背景

AVL 樹是一棵平衡的二叉查找樹，于 1962 年，G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在他們的論文《An algorithm for the organization of information》中發表。

所謂的平衡之意，就是樹中任意一個結點下左右兩個子樹的高度差不超過 1。（本文對于樹的高度約定為：空結點高度是 0，葉子結點高度是 1。）

那 AVL 樹和普通的二叉查找樹有何區別呢？如圖，如果我們插入的是一組有序上升或下降的數據，則一棵普通的二叉查找樹必然會退化成一個單鏈表，其查找效率就降為 O(n)。而 AVL 樹因其平衡的限制，可以始終保持 O(logn) 的時間復雜度。

具體實現與代碼分析

在我們進行完插入或刪除操作后，很可能會導致某個結點失去平衡，那么我們就需要把失衡結點旋轉一下，使其重新恢復平衡。

經過分析，不管是插入還是刪除，它們都會有四種失衡的情況：左左失衡，右右失衡，左右失衡，右左失衡。因此每次遇到失衡時，我們只需判斷一下是哪個失衡，再對其進行相對應的恢復平衡操作即可。

好，下面以插入操作為例，來看下這四種失衡的廬山真面目。（以下統一約定：紅色結點為新插入結點，y 結點為失衡結點）

（1）左左失衡

所謂的左左，即 "失衡結點" 的左子樹比右子樹高 2，左孩子下的左子樹比右子樹高 1。

我們只需對 "以 y 為根的子樹" 進行 "左左旋轉 (ll_rotate)" 即可。一次旋轉后，恢復平衡。

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

（2）右右失衡

所謂的右右，即 "失衡結點" 的右子樹比左子樹高 2，右孩子下的右子樹比左子樹高 1。

我們只需對 "以 y 為根的子樹" 進行 "右右旋轉 (rr_rotate)" 即可。一次旋轉后，恢復平衡。

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

（3）左右失衡

所謂的左右，即 "失衡結點" 的左子樹比右子樹高 2，左孩子下的右子樹比左子樹高 1。

觀察發現，若先對 "以 x 為根的子樹" 進行 "右右旋轉 (rr_rotate)"，此時 "以 y 為根的子樹" 恰好符合 "左左失衡"，所以再進行一次 "左左旋轉 (ll_rotate)"。兩次旋轉后，恢復平衡。

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

（4）右左失衡

所謂的右左，即 "失衡結點" 的右子樹比左子樹高 2，右孩子下的左子樹比右子樹高 1。

觀察發現，若先對 "以 x 為根的子樹" 進行 "左左旋轉 (ll_rotate)"，此時 "以 y 為根的子樹" 恰好符合 "右右失衡"，所以再進行一次 "右右旋轉 (rr_rotate)"。兩次旋轉后，恢復平衡。

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

插入操作

插入成功后，在遞歸回溯時依次對經過的結點判斷是否失衡，若失衡就需要對其進行對應的旋轉操作使其恢復平衡，在這期間，原先作為一棵子樹的根結點就會因為旋轉被替換，因此設置insert_real( )返回的是新根結點，這樣就可以實時更新根結點。

插入操作實現代碼如下：

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

查找操作

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

刪除操作

刪除操作的四種失衡情況和插入操作一樣，讀者可以參考前文。下面是刪除操作的實現代碼：

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后繼結點

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后繼直接復制

node->key = x->key;

// 轉化為刪除后繼

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等號

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等號

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

完整代碼

/**

*

* author : 劉毅（Limer）

* date : 2017-08-17

* mode : C++

*/

#include

#include

using namespace std;

struct Node

{

int key;

int height;

Node * left;

Node * right;

Node(int key = 0)

{

this->key = key;

this->height = 1;

this->left = this->right = nullptr;

}

};

class AVL

{

private:

Node * header;

private:

Node * ll_rotate(Node * y);

Node * rr_rotate(Node * y);

Node * lr_rotate(Node * y);

Node * rl_rotate(Node * y);

void destroy(Node * node);

int get_height(Node * node);

int get_balance(Node * node);

Node * insert_real(int key, Node * node);

Node * find_real(int key, Node * node);

Node * erase_real(int key, Node * node);

void in_order(Node * node);

public:

AVL();

~AVL();

void insert(int key);

Node * find(int key);

void erase(int key);

void print();

};

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

void AVL::destroy(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

destroy(node->left);

destroy(node->right);

delete node;

}

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后繼結點

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后繼直接復制

node->key = x->key;

// 轉化為刪除后繼

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等號

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等號

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::in_order(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

in_order(node->left);

cout << node->key << " ";

in_order(node->right);

}

AVL::AVL()

{

header = new Node(0);

}

AVL::~AVL()

{

destroy(header->left);

delete header;

header = nullptr;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

void AVL::print()

{

in_order(header->left);

cout << endl;

}

int main()

{

AVL avl;

// test "insert"

avl.insert(7);

avl.insert(2);

avl.insert(1); avl.insert(1);

avl.insert(5);

avl.insert(3);

avl.insert(6);

avl.insert(4);

avl.insert(9);

avl.insert(8);

avl.insert(11); avl.insert(11);

avl.insert(10);

avl.insert(12);

avl.print(); // 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

// test "find"

Node * p = nullptr;

cout << ((p = avl.find(2)) ? p->key : -1) << endl;? ?//? 2

cout << ((p = avl.find(100)) ? p->key : -1) << endl; // -1

// test "erase"

avl.erase(1);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

avl.erase(9);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

avl.erase(11);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 12

return 0;

}

起初構造的 AVL 樹為下圖：

總結

和二叉查找樹相比，AVL 樹的特點是時間復雜度更穩定，但缺點也是很明顯的。

插入操作中，至多需要一次恢復平衡操作，遞歸回溯的量級為 O(logn)。有一點需要我們注意，在對第一個失衡結點進行恢復平衡后，遞歸回溯就應該立即停止（因為失衡結點的父親及其祖先們肯定都是處于平衡狀態的）。

但讓 "遞歸的回溯" 中途停止，不好實現，所以我上面的編碼程序都不可避免的會繼續回溯，直到整棵樹的根結點，而這些回溯都是沒有必要的。（謝謝 LLL 的提醒，若在結點中增設父親結點，就可以解決遞歸回溯的問題）

刪除操作中，若存在失衡，則至少需要一次恢復平衡操作，遞歸回溯的量級亦為 O(logn)。與插入操作不同，當對第一個失衡結點恢復平衡后，它的父親或者是它的祖先們也可能是非平衡的（見下圖，刪除 1），所以刪除操作的回溯很有必要。

沒有參照物對比的探討是沒有意義的，所以此文就止于此吧，有興趣的朋友可以看下我后面《紅黑樹》及《AVL 樹與紅黑樹的對比》的文章。