線性系統(tǒng)是什么

線性系統(tǒng)是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統(tǒng)。所謂疊加性是指當幾個輸入信號共同作用于系統(tǒng)時，總的輸出等于每個輸入單獨作用時產(chǎn)生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數(shù)。對于線性連續(xù)控制系統(tǒng)，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng) 。

由于線性系統(tǒng)較容易處理，許多時候會將系統(tǒng)理想化或簡化為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質(zhì)中的傳播就可以用線性系統(tǒng)來模擬。

線性系統(tǒng)的函數(shù)表達為

如圖：

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的區(qū)別

如果從系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式來觀察，線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)最明顯的區(qū)別方法就是線性系統(tǒng)遵從疊加原理，而非線性系統(tǒng)不然。

所謂疊加原理舉個例子就是：

f（x）=2x，f（y）=2y，f（x+y）=2（x+y）=2x+2y=f（x）+f（y）

舉個反例：

f（x）=2x^2，f（y）=2y^2，f（x）+f（y）=2（x^2+y^2），但f（x+y）=2（x+y）^2，兩個顯然不等。

換句話說，線性系統(tǒng)的表達式中只有狀態(tài)變量的一次項，高次、三角函數(shù)以及常數(shù)項都沒有，只要有任意一個非線性環(huán)節(jié)就是非線性系統(tǒng)。

判斷線性系統(tǒng)的例題

判斷下述微分方程所對應的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？

分析：

1）均勻性

設信號e（t）作用系統(tǒng)，響應為r（t）。當激勵Ae（t）作用于系統(tǒng)時，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，將方程兩邊乘以A，得到

這是先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運算的結果。

下面討論先線性運算，再經(jīng)系統(tǒng)的結果。顯然線性運算后的激勵為Ae（t）。而若系統(tǒng)具有均勻性的話，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，所得結果應該是

顯然式（1）不等于式（2），即系統(tǒng)不滿足均勻性。

2）疊加性

假設兩個激勵分別為e1（t）和e2（t），其相應的響應分別為r1（t）和r2（t）。根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，有下列關系成立。

這是先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運算的結果。

下面討論先線性運算，再經(jīng)系統(tǒng)的結果。顯然線性運算后的激勵為e1（t）+e2（t）。而若系統(tǒng)滿足疊加性的話，根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，所得結果應該是

顯然式（5）不等于式（6），即系統(tǒng)不滿足疊加性。

由1）和2）中的結論得知，該系統(tǒng)既不滿足均勻性，也不滿足疊加性，顯然是非線性系統(tǒng)。

延伸閱讀：

怎樣區(qū)分線性和非線性_線性與非線性的區(qū)別（線性分析、線性模型）