微軟研究人員在ICLR 2018發(fā)表了一種新的GAN（對抗網(wǎng)絡(luò)生成）訓(xùn)練方法，boundary-seeking GAN（BGAN），可基于離散值訓(xùn)練GAN，并提高了GAN訓(xùn)練的穩(wěn)定性。

對抗生成網(wǎng)絡(luò)

首先，讓我們溫習(xí)一下GAN（對抗生成網(wǎng)絡(luò)）的概念。簡單來說，GAN是要生成“以假亂真”的樣本。這個(gè)“以假亂真”，用形式化的語言來說，就是假定我們有一個(gè)模型G（生成網(wǎng)絡(luò)），該模型的參數(shù)為θ，我們要找到最優(yōu)的參數(shù)θ，使得模型G生成的樣本的概率分布Qθ與真實(shí)數(shù)據(jù)的概率分布P盡可能接近。即：

其中，D(P, Qθ)為P與Qθ差異的測度。

GAN的主要思路，是通過引入另一個(gè)模型D（判別網(wǎng)絡(luò)），該模型的參數(shù)為φ，然后定義一個(gè)價(jià)值函數(shù)（value function），找到最優(yōu)的參數(shù)φ，最大化這一價(jià)值函數(shù)。比如，最初的GAN（由Goodfellow等人在2014年提出），定義的價(jià)值函數(shù)為：

其中，Dφ為一個(gè)使用sigmoid激活輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也就是一個(gè)二元分類器。價(jià)值函數(shù)的第一項(xiàng)對應(yīng)真實(shí)樣本，第二項(xiàng)對應(yīng)生成樣本。根據(jù)公式，D將越多的真實(shí)樣本歸類為真（1），同時(shí)將越多的生成樣本歸類為假（0），D的價(jià)值函數(shù)的值就越高。

GAN的精髓就在于讓生成網(wǎng)絡(luò)G和判別網(wǎng)絡(luò)D彼此對抗，在對抗中提升各自的水平。形式化地說，GAN求解以下優(yōu)化問題：

如果你熟悉Jensen-Shannon散度的話，你也許已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，之前提到的最初的GAN的價(jià)值函數(shù)就是一個(gè)經(jīng)過拉伸和平移的Jensen-Shannon散度：2 * DJSD(P||Qθ) - log 4. 除了這一Jensen-Shannon散度的變形外，我們還可以使用其他測度衡量分布間的距離，Nowozin等人在2016年提出的f-GAN，就將GAN的概念推廣至所有f-散度，例如：

Jensen-Shannon

Kullback–Leibler

Pearson χ2

平方Hellinger

當(dāng)然，實(shí)際訓(xùn)練GAN時(shí)，由于直接計(jì)算這些f-散度比較困難，往往采用近似的方法計(jì)算。

GAN的缺陷

GAN有兩大著名的缺陷：難以處理離散數(shù)據(jù)，難以訓(xùn)練。

GAN難以處理離散數(shù)據(jù)

為了基于反向傳播和隨機(jī)梯度下降之類的方法訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)，GAN要求價(jià)值函數(shù)在生成網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)θ上完全可微。這使得GAN難以生成離散數(shù)據(jù)。

假設(shè)一下，我們給生成網(wǎng)絡(luò)加上一個(gè)階躍函數(shù)（step function），使其輸出離散值。這個(gè)階躍函數(shù)的梯度幾乎處處為0，這就使GAN無法訓(xùn)練了。

GAN難以訓(xùn)練

從直覺上說，訓(xùn)練判別網(wǎng)絡(luò)比訓(xùn)練生成網(wǎng)絡(luò)要容易得多，因?yàn)樽R(shí)別真假樣本通常比偽造真實(shí)樣本容易。所以，一旦判別網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過頭了，能力過強(qiáng)，生成網(wǎng)絡(luò)再怎么努力，也無法提高，換句話說，梯度消失了。

另一方面，如果判別網(wǎng)絡(luò)能力太差，胡亂分辨真假，甚至把真的誤認(rèn)為假的，假的誤認(rèn)為真的，那生成網(wǎng)絡(luò)就會(huì)很不穩(wěn)定，會(huì)努力學(xué)習(xí)讓生成的樣本更假——因?yàn)槿踔堑呐袆e網(wǎng)絡(luò)會(huì)把某些假樣本當(dāng)成真樣本，卻把另一些真樣本當(dāng)成假樣本。

還有一個(gè)問題，如果生成網(wǎng)絡(luò)湊巧在生成某類真樣本上特別得心應(yīng)手，或者，判別網(wǎng)絡(luò)對某類樣本的辨別能力相對較差，那么生成網(wǎng)絡(luò)會(huì)揚(yáng)長避短，盡量多生成這類樣本，以增大騙過判別網(wǎng)絡(luò)的概率，這就導(dǎo)致了生成樣本的多樣性不足。

所以，判別網(wǎng)絡(luò)需要訓(xùn)練得恰到好處才可以，這個(gè)火候非常難以控制。

強(qiáng)化學(xué)習(xí)和BGAN

那么，該如何避免GAN的缺陷呢？

我們先考慮離散值的情況。之所以GAN不支持生成離散值，是因?yàn)樯呻x散值導(dǎo)致價(jià)值函數(shù)（也就是GAN優(yōu)化的目標(biāo)）不再處處可微了。那么，如果我們能對GAN的目標(biāo)做一些手腳，使得它既處處可微，又能衡量離散生成值的質(zhì)量，是不是可以讓GAN支持離散值呢？

關(guān)鍵在于，我們應(yīng)該做什么樣的改動(dòng)？關(guān)于這個(gè)問題，可以從強(qiáng)化學(xué)習(xí)中得到靈感。實(shí)際上，GAN和強(qiáng)化學(xué)習(xí)很像，生成網(wǎng)絡(luò)類似強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的智能體，而騙過判別網(wǎng)絡(luò)類似強(qiáng)化學(xué)習(xí)中的獎(jiǎng)勵(lì)，價(jià)值函數(shù)則是強(qiáng)化學(xué)習(xí)中也有的概念。而強(qiáng)化學(xué)習(xí)除了可以根據(jù)價(jià)值函數(shù)進(jìn)行外，還可以根據(jù)策略梯度（policy gradient）進(jìn)行。根據(jù)價(jià)值函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，基于價(jià)值函數(shù)的值調(diào)整策略，迭代計(jì)算價(jià)值函數(shù)，價(jià)值函數(shù)最優(yōu)，意味著當(dāng)前策略是最優(yōu)的。而根據(jù)策略梯度進(jìn)行時(shí)，直接學(xué)習(xí)策略，通過迭代計(jì)算策略梯度，調(diào)整策略，取得最大期望回報(bào)。

咦？這個(gè)策略梯度看起來很不錯(cuò)呀。引入策略梯度解決了離散值導(dǎo)致價(jià)值函數(shù)不是處處可微的問題。更妙的是，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，基于策略梯度學(xué)習(xí)，有時(shí)能取得比基于值函數(shù)學(xué)習(xí)更穩(wěn)定、更好的效果。類似地，引入策略梯度后GAN不再直接根據(jù)是否騙過判別網(wǎng)絡(luò)調(diào)整生成網(wǎng)絡(luò)，而是間接基于判別網(wǎng)絡(luò)的評價(jià)計(jì)算目標(biāo)，可以提高訓(xùn)練的穩(wěn)定度。

BGAN（boundary-seeking GAN）的思路正是如此。

BGAN論文的作者首先證明了目標(biāo)密度函數(shù)p(x)等于(?f/?T)(T(x))qθ(x)。其中，f為生成f-散度的函數(shù)，f*為f的凸共軛函數(shù)。

令w(x) = (?f/?T)(T*(x))，則上式可以改寫為：

p(x) = (w*(x))qθ(x)

這樣改寫后，很明顯了，這可以看成一個(gè)重要性采樣（importance sampling）問題。（重要性采樣是強(qiáng)化學(xué)習(xí)中推導(dǎo)策略梯度的常用方法。）相應(yīng)地，w*(x)為最優(yōu)重要性權(quán)重（importance weight）。

類似地，令w(x) = (?f*/?T)(T(x))，我們可以得到f-散度的重要性權(quán)重估計(jì)：

其中，β為分區(qū)函數(shù)：

使用重要性權(quán)重作為獎(jiǎng)勵(lì)信號，可以得到基于KL散度的策略梯度：

然而，由于這一策略梯度需要估計(jì)分區(qū)函數(shù)β（比如，使用蒙特卡洛法），因此，方差通常會(huì)比較大。因此，論文作者基于歸一化的重要性權(quán)重降低了方差。

令

其中，gθ(x | z): Z -> [0, 1]d為條件密度，h(z)為z的先驗(yàn)。

令分區(qū)函數(shù)

則歸一化的條件權(quán)重可定義為

由此，可以得到期望條件KL散度：

令x(m)~ gθ(x | z)為取自先驗(yàn)的樣本，又令

為使用蒙特卡洛估計(jì)的歸一化重要性權(quán)重，則期望條件KL散度的梯度為：

如此，論文作者成功降低了梯度的方差。

此外，如果考慮逆KL散度的梯度，則我們有：

上式中，靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的輸出Fφ(x)可以視為獎(jiǎng)勵(lì)（reward），b可以視為基線（baseline）。因此，論文作者將其稱為基于強(qiáng)化的BGAN。

試驗(yàn)

離散

為了驗(yàn)證BGAN在離散設(shè)定下的表現(xiàn)，論文作者首先試驗(yàn)了在CIFAR-10上訓(xùn)練一個(gè)分類器。結(jié)果表明，搭配不同f-散度的基于重要性取樣、強(qiáng)化的BGAN均取得了接近基線（交叉熵）的表現(xiàn)，大大超越了WGAN（權(quán)重裁剪）的表現(xiàn)。

在MNIST上的試驗(yàn)表明，BGAN可以生成穩(wěn)定、逼真的手寫數(shù)字：

在MNIST上與WGAN-GP（梯度懲罰）的比較顯示，采用多種距離衡量，包括Wasserstein距離，BGAN都取得了更優(yōu)的表現(xiàn)：

在quantized版本的CelebA數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)：

左為降采樣至32x32的原圖，右為BGAN生成的圖片

下為隨機(jī)選取的在1-billion word數(shù)據(jù)集上訓(xùn)練的BGAN上生成的文本的3個(gè)樣本：

雖然這個(gè)效果還比不上當(dāng)前最先進(jìn)的基于RNN的模型，但此前尚無基于GAN訓(xùn)練離散值的模型能實(shí)現(xiàn)如此效果。

連續(xù)

論文作者試驗(yàn)了BGAN在CelebA、ImageNet、LSUN數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)，均能生成逼真的圖像：

在CIFAR-10與原始GAN、使用代理損失（proxy loss）的DCGAN的比較表明，BGAN的表現(xiàn)和訓(xùn)練穩(wěn)定性都是最優(yōu)的：