你遇到過特征超過1000個的數據集嗎？超過5萬個的呢？我遇到過。降維是一個非常具有挑戰性的任務，尤其是當你不知道該從哪里開始的時候。擁有這么多變量既是一個恩惠——數據量越大，分析結果越可信；也是一種詛咒——你真的會感到一片茫然，無從下手。

面對這么多特征，在微觀層面分析每個變量顯然不可行，因為這至少要幾天甚至幾個月，而這背后的時間成本是難以估計的。為此，我們需要一種更好的方法來處理高維數據，比如本文介紹的降維：一種能在減少數據集中特征數量的同時，避免丟失太多信息并保持/改進模型性能的方法。

什么是降維？

每天，我們都會生成大量數據，而事實上，現在世界上約90%的數據都是在過去3到4年中產生的，這是個令人難以置信的現實。如果你不信，下面是收集數據的幾個示例：

Facebook會收集你喜歡、分享、發布、訪問的內容等數據，比如你喜歡哪家餐廳。

智能手機中的各類應用會收集大量關于你的個人信息，比如你所在的地點。

淘寶會收集你在其網站上購買、查看、點擊的內容等數據。

賭場會跟蹤每位客戶的每一步行動。

隨著數據的生成和數據收集量的不斷增加，可視化和繪制推理圖變得越來越困難。一般情況下，我們經常會通過繪制圖表來可視化數據，比如假設我們手頭有兩個變量，一個年齡，一個身高。我們就可以繪制散點圖或折線圖，輕松反映它們之間的關系。

下圖是一個簡單的例子：

其中橫坐標X1的單位為“千克”，縱坐標X2的單位為“磅”。可以發現，雖然是兩個變量，但它們傳達的信息是一致的，即物體的重量。所以我們只需選用其中的一個就能保留原始意義，把2維數據壓縮到1維（Y1）后，上圖就變成：

類似地，我們可以把數據從原本的p維轉變為一系列k維的子集（k<

為什么要降維？

以下是在數據集中應用降維的用處：

隨著數據維度不斷降低，數據存儲所需的空間也會隨之減少。

低維數據有助于減少計算/訓練用時。

一些算法在高維度數據上容易表現不佳，降維可提高算法可用性。

降維可以用刪除冗余特征解決多重共線性問題。比如我們有兩個變量：“一段時間內在跑步機上的耗時”和“卡路里消耗量”。這兩個變量高度相關，在跑步機上花的時間越長，燃燒的卡路里自然就越多。因此，同時存儲這兩個數據意義不大，只需一個就夠了。

降維有助于數據可視化。如前所述，如果數據維度很高，可視化會變得相當困難，而繪制二維三維數據的圖表非常簡單。

數據集1：Big Mart Sales III

降維技術一覽

數據維度的降低方法主要有兩種：

僅保留原始數據集中最相關的變量（特征選擇）。

尋找一組較小的新變量，其中每個變量都是輸入變量的組合，包含與輸入變量基本相同的信息（降維）。

1. 缺失值比率（Missing Value Ratio）

假設你有一個數據集，你第一步會做什么？在構建模型前，對數據進行探索性分析必不可少。但在瀏覽數據的過程中，有時候我們會發現其中包含不少缺失值。如果缺失值少，我們可以填補缺失值或直接刪除這個變量；如果缺失值過多，你會怎么辦呢？

當缺失值在數據集中的占比過高時，一般我會選擇直接刪除這個變量，因為它包含的信息太少了。但具體刪不刪、怎么刪需要視情況而定，我們可以設置一個閾值，如果缺失值占比高于閾值，刪除它所在的列。閾值越高，降維方法越積極。

下面是具體代碼：

# 導入需要的庫

import pandas as pd

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

加載數據：

# 讀取數據

train=pd.read_csv("Train_UWu5bXk.csv")

[注]：應在讀取數據時添加文件的路徑。

用.isnull().sum()檢查每個變量中缺失值的占比：

train.isnull().sum()/len(train)*100

如上表所示，缺失值很少。我們設閾值為20%：

# 保存變量中的缺失值

a = train.isnull().sum()/len(train)*100

# 保存列名

variables = train.columns

variable = [ ]

for i in range(0,12):

if a[i]<=20: ? #setting the threshold as 20%

variable.append(variables[i])

2. 低方差濾波（Low Variance Filter）

如果我們有一個數據集，其中某列的數值基本一致，也就是它的方差非常低，那么這個變量還有價值嗎？和上一種方法的思路一致，我們通常認為低方差變量攜帶的信息量也很少，所以可以把它直接刪除。

放到實踐中，就是先計算所有變量的方差大小，然后刪去其中最小的幾個。需要注意的一點是：方差與數據范圍相關的，因此在采用該方法前需要對數據做歸一化處理。

放在示例中，我們先估算缺失值：

train['Item_Weight'].fillna(train['Item_Weight'].median, inplace=True)

train['Outlet_Size'].fillna(train['Outlet_Size'].mode()[0], inplace=True)

檢查缺失值是否已經被填充：

train.isnull().sum()/len(train)*100

再計算所有數值變量的方差：

train.var()

如上圖所示，和其他變量相比，Item_Visibility的方差非常小，因此可以把它直接刪除。

umeric = train[['Item_Weight', 'Item_Visibility', 'Item_MRP', 'Outlet_Establishment_Year']]

var = numeric.var()

numeric = numeric.columns

variable = [ ]

for i in range(0,len(var)):

ifvar[i]>=10: # 將閾值設置為10％

variable.append(numeric[i+1])

以上代碼幫我們列出了方差大于10的所有變量。

3. 高相關濾波（High Correlation filter）

如果兩個變量之間是高度相關的，這意味著它們具有相似的趨勢并且可能攜帶類似的信息。同理，這類變量的存在會降低某些模型的性能（例如線性和邏輯回歸模型）。為了解決這個問題，我們可以計算獨立數值變量之間的相關性。如果相關系數超過某個閾值，就刪除其中一個變量。

作為一般準則，我們應該保留那些與目標變量顯示相當或高相關性的變量。

首先，刪除因變量（ItemOutletSales），并將剩余的變量保存在新的數據列（df）中。

df=train.drop('Item_Outlet_Sales', 1)

df.corr()

如上表所示，示例數據集中不存在高相關變量，但通常情況下，如果一對變量之間的相關性大于0.5-0.6，那就應該考慮是否要刪除一列了。

4. 隨機森林（Random Forest）

隨機森林是一種廣泛使用的特征選擇算法，它會自動計算各個特征的重要性，所以無需單獨編程。這有助于我們選擇較小的特征子集。

在開始降維前，我們先把數據轉換成數字格式，因為隨機森林只接受數字輸入。同時，ID這個變量雖然是數字，但它目前并不重要，所以可以刪去。

from sklearn.ensemble importRandomForestRegressor

df=df.drop(['Item_Identifier', 'Outlet_Identifier'], axis=1)

model = RandomForestRegressor(random_state=1, max_depth=10)

df=pd.get_dummies(df)

model.fit(df,train.Item_Outlet_Sales)

擬合模型后，根據特征的重要性繪制成圖：

features = df.columns

importances = model.feature_importances_

indices = np.argsort(importances[0:9]) # top 10 features

plt.title('Feature Importances')

plt.barh(range(len(indices)), importances[indices], color='b', align='center')

plt.yticks(range(len(indices)), [features[i] for i in indices])

plt.xlabel('Relative Importance')

plt.show()

基于上圖，我們可以手動選擇最頂層的特征來減少數據集中的維度。如果你用的是sklearn，可以直接使用SelectFromModel，它根據權重的重要性選擇特征。

from sklearn.feature_selection importSelectFromModel

feature = SelectFromModel(model)

Fit = feature.fit_transform(df, train.Item_Outlet_Sales)

5. 反向特征消除（Backward Feature Elimination）

以下是反向特征消除的主要步驟：

先獲取數據集中的全部n個變量，然后用它們訓練一個模型。

計算模型的性能。

在刪除每個變量（n次）后計算模型的性能，即我們每次都去掉一個變量，用剩余的n-1個變量訓練模型。

確定對模型性能影響最小的變量，把它刪除。

重復此過程，直到不再能刪除任何變量。

在構建線性回歸或Logistic回歸模型時，可以使用這種方法。

from sklearn.linear_model importLinearRegression

from sklearn.feature_selection import RFE

from sklearn import datasets

lreg = LinearRegression()

rfe = RFE(lreg, 10)

rfe = rfe.fit_transform(df, train.Item_Outlet_Sales)

我們需要指定算法和要選擇的特征數量，然后返回反向特征消除輸出的變量列表。此外，rfe.ranking_可以用來檢查變量排名。

6. 前向特征選擇（Forward Feature Selection）

前向特征選擇其實就是反向特征消除的相反過程，即找到能改善模型性能的最佳特征，而不是刪除弱影響特征。它背后的思路如下所述：

選擇一個特征，用每個特征訓練模型n次，得到n個模型。

選擇模型性能最佳的變量作為初始變量。

每次添加一個變量繼續訓練，重復上一過程，最后保留性能提升最大的變量。

一直添加，一直篩選，直到模型性能不再有明顯提高。

from sklearn.feature_selection import f_regression

ffs = f_regression(df,train.Item_Outlet_Sales )

上述代碼會返回一個數組，其中包括變量F值和每個F對應的p值。在這里，我們選擇F值大于10的變量：

variable = [ ]

for i in range(0,len(df.columns)-1):

if ffs[0][i] >=10:

variable.append(df.columns[i])

[注]：前向特征選擇和反向特征消除耗時較久，計算成本也都很高，所以只適用于輸入變量較少的數據集。

到目前為止，我們介紹的6種方法都能很好地解決示例的商場銷售預測問題，因為這個數據集本身輸入變量不多。在下文中，為了展示多變量數據集的降維方法，我們將把數據集改成Fashion MNIST，它共有70,000張圖像，其中訓練集60,000張，測試集10,000張。我們的目標是訓練一個能分類各類服裝配飾的模型。

數據集2：Fashion MNIST

7. 因子分析（Factor Analysis）

因子分析是一種常見的統計方法，它能從多個變量中提取共性因子，并得到最優解。假設我們有兩個變量：收入和教育。它們可能是高度相關的，因為總體來看，學歷高的人一般收入也更高，反之亦然。所以它們可能存在一個潛在的共性因子，比如“能力”。

在因子分析中，我們將變量按其相關性分組，即特定組內所有變量的相關性較高，組間變量的相關性較低。我們把每個組稱為一個因子，它是多個變量的組合。和原始數據集的變量相比，這些因子在數量上更少，但攜帶的信息基本一致。

import pandas as pd

import numpy as np

from glob import glob

import cv2

images = [cv2.imread(file) for file in glob('train/*.png')]

[注]：你必須使用train文件夾的路徑替換glob函數內的路徑。

現在我們先把這些圖像轉換為numpy數組格式，以便執行數學運算并繪制圖像。

images = np.array(images)

images.shape

返回：(60000, 28, 28, 3)

如上所示，這是一個三維數組，但我們的目標是把它轉成一維，因為后續只接受一維輸入。所以我們還得展平圖像：

image = []

for i in range(0,60000):

img = images[i].flatten()

image.append(img)

image = np.array(image)

創建一個數據框，其中包含每個像素的像素值，以及它們對應的標簽：

train = pd.read_csv("train.csv") # Give the complete path of your train.csv file

feat_cols = [ 'pixel'+str(i) for i in range(image.shape[1]) ]

df = pd.DataFrame(image,columns=feat_cols)

df['label'] = train['label']

用因子分析分解數據集：

from sklearn.decomposition importFactorAnalysis

FA = FactorAnalysis(n_components = 3).fit_transform(df[feat_cols].values)

這里，n_components將決定轉換數據中的因子數量。轉換完成后，可視化結果：

%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(12,8))

plt.title('Factor Analysis Components')

plt.scatter(FA[:,0], FA[:,1])

plt.scatter(FA[:,1], FA[:,2])

plt.scatter(FA[:,2],FA[:,0])

在上圖中，x軸和y軸表示分解因子的值，雖然共性因子是潛在的，很難被觀察到，但我們已經成功降維。

8. 主成分分析（PCA）

如果說因子分析是假設存在一系列潛在因子，能反映變量攜帶的信息，那PCA就是通過正交變換將原始的n維數據集變換到一個新的被稱做主成分的數據集中，即從現有的大量變量中提取一組新的變量。下面是關于PCA的一些要點：

主成分是原始變量的線性組合。

第一個主成分具有最大的方差值。

第二主成分試圖解釋數據集中的剩余方差，并且與第一主成分不相關（正交）。

第三主成分試圖解釋前兩個主成分等沒有解釋的方差。

再進一步降維前，我們先隨機繪制數據集中的某些圖：

rndperm = np.random.permutation(df.shape[0])

plt.gray()

fig = plt.figure(figsize=(20,10))

for i in range(0,15):

ax = fig.add_subplot(3,5,i+1)

ax.matshow(df.loc[rndperm[i],feat_cols].values.reshape((28,28*3)).astype(float))

實現PCA：

from sklearn.decomposition import PCA

pca = PCA(n_components=4)

pca_result = pca.fit_transform(df[feat_cols].values)

其中n_components將決定轉換數據中的主成分。接下來，我們看一下這四個主成分解釋了多少方差：

plt.plot(range(4), pca.explained_variance_ratio_)

plt.plot(range(4), np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))

plt.title("Component-wise and Cumulative Explained Variance")

在上圖中，藍線表示分量解釋的方差，而橙線表示累積解釋的方差。我們只用四個成分就解釋了數據集中約60％的方差。

9. 獨立分量分析（ICA）

獨立分量分析（ICA）基于信息理論，是最廣泛使用的降維技術之一。PCA和ICA之間的主要區別在于，PCA尋找不相關的因素，而ICA尋找獨立因素。

如果兩個變量不相關，它們之間就沒有線性關系。如果它們是獨立的，它們就不依賴于其他變量。例如，一個人的年齡和他吃了什么/看了什么電視無關。

該算法假設給定變量是一些未知潛在變量的線性混合。它還假設這些潛在變量是相互獨立的，即它們不依賴于其他變量，因此它們被稱為觀察數據的獨立分量。

下圖是ICA和PCA的一個直觀比較：

(a)PCA，(b)ICA

PCA的等式是x = Wχ。

這里，

x是觀察結果

W是混合矩陣

χ是來源或獨立成分

現在我們必須找到一個非混合矩陣，使成分盡可能獨立。而測試成分獨立性最常用的方法是非高斯性：

根據中心極限定理（Central Limit Theorem），多個獨立隨機變量混合之后會趨向于正態分布（高斯分布）。

因此，我們可以尋找所有獨立分量中能最大化峰度的分量。

一旦峰度被最大化，整個分布會呈現非高斯分布，我們也能得到獨立分量。

在Python中實現ICA：

from sklearn.decomposition importFastICA

ICA = FastICA(n_components=3, random_state=12)

X=ICA.fit_transform(df[feat_cols].values)

10. IOSMAP

代碼：

from sklearn import manifold

trans_data = manifold.Isomap(n_neighbors=5, n_components=3, n_jobs=-1).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

使用的參數：

n_neighbors：決定每個點的相鄰點數

n_components：決定流形的坐標數

n_jobs = -1：使用所有可用的CPU核心

可視化：

plt.figure(figsize=(12,8))

plt.title('Decomposition using ISOMAP')

plt.scatter(trans_data[:,0], trans_data[:,1])

plt.scatter(trans_data[:,1], trans_data[:,2])

plt.scatter(trans_data[:,2], trans_data[:,0])

11. t-SNE

代碼：

from sklearn.manifold import TSNE

tsne = TSNE(n_components=3, n_iter=300).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

可視化：

plt.figure(figsize=(12,8))

plt.title('t-SNE components')

plt.scatter(tsne[:,0], tsne[:,1])

plt.scatter(tsne[:,1], tsne[:,2])

plt.scatter(tsne[:,2], tsne[:,0])

12. UMAP

代碼：

import umap

umap_data = umap.UMAP(n_neighbors=5, min_dist=0.3, n_components=3).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

這里，

n_neighbors：確定相鄰點的數量。

min_dist：控制允許嵌入的緊密程度，較大的值可確保嵌入點的分布更均勻。

可視化：

plt.figure(figsize=(12,8))

plt.title('Decomposition using UMAP')

plt.scatter(umap_data[:,0], umap_data[:,1])

plt.scatter(umap_data[:,1], umap_data[:,2])

plt.scatter(umap_data[:,2], umap_data[:,0])

總結

到目前為止，我們已經介紹了12種降維方法，考慮到篇幅，我們沒有仔細介紹后三種方法的原理，感興趣的讀者可以找資料查閱，因為它們中的任何一個都足夠寫一篇專門介紹的長文。本節會對這12種方法做一個總結，簡要介紹它們的優點和缺點。

缺失值比率：如果數據集的缺失值太多，我們可以用這種方法減少變量數。

低方差濾波：這個方法可以從數據集中識別和刪除常量變量，方差小的變量對目標變量影響不大，所以可以放心刪去。

高相關濾波：具有高相關性的一對變量會增加數據集中的多重共線性，所以用這種方法刪去其中一個是有必要的。

隨機森林：這是最常用的降維方法之一，它會明確算出數據集中每個特征的重要性。

前向特征選擇和反向特征消除：這兩種方法耗時較久，計算成本也都很高，所以只適用于輸入變量較少的數據集。

因子分析：這種方法適合數據集中存在高度相關的變量集的情況。

PCA：這是處理線性數據最廣泛使用的技術之一。

ICA：我們可以用ICA將數據轉換為獨立的分量，使用更少的分量來描述數據。

ISOMAP：適合非線性數據處理。

t-SNE：也適合非線性數據處理，相較上一種方法，這種方法的可視化更直接。

UMAP：適用于高維數據，與t-SNE相比，這種方法速度更快。