設計新的結構時，你是否曾經對如何獲得最優形狀感到迷茫？如果是這樣，那么你一定會樂意學習一種非常有用的稱為“形狀優化”的技術，擁有了這項技術，你的 COMSOL Multiphysics 建模技能就又提高了一步。今天我們將探討形狀優化的概念，并借助一個典型案例來演示其用法。

形狀優化的背景

工程師、研究人員和科研人員們一直在努力改進設計。優化是指這樣一種理念，即改變零件尺寸和材料屬性等模型輸入數據，實現某些指標的提升，同時還滿足一組約束條件。COMSOL Multiphysics 中的優化模塊是處理此類問題的得力工具。

尺寸優化是其中一種比較常見的優化技巧。這個方法要求直接更改 CAD 尺寸，實現質量最小化，可參考我們的支架的優化教程。在這個支架示例中，我們利用所謂的無梯度技術調整尺寸，同時還考慮了以下約束：尺寸間關系、峰值應力以及最低固有特征頻率。這些技術會根據不同的目標函數和約束類型采用不同的處理方法，因此相當靈活。不過，這些技術有一個缺點：必須不斷地對零件重新剖分網格，從而使設計變量從數值上逼近目標函數和約束的靈敏度。

如我們在以前的一篇文章中討論的，在使用變形幾何接口時，如果幾何發生變化，那么也可以通過分析計算設計靈敏度。進一步來講，基于梯度的求解器無需重新剖分網格，即利用靈敏度優化零件的尺寸，這是我們在設計電容器一文中重點討論的內容。回顧以上兩篇文章有助于理解我們今天要使用的功能。

形狀優化是對以前討論的相關概念的一個延伸，其中不僅考慮了簡單的尺寸更改，還涉及到形狀的總體改變。結構的形狀受控于一組設計參數，這些參數使用了一組能描述任意形狀的基函數。在下文中，我們將結合具體案例進行探討。

形狀優化問題：梁的厚度

調整懸臂梁的厚度是一個典型的形狀優化問題，我們以此入手來進行探討：調整懸臂厚度并使其質量最小化，同時滿足自由端上撓度峰值的約束。梁的初始厚度均勻，但頂部表面上分布的載荷不均勻，請參考下圖。

載荷不均勻的懸臂梁，點 A 的撓度不應超過指定值。圖中還顯示了網格。

我們先選擇設計變量。在懸臂端，梁的長度和厚度固定，長度方向上梁的厚度可以改變。根據初始配置改變厚度會稍微更簡單些。不過，我們引入了函數，它在長度方向上的初始值為零。

優化問題研究梁的厚度變化。

在這里，我們選擇用一組四階伯恩斯坦多項式表示厚度變化：

用歸一化尺寸表示：。請注意，此函數已按比例縮小了，這樣多項式系數的數量級接近 1。這樣做也是為了實現縮放的目的。

因為?時梁的厚度已指定，因此在固定??時，，所以這一項可略去。在遠端，我們添加了一個約束條件：梁不能太薄，即?。

至于中間區域，我們也希望添加一些約束，進一步限制設計空間。可以添加約束。不過，這一約束有個缺陷：梁的厚度會忽薄忽厚。但是根據基本原理，我們知道這種情況不合常理，在長度方向增加梁的厚度毫無益處。我們就對其導數添加約束：。這個約束迫使梁的厚度沿長度單調增加，隨之還帶來的好處是很自然地滿足了約束條件：。

還要考慮另一個約束：梁一端上點的位移。我們希望點?的位移量不超過指定值?。根據以上信息，我們現在的優化問題就比較完整了：

目標函數針對梁的初始質量?所作的歸一化已完成，目標函數已縮放，其階次為 1。類似地，梁端部的位移量??針對容許的最大位移??進行歸一化，它應當小于 1。現在我們來看一看如何在 COMSOL Multiphysics 中使用“優化模塊”實現此類問題。

在 COMSOL Multiphysics 中實現這個問題

我們先從初步設計開始，即一個長度固定、厚度均勻的梁。梁一端設計為懸臂式，頂部表面的載荷不均勻，其變化遵循。我們希望先引入厚度變化的函數。之前描述的多項式函數是變量?DT，如下方截圖所示。表達式?Xg?指最初未變形幾何的?x?維度。此函數在歸一化的?x?方向上的導數是變量?dDTdX。兩個全局參數?L0?和?T0?定義長度和最大厚度。

屏幕截圖顯示厚度變化的函數及其導數。

有關厚度變化的變量用在變形幾何接口中，定義梁的總體積如何隨厚度變化而變化。因為只有厚度變化，所以可以使用簡單的線性映射，如下圖所示。

梁內的位移就指定完畢。

現在通過優化接口建立優化問題，其中可以很輕松地創建比較復雜的含多個約束的優化問題。相關設置顯示在下方的屏幕截圖中，先設置目標函數。積分目標特征對材料密度在建模域進行積分，并針對初始零件質量進行歸一化。

優化的目標是質量最小化。

全局控制變量特征的設置如下所示。四個變量C1、C2、C3和C4的初始值為零，相當于梁的初始形狀。對C4的約束是施加了一個上界，所有變量的縮放比例均為 1。

控制變量及其界限和縮放比例的定義。

接著，將逐點不等式約束特征施加到域的底部邊界。該特征強制每一點的位移函數的導數均為正，從而確保函數單調增加。

通過逐點不等式約束對沿梁長度的導數施加約束。

最后，對梁遠端點的峰值位移施加約束，使其小于最大指定值。可通過點求和不等式約束特征設置該值。

對歸一化的峰值位移施加約束。

至此，我們的優化問題基本創建完畢。最后一步是將優化特征添加到研究序列，選擇基于梯度的 SNOPT 求解器，經證實該求解器能最快速地處理我們的問題。所有其他設置保留默認值。目標函數和約束自動取自優化接口。

相關的優化求解器設置。

下圖繪制了結果。其中已顯示根據上述步驟得到的最優形狀。端部的位移最大，厚度沿長度單調增加。我們預計幾何會變形，因此使用了映射網格。

優化后梁的形狀，施加不均勻載荷和約束后實現了質量最小化。其中繪制了位移場，以及施加的載荷分布和網格。

使用形狀優化設計新結構的總結

或許我們自己會疑惑，如何能確定以上的結構真正實現了最優化。因此我們強烈建議進行網格細化研究，嘗試不斷細化網格，以了解其解如何收斂。研究基函數的收斂性也是非常合理的做法。我們可以使用高階伯恩斯坦基函數并比較結果。不過，這樣做可能會導致龍格現象，還會使收斂緩慢。

將原區間細分為多個子區間，在每個子區間（分段多項式）使用不同的較低階形函數，可規避此類問題。除了伯恩斯坦基函數外，我們還可以應用其他基函數，如切比雪夫多項式和傅立葉基函數。號角優化形狀教程重點討論了使用傅立葉基函數的案例，該教程可從“案例下載”中下載。

本篇文章討論的案例中，所包含的變形十分簡單。在涉及更復雜的變形時，需要花更多心思考慮如何定義變形映射。在計算非常復雜的變形時，添加輔助方程也會很有幫助。如果你對使用這些形狀優化技術有任何疑問，或者希望將優化模塊加到自己的建模工具套件中，請聯系我們。