圖像邊緣就是圖像灰度值突變的地方，也就是圖像在該部分的像素值變化速度非常之快，就比如在坐標軸上一條曲線有剛開始的平滑突然來個大轉彎，在變化出的導數非常大。

Sobel算子主要用作邊緣檢測，它是一離散型差分算子，用來計算圖像亮度函數灰度之近似值。

邊緣是指其周圍像素灰度急劇變化的那些像素的集合。邊緣存在于目標、背景和區域之間，所以，邊緣是圖像分割所依賴的最重要的依據。由于邊緣是位置的標志，對灰度的變化不敏感，因此，邊緣也是圖像匹配的重要的特征。

Sobel邊緣檢測的核心在于像素矩陣的卷積，卷積對于數字圖像處理非常重要，很多圖像處理算法都是做卷積來實現的。卷積運算的本質就是對指定的圖像區域的像素值進行加權求和的過程，其計算過程為圖像區域中的每個像素值分別與卷積模板的每個元素對應相乘，將卷積的結果作求和運算，運算到的和就是卷積運算的結果。

矩陣的卷積公式如下。

3x3的窗口M與卷積模板C的卷積運算如下。

Gx和Gy是sobel的卷積因子，將這兩個因子和原始圖像做如下卷積。

Sobel卷積因子

其中A代表原始圖像。

得到圖像中的每一個點的橫向縱向灰度值Gx、Gy。最后通過如下公式來計算改變灰度的大小。

但是通常為了提高效率，使用不開平方的近似值，雖然這樣做會損失精度，，

將Sobel算子的實現劃分為五個步驟：

（1） 計算Gx與Gy與模板每行的乘積。

（2） 兩個3x3矩陣的卷積即將每一行每一列對應相乘然后相加。

（3） 求得3*3模板運算后的Gx、Gy。

（4） 求Gx^2 + Gy^2的平方根或者直接對Gx和Gy取絕對值后求和。

（5）設置一個閾值，運算后的像素值大于該閾值輸出為全1，小于該閾值輸出為全0。

平方根和絕對值函數

sqrt(x) 計算平方根abs(x) 取數值的絕對值和復數的幅值

在對圖像數據進行運算時最好將圖像數據轉化成double類型的，避免精度損失。

Sobel邊緣檢測MATLAB實現

Sobel Edge Detect

1 %RGB_YCbCr 2 clc; 3 clear all; 4 close all; 5 6 RGB_data = imread('lena.jpg');% 7 8 R_data = RGB_data(:,:,1); 9 G_data = RGB_data(:,:,2);10 B_data = RGB_data(:,:,3);11 12 %imshow(RGB_data);13 14 [ROW,COL, DIM] = size(RGB_data); 15 16 Y_data = zeros(ROW,COL);17 Cb_data = zeros(ROW,COL);18 Cr_data = zeros(ROW,COL);19 Gray_data = RGB_data;20 21 for r = 1:ROW 22 for c = 1:COL23 Y_data(r, c) = 0.299*R_data(r, c) + 0.587*G_data(r, c) + 0.114*B_data(r, c);24 Cb_data(r, c) = -0.172*R_data(r, c) - 0.339*G_data(r, c) + 0.511*B_data(r, c) + 128;25 Cr_data(r, c) = 0.511*R_data(r, c) - 0.428*G_data(r, c) - 0.083*B_data(r, c) + 128;26 end27 end 28 29 Gray_data(:,:,1)=Y_data;30 Gray_data(:,:,2)=Y_data;31 Gray_data(:,:,3)=Y_data;32 33 figure;34 imshow(Gray_data);35 36 %Median Filter37 imgn = imnoise(Gray_data,'salt & pepper',0.02); 38 39 figure;40 imshow(imgn);41 42 Median_Img = Gray_data;43 for r = 2:ROW-144 for c = 2:COL-145 median3x3 =[imgn(r-1,c-1) imgn(r-1,c) imgn(r-1,c+1)46 imgn(r,c-1) imgn(r,c) imgn(r,c+1)47 imgn(r+1,c-1) imgn(r+1,c) imgn(r+1,c+1)];48 sort1 = sort(median3x3, 2, 'descend');49 sort2 = sort([sort1(1), sort1(4), sort1(7)], 'descend');50 sort3 = sort([sort1(2), sort1(5), sort1(8)], 'descend');51 sort4 = sort([sort1(3), sort1(6), sort1(9)], 'descend');52 mid_num = sort([sort2(3), sort3(2), sort4(1)], 'descend');53 Median_Img(r,c) = mid_num(2);54 end55 end56 57 figure;58 imshow(Median_Img);59 60 %Sobel_Edge_Detect61 62 Median_Img = double(Median_Img);63 Sobel_Threshold = 150;64 Sobel_Img = zeros(ROW,COL);65 for r = 2:ROW-166 for c = 2:COL-167 Sobel_x = Median_Img(r-1,c+1) + 2*Median_Img(r,c+1) + Median_Img(r+1,c+1) - Median_Img(r-1,c-1) - 2*Median_Img(r,c-1) - Median_Img(r+1,c-1);68 Sobel_y = Median_Img(r-1,c-1) + 2*Median_Img(r-1,c) + Median_Img(r-1,c+1) - Median_Img(r+1,c-1) - 2*Median_Img(r+1,c) - Median_Img(r+1,c+1);69 Sobel_Num = abs(Sobel_x) + abs(Sobel_y);70 %Sobel_Num = sqrt(Sobel_x^2 + Sobel_y^2);71 if(Sobel_Num > Sobel_Threshold)72 Sobel_Img(r,c)=0;73 else74 Sobel_Img(r,c)=255;75 end76 end77 end78 79 figure;80 imshow(Sobel_Img);

處理后的圖片效果

中值濾波后的lena

Sobel邊沿檢測后的lena

為了使圖像邊緣更加明朗，可以在Sobel的基礎上再進行腐蝕膨脹處理，腐蝕膨脹處理