有限元法（FEM）作為一種分析和設計工具，已廣泛應用于天線、微波和信號完整性等眾多電子工 程領域。FEM求解器與其它矩量法（MoM）和時域有限差分法（FDTD）等數值方法相比擁有多項顯著的優勢。這些優勢包括：能夠處理復雜的非均勻和各向 異性材料、能夠借助四面體單元準確地描繪復雜幾何形狀、能夠使用高階基函數實現準確性、具有多種端口和入射波等激勵方式。利用這些功能優勢，FEM就能夠 以極高的準確性對波導結構進行建模。

但是，對于開放空間問題（例如天線向開放空間輻射的時候），FEM求解器需要通過在人工截斷的邊界 表面上設定輻射邊界條件（RBC），以便將無限域截斷為有限域。兩種廣泛使用的RBC包括一階吸收邊界條件（ABC）和理想匹配層（PML），后者通常情 況下都能夠提供最佳的準確性。兩種方法都保留了FEM系統矩陣的稀疏性，但僅適用于凸起的輻射表面。兩種都屬于近似方法，都存在準確性問題，比如會產生來 自輻射表面的非物理偽反射。這個問題可以通過增大RBC與輻射結構的間距，讓反射降至可忽視的水平，來予以解決。

另一方面，積分方程（IE）法，比如MoM，則非常適合對位于勻質邊界或無限大介質中的結構進行建模。其分析內核采用格林函數，可以在無窮遠處采用Sommerfeld輻射條件。因此，不管是從內存占用，還是從CPU時間占用來說，對多個在空間上分離，互不相連的同質結構，IE求解器都毋庸置疑地成為更好的選擇，因為它不需要對目標之間的空間進行詳細的建模。

早在1990年，Yuan就已經成功實現了FEM求解器和IE求解器的混合算法，這個方法現普遍稱 為混合有限元邊界積分方法（FEBI）。這種方法把邊界積分：Sommerfeld輻射條件的MoM解，用作FEM解的截斷邊界，因此可以在理論上準確地 處理遠場輻射條件。這樣就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形狀的距離輻射體很近的全共形的輻射表面。

本文將介紹ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。該求解器得力于近期區域分 解方法的進步。在現有的FEBI方法中，無限未知域被分割為兩個互不重疊的域：一個有界FEM域和一個無界同質外部域。兩個域間的耦合通過其交界面上的合 適的邊界條件加以考慮。

基于域分解的FEBI求解器

FEBI求解器首先將原始的目標域Ω分割為兩個互不重疊的子域Ω1和Ω2，如圖1所示。

圖1：將目標域分解為FEM域和IE域。

Ω1和Ω2之間的公共界面在FEM域中表達為δΩ1，在IE域中表達為δΩ2.這種區分是必要的， 因為現有的公式允許兩個域間的非共形耦合。也就是說，可以分開處理各個域的網格剖分、基函數和基函數階數、矩陣建立和求解過程。對于一個穩健的FEBI求 解器來說，能夠以模塊化的方式處理每個域的不同基函數階數是非常重要的，因為更高階的IE求解器還在開發的過程中。

根據上述的域分解情況，可以寫出如下最終的系統矩陣：

這里，AFE和ABI分別代表FEM域和BI域的系統矩陣。C是兩個域之間的耦合矩陣。由于是通過界面上的電流和磁流來實現耦合的，因此這種耦合非常稀疏。等式2的解可以通過把下式拆分后迭代求得

然后用迭代法求得：

域分解法的優勢可以從4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已經介紹過，BI可以在FEM中用作準確的截斷邊界。由于這種實現方式的模塊化特征，可以輕松地實現先進的FEM求解器和IE求解器的混合求解。

應用

在本節中，將重點介紹使用這種混合方法的兩個例子來突顯FEBI的優勢。如前文所述，一階ABC可 以用于足夠大的有界共形空間，但這個空間不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近與模型的間距，但最適合于長方體有界區域。對混合FEBI技術來說，由于可 以精確計算邊界上電流和磁流的耦合，不用考慮這些外形和大小的約束問題。從這種新邊界的測試顯示可以看出，當間距為λ0/10的時候，能夠實現速度和求解 規模的最佳平衡5.這里λ0是開放空間中的波長。另外，FEBI邊界可以做到完全共形，包括凹區域。另外，還可以把模型的各個部分獨立閉合為單獨的域，每 個域都有一個BI邊界。通過使用高度共形和分離空間的區域，可以大幅度縮小有限元求解域的范圍，從而實現高效率的仿真。為證明這一點，下面將介紹兩個例 子，一個使用獨立空間，一個使用高度共形邊界表面。

第一個例子使用的是完全符合教科書的介質透鏡6. 透鏡及其饋源喇叭如圖2所示。透鏡將來自于源天線的電磁場聚焦于正前方。仿真的透鏡采用長方體波導管作為饋源，其εr=2.56，正面直徑為4.4λ0. 然后使用混合FEBI法對系統進行分離域的建模，饋源喇叭及周圍的長方體空間作為一個域，透鏡周圍的圓錐形區域作為另一個域，每個分離空間的截斷面采用 BI邊界。

為便于比較，同時采用了PML對該天線系統進行建模，為求得準確的答案，使用了一個更大的長方體空氣盒 子將整個模型包在內，并距離輻射體足夠的距離以保證結果的準確。與采用PML仿真相比，FEBI模型使用的較小空間可以將內存的占用降低10倍。圖中同時 顯示了兩種仿真計算得出的電場的陰影圖。如其顯示，雖然FEBI仿真使用的分離空間較小，透鏡和喇叭內外和周邊的電磁場都得到了準確的計算，并與PML計 算的結果吻合。喇叭的反射系數（Г）隨與透鏡的距離縮小而增大。在比較加透鏡前后的喇叭端口反射時，兩種仿真都顯示Г有1.8dB的相同增長。圖3是兩種 方法計算得出的該天線系統的前向方向圖。再度體現出FEBI和PML之間的高度吻合。圖2和圖3說明FEBI在使用分離空間來確定天線系統的特性時，具有 相當的準確性。

圖2：采用矩形喇叭饋源的介質透鏡。

圖3：透鏡的輻射特性。

第二個例子考查的是一組安裝在復雜平臺上的天線陣列（圖4）。它是一個由螺旋天線組成的7元陣列， 安裝在衛星平臺上。衛星兩端之間的長度為18英尺，天線工作頻率3.5GHz.由于這是一個大型模型，所以還是采用域分解法（DDM）來將FEM域分割為 多個較小的域。7這種集成運載平臺的天線系統之前曾采用標準的ABC進行仿真，使用大型閉合長方體空間。該模型閉合的空間的體積大約為 21000λ，DDM將求解范圍分解為34個域。仿真總共需要的存儲為210GB RAM.

圖4：安裝在衛星上的螺旋天線陣列。

FEBI仿真采用全共形的空間，該共形區域如圖所示。閉合的空間體積下降到1200λ3.由于目標 空間縮小，只需要在12個域上應用DDM，仿真只要21GB的RAM就足夠了。相對于使用標準RBC求解，FEBI仿真所需的存儲大小會大幅度減少。圖5 是兩種仿真在同等幅度和相位激勵下所有天線元的輻射特性，而兩種特性實現了完美的吻合。使用FEBI對位于衛星上的等激勵天線陣列仿真得出的三維極坐標方 向圖如圖6所示。根據這個例子可以了解到，通過將FEBI與高度共形的有界域結合使用，可以在單個桌面計算機上能夠完成大型復雜天線系統的仿真工作。

圖5：安裝在衛星上的天線陣列的輻射特性。

圖6:7元陣列同等激勵下的輻射電磁場三維極化圖。

本文小結

混合FEBI是HFSS的FEM求解器中功能強大的新成員。設計工程師可以利用這種新技術將FEM 仿真的優勢與IE求解器在開放邊界問題上的效率和準確性結合在一起。這個方法對共形區域、凹空間和獨立空間都能取得相當的準確性，可以讓用戶縮小FEM求解域的范圍，從而大幅度縮短求解時間和減少求解所需占用的內存。