩極架構

既然我們知道運算放大器有兩個特別的極點，我們可更新在本文第一部分我們最初使用的草圖。圖4所示為新建立的 type-2 補償器，現在包括運算放大器的內部特征。

圖4：更新電路將運算放大器中存在的兩個極點考慮進來.

輸出電壓V_FB是誤差電壓e乘以運放的開環傳遞函數

（4）

另外，誤差電壓可通過使用疊加定理將V_out和V_FB 設置為 0 V 得出：

（5）

如果我們將（5）代入（4）并加以整理，得出：

（6）

Z₁(s) 相當于：

（7）

請參閱本文結尾的附錄，以了解如何用快速分析技術以簡單的步驟推導出這個表達式。

這個方程極其難處理，但有利的是，對于 Mathcad? 不是問題。我們可通過比較其動態響應與 SPICE 模型以驗證它是否正確。我們假設下列元件值：

采用 type-2 架構的 SPICE 電路如圖5所示。

圖5：完整的 type-2 SPICE 模型現在構成運算放大器的動態響應。請注意，考慮到 2.5 V 參考電壓V_ref2現在偏置于 NINV 引腳，將直流偏置點設置為 12 V 。

由圖6證實，Mathcad? 和 SPICE 之間的響應是相同的，確定方程的有效性。

特征失真

圖5仿真采用的元件值來自一個 type-2 補償器，旨在以 20 dB 的增益在10千赫交越頻率處建立65° 相位增量。如果我們現在比較由本文第一部分方程（36）給出的理想的 type-2 響應與使用 μA741 （106dBA_OL，有兩個極點，5 Hz 和2 MHz）的 type 2 電路的響應，您會注意到一些差異，如圖7所示：

圖6：由 Mathcad^?提供的繪制曲線與由 SPICE 產生的曲線完美重合。

在該圖中，我們可看到在10千赫處有輕微的增益偏差和離 20dB 差約 2.2dB 。其實無關緊要。而更重要的是您以完美的公式實現期望的65°相位增量。在10千赫處，由具有真正運算放大器的電路提供的相位增量僅44.6°或相差20.4°。這將相應減少最終的相位裕量。

圖7：用有最高開環增益的 μA741 創建 type 2 ，已導致相位增量失真。

但后面更糟糕。如果您考慮由數據表顯示的開環增益的偏差，若A_OL降至 83.5 dB ，最小的規格是多少？圖8證明：在10千赫處的 20 dB 增益差 17 dB，而相位增量驟降至6.7°。無需解釋為何系統的穩定性與最后一個值有關。圖9的 SPICE 仿真通過在同一圖中采集的3條不同曲線確定了這些數據。您可看到開環增益偏差的不利影響。

圖8：如果開環增益現在驟降至 83.5 dB ，如運算放大器數據表所述，相位幾乎無提升。

如果我們現在改變 type-2 規格，也就是說我們在 10 kHz 處不再需要一個增益，但在f_c 處有 10 dB 的衰減，同樣相位增量65°，相位增量失真不那么明顯，開環增益較低（見圖10）。

圖9：運算放大器開環增益的變化引起嚴重的增益/相位失真。

圖10：如果 type-2 電路改為以 10 dB 衰減而不是在相同的10千赫交越頻率處放大，目標仍沒有達到，但失真程度較小。

采用此架構獲得的中波段增益是- 11dB（相對于- 10 dB 的目標），而相位增量剛達到49°（相對于原來的65°目標）。

Type-2響應和開環增益繪制曲線

為確保運放內部不改變補償器響應，通常的建議是在相同的圖線上疊加理論型 type 2 幅值和運算放大器開環響應[ 2 ]。在圖11中，左圖對應于我們第一次嘗試建立的一個 type 2 補償器，在10千赫處有65°相位增量和 20 dB 增益。在該圖中，運放幅值與 type 2 補償器相交和相悖，導致我們想要的特征被破壞（最終的相位誤差幾乎有60°）。一看就很明顯，這交叉表明，要么是選擇的運放不適合，要么用 type-2 補償器設置的目標過高。

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 處需要20 dB 增益

A_OL=83.5 dB，在10 kHz 處需要10 dB 衰減

圖11：左圖清楚地顯示這兩個響應相交和衰減。右邊的幅值圖中沒有交叉，但最終的結果也失真。

圖11的右圖似乎表明，我們應當可以設計那樣的 type-2 電路，在10千赫交越頻率處不再有增益而是衰減。但我們的計算表明不是這樣，因為確定最終有17°相位誤差。

[ 2 ]中的一種方法建議選擇一個增益帶寬乘積（GBW）大于所用 type 3 補償器的 0 dB 交越頻率的運算放大器。然而您可看到，它不適用于圖11：在左邊，type 2 的 0 dB 交越頻率400千赫左右，而在右邊，我們想要衰減而不是增益。我提出一個稍微不同的經驗之談的方案，其中運算放大器的開環響應必須比 type 2 補償器的 20f_c“飛高” 20dB 。如圖12所示。圖形化的方法是確定你的運放必須具有多少 GBW 的第一步，以使所需的相位增量和增益目標在可接受的范圍內。

Op amp：運算放大器

Ideal：理想的

圖12：作為第一步，我們建議選定運放的開環響應至少比 type 2 補償器的second -1- 斜率高20dB 。

您首先計算 type 2 在 20f_c處的 dB 幅值，再加 20dB 。然后您計算出相應的運放開環增益交越頻率或 GBW ：

（8）

圖11的左邊，（8）給出了 4.4 MHz 的GBW ，而對第二種情況建議150千赫的 GBW 。應用這一策略到第一個例子，從而選定運算放大器開環增益為 90 dB ，低頻極點位于150赫茲，或開環增益 80 dB ，低頻極點450赫茲。不要減少開環增益到 70 dB 以下[ 2 ]，以使穩態誤差在可接受的范圍內。當應用這種策略，中帶增益為 19.5 dB ，相位增量約60°?。在第二個例子中，（8）建議 GBW 140 kHz ，開環增益 80 dB 和低頻極點 15 Hz 。中帶增益色散為 0.4 dB ，相位增量為56°或偏差9°。低頻極點增至30赫茲，降低增益色散到 0.2dB 和相位增量誤差為4.4° 。

有了公式（8），您可開始選擇一個合適的運放的 GBW 。基于觀察和反復實施幾種情況以找到合適的 GBW 。我曾試圖從（6）提取可能的 GBW –例如忽略高頻極點作用–以符合最初完美的 type 2 特定的偏差，但我不確定已經確立有意義的表達式。一旦您有建議的 GBW ，就能查找運算放大器的數據表和確定一個合適的元件。將A_OL和低頻極點與 Mathcad? 表[ 3 ]聯系起來，比較與目標的偏差。一定要探索最小值，以致在最壞的情況下偏差仍是可接受的。

高頻電流模式降壓轉換器的補償實例

假設我們設計了一個 5A 降壓穩壓器，將 3.7V 電池降至 1.5 V ，開關頻率 1MHz 。輸出電容是 180μF 和有 3 mW 等效串聯電阻 （ESR）r_C。假設我們想要50毫伏輸出壓降，負載變化從 1.5 A 到 5A 。因此電源輸出阻抗必須等于：

（9）

這可能表明小信號的閉環輸出在交越頻率f_c 處的阻抗以電容器阻抗為主，其提供的 ESR 足夠小：

（10）

從所需的壓降，考慮 180μF 電容和想要的 14.3mW 輸出阻抗，我們可估算出需要的交越頻率是：

（11）

有些人會反對，認為這是對小信號的近似分析，大信號響應將不同。這是事實，但經驗表明，最終的結果與計算相近。當然，當存在 ESR 和 ESL（寄生電感），結果大大不同，但這第一階的方法是個有意義的起點。此外，此方法分析表明將交越頻率與通常建議的F_sw/ 5 或F_sw/ 10 相比，往往是荒謬的。

我們選擇了62千赫的交越頻率f_c。為了補償這種轉換器，我們首先需要功率級的動態響應，這是分析的出發點。有幾種方式：a）使用控制到輸出的傳遞函數H（s） 并由此得出波德圖）b) 用平均模型建立一個仿真設置 c）在實驗室建立一個原型和用網絡分析儀提取響應 或 d）用 Simplis? 或 PSIM? 建立開關模型和提取交流響應。我們采用了策略 b）如圖13所示。

Power stage dynamic response：功率級動態響應

圖13：平均模型幫助我們很快建立電流模式轉換器

從幅值圖，我們看到，如果我們想要62千赫交叉頻率，中頻帶增益必須是 25.5dB 。如果我們目標是70°相位裕度（pm），在交越處約86°的相位滯后（pfc）需要以下相位增量值：

（12）

從 Mathcad? 表的計算表明，一個極點位于291千赫，而零點將位于 13.2 kHz 。根據（8），必須選擇一個 50 MHz 的 GBW 放大器。查閱各種運放的數據表，我們發現 LT1208 具有典型的 7k 開環增益（約77dB），可降到 2k（66dB）為最小值。其典型增益帶寬積為 45 MHz ，在電源 ±5 V 時，降至34兆赫。因此，低頻極點位于34兆赫/ 7k，約4.8千赫處。

圖14：開環增益色散會影響到最終有效的相位增量。

圖14所示為兩個不同的開環增益的 type-2 波德圖。77dB 提供 45 MHz GBW 和色散很小。當A_OL降至 66 dB （最低規格），增益色散仍可接受，但相位增量偏離目標10.7°。

降壓轉換器中的運放

我們現在可以實際模型（至少有A_OL與兩個極點）閉環和捕獲選定的運算放大器的特點到我們現在更新的的仿真原理圖。

圖15：運算放大器現在有低頻和高頻兩個極點.。

由該圖，我們可繪制開環增益T（f），并看到開環的變化如何影響動態響應。結果如圖16所示。正如預期的那樣，交越頻率和相位裕度出現一些色散。

圖16：動態響應受開環增益變化的影響。在最壞的情況下（66dBA_OL），相位裕度下降到60左右°，是可接受的（虛線）。

由圖15仿真電路，我們可運行一個瞬態負載階躍，并檢查兩個不同開環增益的響應。結果如圖17所示。

圖17：最低的開環增益有 44 mV 的偏差而典型值導致壓降 40 mV（虛線對應于66dB A_OL）

該壓降在兩個開環增益值的規格范圍內。當然，這是個簡化的方法，考慮到運算放大器的誤差電壓偏差（1.6 V），壓擺率必須是整個分析的一部分，其影響對瞬態響應的評估。

總結

第二部分介紹了運放動態響應對補償器性能的影響。當需要大帶寬時，您不可再忽視這些對補償器的動態響應的作用。可以將您想要的完美的 type-2 響應與所選擇的運放的開環幅值圖疊加，并看看是否重疊。然而，我們已看到的一種情況是，不重疊最終導致一個顯著的相位增量失真。通過運算放大器開環響應和完美的 type 2 開環響應之間的顯著差距，您可選擇增益帶寬積，并以給定的公式檢查它如何影響所需的響應。一個全面的穩定性分析，必須通過影響所有元件容差考慮整個環路增益，包括運算放大器的內部。通過（6）中完整的 type-2 傳遞函數，您就可以進一步分析。

參考文獻

1. Basso, “Practical Implementation of Loop Control in Power Converters”, APEC Professional Seminar, Charlotte (NC), 2015, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

2. T. Hegarty, “Error Amplifier Limitations in High-Performance Regulator Applications”, AN-1997, Texas-Instruments, May 2013, http://www.ti.com/lit/an/snva411a/snva411a.pdf

3. http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

4. C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5

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