從前面的學習中，帶大家一起學會了如何手動搭建神經網絡，以及神經網絡的正則化等實用層面的內容。這些都使得我們能夠更深入的理解神經網絡的機制，而并不是初次接觸深度學習就上手框架，雖然對外宣稱神經網絡是個黑箱機制，但是作為學習者我們極度有必要搞清楚算法在每個環節到底都干了些什么。

今天講的是深度學習的一個大的主題——優化算法。采用何種方式對損失函數進行迭代優化，這是機器學習的一大主題之一，當一個機器學習問題有了具體的模型和評估策略，所有的機器學習問題都可以形式化為一個最優化問題。這也是為什么我們說優化理論和凸優化算法等學科是機器學習一大支柱的原因所在。從純數學的角度來看，所有的數學模型盡管形式不一，各有頭面，但到最后幾乎到可以歸約為最優化問題。所以，有志于奮戰在機器學習和深度學習領域的各位，學好最優化，責無旁貸啊。

要說機器學習和深度學習的優化算法，梯度下降必然是核心所在。神經網絡發展至今，優化算法層出不窮，但大底是出不了梯度下降的框框架架。這一篇筆記，筆者就和大家一起學習和回顧深度學習中常用的優化算法。在前面手動搭建神經網絡的代碼實踐中，我們對于損失函數的優化采用了一般的梯度下降法，所以本篇總結就從梯度下降法開始。

梯度下降法 Gradient Descent

想必大家對于梯度下降是很熟悉了，選擇負梯度方向進行參數更新算是常規操作了。話不多說，對于多層神經網絡如何執行梯度下降：

defupdate_parameters_with_gd(parameters,grads,learning_rate):
"""
Updateparametersusingonestepofgradientdescent

Arguments:
parameters--pythondictionarycontainingyourparameterstobeupdated:
parameters['W'+str(l)]=Wl
parameters['b'+str(l)]=bl
grads--pythondictionarycontainingyourgradientstoupdateeachparameters:
grads['dW'+str(l)]=dWl
grads['db'+str(l)]=dbl
learning_rate--thelearningrate,scalar.
Returns:
parameters--pythondictionarycontainingyourupdatedparameters
"""
L=len(parameters)//2#numberoflayersintheneuralnetworks
#Updateruleforeachparameter
forlinrange(L):
parameters['W'+str(l+1)]=parameters['W'+str(l+1)]-learning_rate*grads['dW'+str(l+1)]
parameters['b'+str(l+1)]=parameters['b'+str(l+1)]-learning_rate*grads['db'+str(l+1)]
returnparameters

在上述代碼中，我們傳入含有權值和偏置的字典、梯度字段和更新的學習率作為參數，按照開頭的公式編寫權值更新代碼，一個簡單的多層網絡的梯度下降算法就寫出來了。

小批量梯度下降法 mini-batch Gradient Descent

在工業數據環境下，直接對大數據執行梯度下降法訓練往往處理速度緩慢，這時候將訓練集分割成小一點的子集進行訓練就非常重要了。這個被分割成的小的子集就叫做 mini-batch，意為小批量。對每一個小批量同時執行梯度下降會大大提高訓練效率。在實際利用代碼實現的時候，小批量梯度下降算法通常包括兩個步驟：充分打亂數據（shuffle）和分組組合數據(partition)。如下圖所示。

shuffle

partition

具體代碼實現為：

def random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size = 64, seed = 0):
  """
  Creates a list of random minibatches from (X, Y)

  Arguments:
  X -- input data, of shape (input size, number of examples)
  Y -- true "label" vector (1 for blue dot / 0 for red dot), of shape (1, number of examples)
  mini_batch_size -- size of the mini-batches, integer

  Returns:
  mini_batches -- list of synchronous (mini_batch_X, mini_batch_Y)
  """

  np.random.seed(seed)    
  m = X.shape[1]         
  mini_batches = []  # Step 1: Shuffle (X, Y)
  permutation = list(np.random.permutation(m))
  shuffled_X = X[:, permutation]
  shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))  # Step 2: Partition (shuffled_X, shuffled_Y). Minus the end case.
  num_complete_minibatches = math.floor(m/mini_batch_size) 
  for k in range(0, num_complete_minibatches):
    mini_batch_X = shuffled_X[:, 0:mini_batch_size]
    mini_batch_Y = shuffled_Y[:, 0:mini_batch_size]

    mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
    mini_batches.append(mini_batch)  # Handling the end case (last mini-batch < mini_batch_size)
  if m % mini_batch_size != 0:
    mini_batch_X = shuffled_X[:, 0: m-mini_batch_size*math.floor(m/mini_batch_size)]
    mini_batch_Y = shuffled_Y[:, 0: m-mini_batch_size*math.floor(m/mini_batch_size)]

    mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
    mini_batches.append(mini_batch)  
  return mini_batches

小批量梯度下降的實現思路非常清晰，先打亂數據在分組數據，需要注意的細節在于最后一個小批量所含的訓練樣本數，通常而言最后一個小批量會少于前面批量所含樣本數。

隨機梯度下降 Stochastic Gradient Descent

當小批量所含的訓練樣本數為 1 的時候，小批量梯度下降法就變成了隨機梯度下降法（SGD）。SGD雖然以單個樣本為訓練單元訓練速度會很快，但犧牲了向量化運算所帶來的便利性，在較大數據集上效率并不高。
我們可以看一下梯度下降和隨機梯度下降在實現上的差異：

# GD
X = data_input
Y = labels
parameters = initialize_parameters(layers_dims)
for i in range(0, num_iterations):  # Forward propagation
  a, caches = forward_propagation(X, parameters)  # Compute cost.
  cost = compute_cost(a, Y)  # Backward propagation.
  grads = backward_propagation(a, caches, parameters)  # Update parameters.
  parameters = update_parameters(parameters, grads)

# SGDX = data_input
Y = labels
parameters = initialize_parameters(layers_dims)
for i in range(0, num_iterations):  
  for j in range(0, m):    # Forward propagation
    a, caches = forward_propagation(X[:,j], parameters)    # Compute cost
    cost = compute_cost(a, Y[:,j])    # Backward propagation
    grads = backward_propagation(a, caches, parameters)    # Update parameters.
    parameters = update_parameters(parameters, grads)

所以，從本質上看，梯度下降法、小批量梯度下降法和隨機梯度下降法，并沒有區別。唯一的區別就在于它們執行一次訓練過程所需要用到的訓練樣本數。梯度下降法用到的是全集訓練數據，隨機梯度下降則是單個樣本數據，而小批量則是介于二者之間。

帶動量的梯度下降法（momentum）

正如上圖中看到的一樣，我們假設梯度下降的橫向為參數 W 的下降方向，而偏置 b 的下降方向為縱軸，我們總是希望在縱軸上的震蕩幅度小一點，學習速度慢一點，而在橫軸上學習速度快一點，無論是小批量梯度下降還是隨機梯度下降，好像都不能避免這個問題。為了解決這個問題，帶動量的梯度下降法來了。帶動量的梯度下降考慮歷史梯度的加權平均值作為速率進行優化。執行公式如下：

根據上述公式編寫帶動量的梯度下降法實現代碼：

defupdate_parameters_with_momentum(parameters,grads,v,beta,learning_rate):
"""
UpdateparametersusingMomentum

Arguments:
parameters--pythondictionarycontainingyourparameters:
parameters['W'+str(l)]=Wl
parameters['b'+str(l)]=bl
grads--pythondictionarycontainingyourgradientsforeachparameters:
grads['dW'+str(l)]=dWl
grads['db'+str(l)]=dbl
v--pythondictionarycontainingthecurrentvelocity:
v['dW'+str(l)]=...
v['db'+str(l)]=...
beta--themomentumhyperparameter,scalar
learning_rate--thelearningrate,scalar

Returns:
parameters--pythondictionarycontainingyourupdatedparameters
v--pythondictionarycontainingyourupdatedvelocities
"""

L=len(parameters)//2#numberoflayersintheneuralnetworks

#Momentumupdateforeachparameter
forlinrange(L):#computevelocities
v['dW'+str(l+1)]=beta*v['dW'+str(l+1)]+(1-beta)*grads['dW'+str(l+1)]
v['db'+str(l+1)]=beta*v['db'+str(l+1)]+(1-beta)*grads['db'+str(l+1)]#updateparameters
parameters['W'+str(l+1)]=parameters['W'+str(l+1)]-learning_rate*v['dW'+str(l+1)]
parameters['b'+str(l+1)]=parameters['b'+str(l+1)]-learning_rate*v['db'+str(l+1)]
returnparameters,v

實現帶動量的梯度下降的關鍵點有兩個：一是動量是考慮歷史梯度進行梯度下降的，二是這里的需要指定的超參數變成了兩個：一個是學習率 learning_rate，一個是梯度加權參數beta。

Adam算法

Adam 全稱為 Adaptive Moment Estimation，是在帶動量的梯度下降法的基礎上融合了一種稱為 RMSprop（加速梯度下降）的算法而成的。相較于帶動量的梯度下降法，無論是RMSprop 還是 Adam，其中的改進思路都在于如何讓橫軸上的學習更快以及讓縱軸上的學習更慢。RMSprop 和 Adam 在帶動量的梯度下降法的基礎上，引入了平方梯度，并對速率進行了偏差糾正。具體計算公式如下：

實現代碼如下：

def update_parameters_with_adam(parameters, grads, v, s, t, learning_rate = 0.01,
                beta1 = 0.9, beta2 = 0.999, epsilon = 1e-8):
  """
  Update parameters using Adam

  Arguments:
  parameters -- python dictionary containing your parameters:
          parameters['W' + str(l)] = Wl
          parameters['b' + str(l)] = bl
  grads -- python dictionary containing your gradients for each parameters:
          grads['dW' + str(l)] = dWl
          grads['db' + str(l)] = dbl
  v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary
  s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary
  learning_rate -- the learning rate, scalar.
  beta1 -- Exponential decay hyperparameter for the first moment estimates 
  beta2 -- Exponential decay hyperparameter for the second moment estimates 
  epsilon -- hyperparameter preventing division by zero in Adam updates

  Returns:
  parameters -- python dictionary containing your updated parameters 
  v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary
  s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary
  """

  L = len(parameters) // 2         
  v_corrected = {}            
  s_corrected = {}             

  # Perform Adam update on all parameters
  for l in range(L):
    v["dW" + str(l+1)] = beta1 * v["dW" + str(l+1)] + (1 - beta1) * grads['dW'+str(l+1)]
    v["db" + str(l+1)] = beta1 * v["db" + str(l+1)] + (1 - beta1) * grads['db'+str(l+1)]    # Compute bias-corrected first moment estimate. Inputs: "v, beta1, t". Output: "v_corrected".  
    v_corrected["dW" + str(l+1)] = v["dW" + str(l+1)] / (1 - beta1**t)
    v_corrected["db" + str(l+1)] = v["db" + str(l+1)] / (1 - beta1**t)    # Moving average of the squared gradients. Inputs: "s, grads, beta2". Output: "s".
    s["dW" + str(l+1)] = beta2 * s["dW" + str(l+1)] + (1 - beta2) * (grads["dW" + str(l+1)])**2
    s["db" + str(l+1)] = beta2 * s["db" + str(l+1)] + (1 - beta2) * (grads["db" + str(l+1)])**2


    # Compute bias-corrected second raw moment estimate. Inputs: "s, beta2, t". Output: "s_corrected".
    s_corrected["dW" + str(l+1)] = s["dW" + str(l+1)] / (1 - beta2**t)
    s_corrected["db" + str(l+1)] = s["db" + str(l+1)] / (1 - beta2**t)    # Update parameters. Inputs: "parameters, learning_rate, v_corrected, s_corrected, epsilon". Output: "parameters".

    parameters["W" + str(l+1)] = parameters["W" + str(l+1)] - learning_rate * v_corrected["dW" + str(l+1)] / (np.sqrt(s_corrected["dW" + str(l+1)]) + epsilon)
    parameters["b" + str(l+1)] = parameters["b" + str(l+1)] - learning_rate * v_corrected["db" + str(l+1)] / (np.sqrt(s_corrected["db" + str(l+1)]) + epsilon)  
  return parameters, v, s

除了以上這些算法，還有一些像 Adadelta 之類的算法我們沒有提到，有需要了解的同學可以自行查找相關資料。最后用一個圖來展示各種優化算法的效果：

本文來自《自興動腦人工智能》項目部：凱文