4種頻率及其數量關系

實際物理頻率表示AD采集物理信號的頻率，fs為采樣頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信號最高頻率的2倍才不會發生信號混疊，因此fs能采樣到的信號最高頻率為fs/2。

角頻率是物理頻率的2*pi倍，這個也稱模擬頻率。

歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之后的結果，最高的信號頻率為fs/2對應歸一化頻率0.5，這也就是為什么在matlab的fdtool工具中歸一化頻率為什么最大只到0.5的原因。

圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個也稱數字頻率。

有關FFT頻率與實際物理頻率的分析

做n個點的FFT，表示在時域上對原來的信號取了n個點來做頻譜分析，n點FFT變換的結果仍為n個點。

換句話說，就是將2pi數字頻率w分成n份，而整個數字頻率w的范圍覆蓋了從0-2pi*fs的模擬頻率范圍。這里的fs是采樣頻率。而我們通常只關心0-pi中的頻譜，因為根據奈科斯特定律，只有f=fs/2范圍內的信號才是被采樣到的有效信號。那么，在w的范圍內，得到的頻譜肯定是關于n/2對稱的。

舉例說，如果做了16個點的FFT分析，你原來的模擬信號的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的范圍是0,1,2...15。這時，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個叫頻率分辨率。那么在橫坐標中，n=1時對應的f是4kHz, n=2對應的是8kHz, n=15時對應的是60kHz，你的頻譜是關于n=8對稱的。你只需要關心n=0到7以內的頻譜就足夠了，因為，原來信號的最高模擬頻率是32kHz。

這里可以有兩個結論。

第一，必須知道原來信號的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個n對應的實際頻率是多少，第k個點的實際頻率的計算為f(k)=k*(fs/n)

第二，你64kHz做了16個點FFT之后，因為頻率分辨率是4kHz，如果原來的信號在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點數來做FFT，n就越大，你在時域上就必須取更長的信號樣本來做分析。但是無論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準確地畫出原來連續時間信號的真實頻譜，只能無限接近（就是n無限大的時候），這個就叫做頻率泄露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率泄漏可以通過取更多的點來改善，也可以通過做FFT前加窗來改善，這就是另外一個話題了。

離散信號傅里葉變換的周期性討論

要分析這個，我們先從Laplace變換與Z變換之間的關系談起。

圖中的關系有以下幾點：

s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上

s平面的負半軸映射到z平面的單位圓內

s平面的正半軸映射到z平面的單位圓外

現在我們來看一下s平面虛軸上模擬頻率的變換將會導致z平面單位圓上如何變化：

當模擬頻率在s平面的虛軸上從0變到fs 時，數字頻率在z平面單位圓上從0變到2 pi。

當模擬頻率在s平面的虛軸上從2fs變到4fs時，數字頻率在z平面單位圓上仍然從0變到2 pi。

。。。。。。z平面如此循環重復

我們知道離散信號的傅里葉變換對應到單位圓上的z變換，因此上面的結論就驗證了為什么離散信號的傅里葉變換是周期性：根本原因所是單位圓上的周期性。

考慮到我們實際應用中可選擇一個周期，這也能夠解釋：因為實際信號的頻率總是在fs/2以下，這就對應到z平面單位圓上的0~pi，在一個周期范圍內就可以進行信號分析了。