1 原理

1.1 引入

線性回歸是最為常用的一種數(shù)據(jù)分析手段，通常我們拿到一組數(shù)據(jù)后，都會(huì)先看一看數(shù)據(jù)中各特征之間是否存在明顯的線性關(guān)系。例如，現(xiàn)在我們拿到了一組學(xué)校中所有學(xué)生基本資料的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)以二維表格的形式呈現(xiàn)，如下表所示。

示例數(shù)據(jù)表

每行代表一個(gè)學(xué)生，每列代表該學(xué)生的一個(gè)屬性（或稱為特征），那么如果我們對(duì)特征進(jìn)行仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)身高和年齡總是呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)成績與物理成績也基本呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。那么我們是否可以給這樣的兩個(gè)特征之間擬合出一條近似的直線來表達(dá)他們之間的線性函數(shù)關(guān)系呢？這里我們的想法其實(shí)就是機(jī)器學(xué)習(xí)的世界觀：數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)構(gòu)建模型。

1.2 模型

只不過這里的模型非常簡單，只是線性模型，也就是一條直線方程，通長我們可以表達(dá)成如下公式：

這里，數(shù)據(jù)中我們將某一特征列作為自變量 x （例如身高），因變量 y （如體重）也就是我們想要預(yù)測的值， x 和 y 都已知，現(xiàn)在的任務(wù)就是：加入新增了一個(gè) x ，而其對(duì)應(yīng)的 y 未知，那么我們?cè)撊绾晤A(yù)測出一個(gè) 它？顯然，我們需要構(gòu)建 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系：對(duì)于身高體重這樣的簡單問題而言，就可以直接使用上述的線性方程作為我們想要擬合的模型。

接下來的問題就是，如何擬合這個(gè)模型，也就是說，如何求得線性模型中的兩個(gè)參數(shù) w 和 b？

1.3 損失函數(shù)

要求解最佳的參數(shù)，首先我們需要讓計(jì)算機(jī)知道一個(gè)目標(biāo)，畢竟解決任何問題都需要確立一個(gè)明確的目標(biāo)才行，對(duì)于計(jì)算機(jī)這樣的數(shù)字世界，我們就需要給它確定一個(gè)定量化的目標(biāo)函數(shù)式，在優(yōu)化問題中，我們通常稱之為目標(biāo)函數(shù)，或者損失函數(shù)（Loss function）。無論我們選擇什么樣的模型，最終都是可以得到一組預(yù)測值 ，對(duì)比已有的真實(shí)值 y ，數(shù)據(jù)行數(shù)為 n ，我們很自然地可以將損失函數(shù)定義如下：

即預(yù)測值與真實(shí)值之間的平均的平方距離，統(tǒng)計(jì)中我們一般稱其為MAE（mean square error）均方誤差。把之前我們確定的 帶入損失函數(shù)：

注意，對(duì)于損失函數(shù) L 而言，其自變量不再是我們習(xí)慣中的 x（其實(shí) x 和 y 都是在訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的已知值），損失函數(shù) L 的自變量應(yīng)該是我們要求解的參數(shù) w 和 b，因此我們可以把損失函數(shù)重新記為：

現(xiàn)在，我們的任務(wù)就是希望把這個(gè)損失函數(shù)交給計(jì)算機(jī)，然后跟計(jì)算機(jī)說，幫我把這個(gè)函數(shù)最小化，然后告訴我 L 最小時(shí)的一組 w 和 b 是多少就行了。但是顯然計(jì)算機(jī)還沒那么聰明，它并不知道怎么算，我們還是要靠自己解決。

核心的優(yōu)化目標(biāo)式：

這里有兩種方式：

一種是“最小二乘法”（least square method），可直接求解；

另一種是梯度下降（gradient descent），有關(guān)梯度下降的方法原理可參考我之前這篇文章 -》 ［link］。

1.4 最小二乘法

求解 和 是使損失函數(shù)最小化的過程，在統(tǒng)計(jì)中，稱為線性回歸模型的最小二乘“參數(shù)估計(jì)”（parameter estimation）。我們可以將 L 分別對(duì) w 和 b 求導(dǎo)，得到：

令上述兩式為0，可得到 w 和 b 最優(yōu)解的閉式（closed-form）解：

1.5 梯度下降法求解

2 代碼實(shí)現(xiàn) （使用梯度下降法）

首先建立 liner_regression.py 文件，用于實(shí)現(xiàn)線性回歸的類文件，包含了線性回歸內(nèi)部的核心函數(shù)。

建立 train.py 文件，用于生成模擬數(shù)據(jù)，并調(diào)用 liner_regression.py 中的類，完成線性回歸任務(wù)。

顯示結(jié)果：

原始數(shù)據(jù)x， y和擬合的直線方程

利用梯度下降法優(yōu)化過程中損失函數(shù)的下降情況