磁懸浮軸承廣泛用在各種工業(yè)應(yīng)用中，比如發(fā)電、石油提煉、渦輪機(jī)械、泵機(jī)和飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)。和機(jī)械軸承不同的是，這類(lèi)軸承是利用磁懸浮而非物理接觸來(lái)支承移動(dòng)載荷的。由于磁懸浮軸承運(yùn)行時(shí)不產(chǎn)生摩擦且無(wú)需潤(rùn)滑，維護(hù)費(fèi)用也低，因此正逐漸取代機(jī)械軸承，更何況這種軸承的使用壽命還更長(zhǎng)。現(xiàn)在我們一起來(lái)了解如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件計(jì)算磁力、扭矩和磁剛度等設(shè)計(jì)參數(shù)。

磁懸浮軸承的類(lèi)型

根據(jù)工作方式的不同，磁懸浮軸承 可以分為兩種類(lèi)型：有源磁軸承（AMB）或無(wú)源磁軸承（PMB）。有源磁軸承依靠鐵磁材料和電磁體（線(xiàn)圈和鐵芯）之間的吸引力起作用。無(wú)源磁軸承依靠永磁體（PM）之間和/或傳導(dǎo)面與永磁體之間的排斥力起作用。

有源磁軸承

有源磁軸承由一個(gè)靜止零件定子 和一個(gè)旋轉(zhuǎn)零件轉(zhuǎn)子 構(gòu)成，定子包含電磁體和位置傳感器，轉(zhuǎn)子圍繞軸旋轉(zhuǎn)。在正常工作條件下，最理想的情況是，轉(zhuǎn)子位于中心，與定子相隔一定的間隙，且間隙長(zhǎng)度相等。不過(guò)，在遇到干擾時(shí)，轉(zhuǎn)子的位置會(huì)受控于一個(gè)閉環(huán)反饋系統(tǒng)。傳感器測(cè)量出轉(zhuǎn)子的位置發(fā)生變化，隨后將之傳送到數(shù)字控制器。數(shù)字控制器處理好數(shù)據(jù)后，將信號(hào)傳送給功率放大器。后者重新調(diào)整電磁體的電流，推動(dòng)轉(zhuǎn)子回到原來(lái)的位置。為了重新調(diào)整轉(zhuǎn)子，設(shè)計(jì)人員必須要知道轉(zhuǎn)子處于不同偏移位置時(shí)的磁力以及相應(yīng)的電流，這一點(diǎn)很重要。

有源磁軸承組件的示意圖。圖片屬于公有領(lǐng)域，通過(guò) Wikimedia Commons 共享。

有源磁軸承的優(yōu)點(diǎn)是能主動(dòng)控制轉(zhuǎn)子的位置，但與此同時(shí)，這也造成電子電路功耗較大，運(yùn)行成本較高。當(dāng)然，我們可以通過(guò)優(yōu)化電磁體的設(shè)計(jì)，降低運(yùn)行所需的功率，從而減少運(yùn)行成本。COMSOL Multiphysics 便是這一優(yōu)化過(guò)程中可以使用的有用工具。

在模擬包括定子和轉(zhuǎn)子在內(nèi)的有源磁軸承時(shí)，最佳途徑是使用“AC/DC 模塊”中的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁 接口。這個(gè)模擬過(guò)程與發(fā)電機(jī)或電動(dòng)機(jī)的模擬非常相似，請(qǐng)查閱我們的二維發(fā)電機(jī)教程。

使用磁場(chǎng) 接口可以模擬永磁體和導(dǎo)電線(xiàn)圈（單匝或多匝線(xiàn)圈）。但是由于存在旋轉(zhuǎn)，所以無(wú)法模擬感應(yīng)電流。如果感應(yīng)電流可以忽略不計(jì)，那么模型就可以建立在穩(wěn)態(tài)域或頻域，并對(duì)轉(zhuǎn)子的各個(gè)位置添加參數(shù)化掃描研究，從而計(jì)算磁力或扭矩。

無(wú)源磁軸承

無(wú)源磁軸承 使用永磁體，不需要傳感器和控制電路或輸入功率。永磁體上兩個(gè)磁極之間的磁斥力使空氣間隙的長(zhǎng)度保持不變，如永久磁軸承所示，或者依靠永磁體與旋轉(zhuǎn)導(dǎo)電盤(pán)或軸之間的電動(dòng)懸浮（EDS）也可以使這個(gè)長(zhǎng)度保持不變，如電動(dòng)軸承所示。 使用永磁體的無(wú)源磁軸承的幾何與仿真結(jié)果顯示如下。

左圖：使用永磁體的軸向磁懸浮軸承的幾何。黑色箭頭表示永磁體的磁化方向。右圖：顯示磁通密度（箭頭圖）的結(jié)果圖以及磁通密度模的曲面圖。

電動(dòng)軸承

當(dāng)導(dǎo)電的轉(zhuǎn)子在永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)中旋轉(zhuǎn)時(shí)，這個(gè)轉(zhuǎn)子上會(huì)感應(yīng)出渦流。這些渦流反過(guò)來(lái)會(huì)形成一個(gè)與永磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相反的磁場(chǎng)，從而在旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子導(dǎo)體與靜態(tài)永磁體之間產(chǎn)生排斥力。轉(zhuǎn)子的位移一直在這一磁斥力的作用下保持不變。因此，轉(zhuǎn)子在中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，間隙的長(zhǎng)度不變。

電動(dòng)軸承可進(jìn)一步分為徑向電動(dòng)軸承和軸向電動(dòng)軸承。磁通量與轉(zhuǎn)子軸平行時(shí)為徑向電動(dòng)軸承，磁通量與轉(zhuǎn)子軸垂直時(shí)為軸向電動(dòng)軸承。

徑向電動(dòng)軸承

徑向電動(dòng)軸承 由一個(gè)固定在旋轉(zhuǎn)軸上的導(dǎo)電圓柱體構(gòu)成。永磁體零件堆疊在鐵環(huán)之間，定子和轉(zhuǎn)子間的空氣間隙中會(huì)產(chǎn)生與軸線(xiàn)平行的朝內(nèi)或朝外的磁通量。電動(dòng)軸承教程是使用磁場(chǎng)和電場(chǎng) 接口求解的，可從“案例下載”中下載。還計(jì)算了不同偏移位置上的磁力。

左圖：徑向電動(dòng)軸承的三維幾何。右圖：顯示有定子（鐵芯和磁體）的磁通密度（x 軸偏移位置為 1.5 毫米時(shí)）以及導(dǎo)電轉(zhuǎn)子中渦流（灰度標(biāo)）的徑向電動(dòng)軸承。

軸向電動(dòng)軸承

軸向電動(dòng)軸承的截面剖視圖配置如下所示。導(dǎo)電盤(pán)貼著轉(zhuǎn)子，磁性材料（軛鐵）用于引導(dǎo)永磁體的磁場(chǎng)，從而使磁通線(xiàn)平行于轉(zhuǎn)子軸。這就是術(shù)語(yǔ)軸向電動(dòng)軸承 的由來(lái)。

在這個(gè)設(shè)計(jì)中，空氣間隙相對(duì)較小，磁通路徑十分高效。相關(guān)的完整教程可以從“案例下載”中下載。

左圖：軸向電動(dòng)軸承的截面剖視圖。右圖：顯示有定子磁通密度和導(dǎo)電轉(zhuǎn)子渦流的軸向電動(dòng)軸承。還顯示了箭頭圖。

上述兩個(gè)電動(dòng)軸承示例在 COMSOL Multiphysics 中都是用磁場(chǎng)和電場(chǎng) 接口模擬的。在這兩個(gè)示例中，速度（洛倫茲項(xiàng)） 特征都用于指定旋轉(zhuǎn)速度。使用這個(gè)方法后，就無(wú)需利用移動(dòng)網(wǎng)格 接口考慮轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)了。

請(qǐng)注意，只有當(dāng)移動(dòng)域不包含隨材料一起移動(dòng)的指定磁源，如線(xiàn)圈或永磁體（固定或感應(yīng)的）時(shí)，才可以使用“速度（洛倫茲項(xiàng)）”特征。移動(dòng)域的運(yùn)動(dòng)方向必須保持不變。比如，“速度（洛倫茲項(xiàng)）”特征可以用于模擬導(dǎo)電的（非磁性的）均勻旋轉(zhuǎn)盤(pán)。相關(guān)的例子有電磁制動(dòng)器、電動(dòng)軸承、單極發(fā)電機(jī)、無(wú)限均勻移動(dòng)平面上的磁體（如磁鐵在銅管中下落或磁懸浮列車(chē)）以及流經(jīng)磁體的均勻?qū)щ娏黧w的流動(dòng)（如液態(tài)金屬泵或霍爾發(fā)生器/霍爾推進(jìn)器）。

注：洛倫茲項(xiàng)準(zhǔn)確地描述了移動(dòng)域中由穩(wěn)態(tài)磁源引起的感應(yīng)現(xiàn)象，前提是移動(dòng)域（包括其材料屬性）不會(huì)隨運(yùn)動(dòng)方向而變化。此外，感應(yīng)現(xiàn)象可能是由于穩(wěn)態(tài)源的強(qiáng)度或不斷改變的速度的短暫變化引起的。洛倫茲項(xiàng)不會(huì)考慮到此類(lèi)短暫變化帶來(lái)的影響。

磁力/扭矩

COMSOL Multiphysics 中有兩種方法可用于計(jì)算電磁力和扭矩。最常見(jiàn)的方法是 Maxwell 應(yīng)力張量 法，常用于以下接口中的計(jì)算力 特征：磁場(chǎng) 接口；磁場(chǎng)，無(wú)電流 接口；磁場(chǎng)和電場(chǎng) 接口；以及旋轉(zhuǎn)機(jī)械，磁接口。

舉例來(lái)說(shuō)，添加了計(jì)算力 特征后，就可以在磁場(chǎng)接口中使用磁力的空間分量 (mf.Forcex_0, mf.Forcey_0, mf.Forcez_0) 和軸向扭矩 ( mf.Tax_0) 進(jìn)行后處理。計(jì)算力 特征只對(duì) Maxwell 應(yīng)力進(jìn)行積分，僅計(jì)算選定的一個(gè)域（或多個(gè)域）外側(cè)以及可選擇域的整個(gè)外部邊界上的應(yīng)力，這幾個(gè)域應(yīng)當(dāng)是一起移動(dòng)的一組域（一個(gè)機(jī)械體）。因?yàn)檫@種方法基于表面積分，所以計(jì)算的力易受網(wǎng)格大小的影響。使用這種方法時(shí)，往往需要執(zhí)行網(wǎng)格細(xì)化研究，才能使計(jì)算得到的力或扭矩正確。

如果應(yīng)用了“計(jì)算力”特征的域與外部邊界、周期性邊界和一致對(duì)相接觸，則“計(jì)算力”得到的結(jié)果可能不正確。而且，要計(jì)算附加在鐵磁表面的磁體的力，接觸邊界上必須指派一個(gè)薄低磁導(dǎo)率間隙（在靜電邊界則指派薄低介電常數(shù)間隙），因?yàn)橐?jì)算的是空氣中的 Maxwell 應(yīng)力，而不是鐵磁（電介質(zhì)）材料中的 Maxwell 應(yīng)力。

第二種方法是洛倫茲力法，僅適用于計(jì)算非磁性導(dǎo)電域中的磁力這種特殊情況。洛倫茲力定義為 F = J × B，其中 J 表示電流密度，B 表示磁通密度。洛倫茲力能十分準(zhǔn)確地計(jì)算導(dǎo)電域中的力，因?yàn)槠溆?jì)算依據(jù)的是體積而非邊界。因此，盡可能優(yōu)先使用洛倫茲力法，而非 Maxwell 應(yīng)力張量法。

除了以上提到的內(nèi)置方法之外，還可以使用虛功法或虛位移原理計(jì)算磁力和扭矩。在這一技巧中，力的計(jì)算也就是研究少量位移對(duì)電磁能的影響。在 COMSOL Multiphysics 中通過(guò)使用針對(duì)變形網(wǎng)格和靈敏度分析的特征，可以實(shí)現(xiàn)虛功法。

磁剛度

在固體力學(xué)中，剛度表示一個(gè)物體的硬度，即物體在受力時(shí)抵抗變形的程度。在磁懸浮軸承應(yīng)用中，這個(gè)參數(shù)相應(yīng)地定義為磁剛度，它是總磁力相對(duì)于位置的負(fù)導(dǎo)數(shù)。如果磁力為

鏈接教程闡述了如何利用該方法計(jì)算軸向磁懸浮軸承的磁剛度。不過(guò)這個(gè)示例僅適用于二維軸對(duì)稱(chēng)的軸承，因此無(wú)法得到 x 向和 y 向的磁剛度。要計(jì)算所有方向上的磁剛度，需要在三維中模擬此問(wèn)題。下面，我們將對(duì)上述軸向磁懸浮軸承創(chuàng)建一個(gè)三維模型，并確定其剛度 kx 。可以從“案例下載”中下載這個(gè)示例教程。

這個(gè)方法主要涉及使用磁場(chǎng)，變形幾何 接口以及靈敏度 接口。同二維模型一樣，我們也會(huì)用到磁場(chǎng) 接口。磁體模擬時(shí)使用了安培定律 特征，其本構(gòu)關(guān)系設(shè)置為 1[T] 的剩余磁通密度。計(jì)算力 只須添加到內(nèi)部磁體，并將幾何參數(shù)化，使內(nèi)部磁體的位置在 x 方向上存在 x0 的偏移。參數(shù)x0 隨后會(huì)用于參數(shù)化掃描。另外，變形幾何 接口將用于分析向 x 方向的附加（虛擬）網(wǎng)格位移 dx所施加的力的靈敏度。計(jì)算 x 向的磁剛度時(shí)這里僅使用四分之一幾何。

注意，此配置中僅正確計(jì)算了 x 軸上的力。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，y 向和 z 向的力應(yīng)當(dāng)為零。不過(guò)因?yàn)閮H模擬了四分之一幾何，所以計(jì)算出的力會(huì)相當(dāng)大。同樣地，還可以計(jì)算 y 向的剛度，即根據(jù) yz 平面和 xy 平面分別對(duì)稱(chēng)地切割整個(gè)模型，獲得四分之一模型并對(duì)其進(jìn)行分析。

左圖：用于計(jì)算剛度的軸向磁懸浮軸承的四分之一三維模型。右圖：半個(gè)模型中的磁通密度模和磁通密度箭頭圖。結(jié)果是使用“三維鏡像”數(shù)據(jù)集在 xy 平面繪制的。

變形幾何接口對(duì)無(wú)限元域以外的所有其他域都進(jìn)行了求解。要求解這個(gè)區(qū)域，首先在磁體附近的空氣域添加一個(gè)自由變形 節(jié)點(diǎn)。同樣地，可以向沿 x 軸的內(nèi)部磁體域添加一個(gè)指定的變形 dx。最后，向內(nèi)部磁體邊界和對(duì)稱(chēng)的截平面邊界添加兩個(gè)指定網(wǎng)格位移節(jié)點(diǎn)，如下圖所示。

內(nèi)部磁體域上設(shè)置的指定變形。

內(nèi)部磁體邊界上設(shè)置的指定網(wǎng)格位移。

對(duì)稱(chēng)截平面上設(shè)置的指定網(wǎng)格位移。

在靈敏度 接口中添加全局目標(biāo) 特征，在“全局目標(biāo)”設(shè)定下的目標(biāo)表達(dá)式中指定 x 向的總力（即，4*mf.Forcex_0）。這里，mf.Forcex_0 指磁場(chǎng) 接口中“計(jì)算力”特征計(jì)算出的 Maxwell 應(yīng)力張量力的 x 分量。同樣地，添加全局控制變量 dX，如下圖所示。

全局目標(biāo)設(shè)置（左圖）和全局控制變量設(shè)置（右圖）。

因?yàn)殪`敏度（和優(yōu)化）研究不能與參數(shù)化掃描 研究節(jié)點(diǎn)合并，所以模型必須在兩個(gè)單獨(dú)的研究中求解。第一個(gè)研究包含靈敏度求解器和穩(wěn)態(tài)求解器。隨后的第二個(gè)研究包含參數(shù)化掃描研究，但會(huì)使用研究 1 作為參考。對(duì)參數(shù) X0 在 range(0,1.5/20,1.5) 區(qū)間內(nèi)執(zhí)行參數(shù)化掃描，其設(shè)置如下。

左圖：靈敏度分析的穩(wěn)態(tài)研究設(shè)置。右圖：以研究 1 為參考的參數(shù)化掃描研究設(shè)置。

將 x 軸上的磁力和 x 向的磁剛度繪制為一維全局圖。

磁力圖的設(shè)置（左圖）和磁剛度的設(shè)置（右圖）。

左圖：電磁力的 x 分量是 x 軸上偏移的函數(shù)。右圖：磁剛度kxx 是 x 軸上偏移的函數(shù)。

總結(jié)

在本文中，我們討論了使用 COMSOL Multiphysics 的 “AC/DC 模塊”的接口可以模擬的幾類(lèi)磁懸浮軸承。仿真簡(jiǎn)化了這幾類(lèi)軸承設(shè)計(jì)參數(shù)的計(jì)算方法，從而優(yōu)化了軸承性能，延長(zhǎng)了使用壽命。