在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)粒子攜帶的能量不足以克服勢壘時(shí)，粒子是無法穿過勢壘的。但是在量子力學(xué)中，電荷等微觀粒子卻能夠穿越大于其自身攜帶總能量的勢壘層，這就是量子隧穿效應(yīng)。我們可以使用 COMSOL? 軟件的“半導(dǎo)體模塊”中提供的 WKB 隧穿模型來以及異質(zhì)結(jié)和肖特基等邊界條件，描述量子隧穿的相關(guān)現(xiàn)象。在下文中，我們將通過基準(zhǔn)模型演示其用法。

Wentzel-Kramers-Brillouin 近似

根據(jù) K.Yang、J.R.East 和 G.I. Haddad 的參考文獻(xiàn)（Ref. 1），若采用 Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似假設(shè)，隧穿電流會(huì)向熱離子電流增加一個(gè)分?jǐn)?shù)因子

(1)

其中

內(nèi)積分

WKB 隧穿模型

為了使用 WKB 近似模擬隧穿效應(yīng)，首先需要設(shè)置邊界條件，此步驟涉及添加隧穿產(chǎn)生的額外電流密度。針對異質(zhì)結(jié)，選擇熱電子發(fā)射；針對金屬接觸，選擇理想肖特基。選定上述（非默認(rèn)）選項(xiàng)之后，新建的額外電流貢獻(xiàn) 欄將立即顯示在界面中，我們即可為電子和空穴分別指定額外電流貢獻(xiàn)。默認(rèn)情況下，不需要添加額外電流。我們還可以在內(nèi)置的 WKB 隧穿模型和用戶定義選項(xiàng)間進(jìn)行選擇。請參考下方示例截圖。

選擇熱電子發(fā)射以添加額外電流貢獻(xiàn)。

如上文所述，對于與勢壘相關(guān)的變量，電子和空穴的計(jì)算方式不同，所以我們?yōu)槊糠N類型的載流子引入了不同的特征，它們在“模型開發(fā)器”中被添加到異質(zhì)結(jié)或肖特基接觸邊界條件的子節(jié)點(diǎn)。請參考下方示例截圖。

“模型開發(fā)器”的樹結(jié)構(gòu)和 WKB 隧穿模型，電子 特征的設(shè)置窗口。

在上圖的設(shè)置 窗口中，邊界選擇 通常指定添加了額外電流密度的邊界。域選擇則指定勢壘所在的相鄰域。第二個(gè)邊界選擇指定了與第一個(gè)邊界選擇相對的域的邊界。隧穿基本發(fā)生在選定域內(nèi)，即第一個(gè)和第二個(gè)邊界選擇之間。

在二維和三維模型中，除了有效質(zhì)量之外，我們還需要輸入一個(gè)描述電場線方向的坐標(biāo)變量，并輸入一個(gè)（二維）或兩個(gè)（三維）跨過隧穿邊界的坐標(biāo)變量。在簡單的矩形幾何中，內(nèi)置空間變量x，y和z（或基于它們的表達(dá)式）可用于定義坐標(biāo)變量。在更通用的幾何中，則可以使用曲線坐標(biāo) 數(shù)學(xué)接口。“案例下載”中的“異質(zhì)結(jié)隧穿”教學(xué)模型演示了后一種方法。

漸變異質(zhì)結(jié)模型

異質(zhì)結(jié)隧穿模型比較了在不同溫度下，發(fā)生與不發(fā)生隧穿效應(yīng)的漸變異質(zhì)結(jié)的電流密度模擬值。為了便于比較仿真結(jié)果，設(shè)備構(gòu)型和所有材料屬性均來源于參考文獻(xiàn)（特別是 3.3 節(jié)）。

這是一個(gè)分子束外延生長的 AlxGa1-xAs 漸變異質(zhì)結(jié)，它形成了可阻擋電子的三角形勢壘。為了獲得與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的最佳擬合，文獻(xiàn)作者在運(yùn)行每個(gè)仿真時(shí)使用了一組未必與實(shí)驗(yàn)標(biāo)稱值相同的材料及設(shè)備參數(shù)。為了方便比較仿真結(jié)果，我們采用了作者選定的一組模擬參數(shù)，理由與文獻(xiàn)提出的論點(diǎn)一致。

我們通過在空間上改變 AlxGa1-xAs 層中鋁的摩爾分?jǐn)?shù)來形成三角形勢壘層。在 COMSOL Multiphysics? 軟件中，我們能夠基于摩爾分?jǐn)?shù)等局部變量，以及參考溫度、晶格溫度和摻雜濃度等參數(shù)和變量，直接創(chuàng)建材料并定義材料屬性。摩爾分?jǐn)?shù)則通過空間變化變量來定義。使變量在空間中變化有兩種方法：使用顯式表達(dá)式，或者在不同域內(nèi)使用不同定義。我們在模型中利用了這兩種方法。如下方截圖所示，我們在定義下創(chuàng)建了多個(gè)變量節(jié)點(diǎn)，在不同域內(nèi)應(yīng)用不同的摻雜變量和摩爾分?jǐn)?shù)。此外，我們利用內(nèi)置的空間坐標(biāo)變量 x 使摩爾分?jǐn)?shù)在“域 2”內(nèi)具有空間依賴性。

通過在 定義下添加多個(gè)節(jié)點(diǎn)（每個(gè)域?qū)?yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)），對不同的域應(yīng)用不同的摻雜與摩爾分?jǐn)?shù)變量。內(nèi)置變量 x 使變量Al_frac具有空間依賴性。

上文所定義的空間依賴性變量可以用在材料與物理場的定義中，如下圖所示。

我們將摻雜變量N_D直接輸入到摻雜特征中，如下方截圖所示。

在摻雜濃度的定義中使用空間因變量N_D。

我們利用摩爾分?jǐn)?shù)變量Al_frac在材料定義中定義了一個(gè)便捷符號 x，此符號位于基本子節(jié)點(diǎn)的設(shè)置窗口的局部屬性欄中，并被用于定義態(tài)密度（DOS）有效質(zhì)量、相對介電常數(shù)、帶隙、電子親和性和遷移率。請注意，利用前綴 def，我們可以訪問定義在基本 子節(jié)點(diǎn)中、帶def標(biāo)簽的符號。例如，在下方截圖中，輸入框中的表達(dá)式def.x可用于訪問有效質(zhì)量me和mh。

通過符號def.x使用材料定義中的空間因變量Al_frac。

當(dāng)訪問物理場設(shè)置中的材料屬性時(shí)，可以利用前綴material。以下方的截圖為例，它利用表達(dá)式material.def.x來查找符號x。前文截圖顯示另一個(gè)示例，它利用表達(dá)式material.def.me訪問電子有效質(zhì)量。

使用前綴material訪問物理場設(shè)置中的材料屬性。

建立曲線坐標(biāo)

如前文所述，（在通用幾何的內(nèi)置變量x、y和 z的簡單表達(dá)式不可行的情況下）我們可以利用曲線坐標(biāo) 接口沿電場線與隧穿邊界建立坐標(biāo)。此模型幾何是一個(gè)簡單的矩形（見 Ref. 1 中的圖 2b），電場線和隧穿邊界坐標(biāo)簡單地表示為 x 和 y。不過為了進(jìn)行演示，我們?nèi)匀辉诖四Ｐ椭惺褂们€坐標(biāo) 接口。如下方截圖所示，我們在“模型開發(fā)器”中創(chuàng)建了兩個(gè)包含擴(kuò)散方法 選項(xiàng)的曲線坐標(biāo) 接口，一個(gè)用于電場線，另一個(gè)用于隧穿邊界。

入口邊界的設(shè)置窗口。

將入口和出口邊界置于在勢壘域的另一側(cè)，這樣可以使解沿期望坐標(biāo)發(fā)生變化。兩個(gè)曲線坐標(biāo)接口的解如下圖所示。

兩個(gè)曲線坐標(biāo) 接口的解。垂直等值線是電場線的坐標(biāo)，水平等值線是隧穿邊界的坐標(biāo)。

在此示例中，域 2 恰好覆蓋了感興趣區(qū)域，順勢對勢壘進(jìn)行線積分。通常情況下，我們可以使用幾何內(nèi)的不同邊界來定義感興趣區(qū)域，這些邊界可能與材料邊界重合，也可能不重合。

對于任意幾何，曲線坐標(biāo) 接口的解也許與電場線坐標(biāo)不完全重合。不過，它為我們提供了良好的近似，并省去了通過數(shù)值方式搜索場線的麻煩。

上圖中的解可用于定義 WKB 隧穿特征的坐標(biāo)變量。下方截圖顯示了變量定義，前文截圖顯示了 WKB 特征的設(shè)置。

設(shè)置窗口顯示隧穿變量的定義。

模擬隧穿效應(yīng)的其他物理場設(shè)置

由于隧穿效應(yīng)對勢壘的形狀高度敏感，所以我們改用有限元準(zhǔn)費(fèi)米能級公式。考慮到因變量在每個(gè)網(wǎng)格單元內(nèi)均為常數(shù)，所以缺省的有限體積公式需要更加精細(xì)的網(wǎng)格。

我們在模型樹中建立兩個(gè)異質(zhì)結(jié)邊界條件，借此計(jì)算與比較包含與不包含隧穿效應(yīng)的結(jié)果。

求解漸變異質(zhì)結(jié)模型

該模型分階段進(jìn)行求解。“研究 1”計(jì)算了無隧穿效應(yīng)的情況。因?yàn)榍€坐標(biāo)在整個(gè)模型中不變，所以“研究 2”僅進(jìn)行一次求解。

“研究 3”求解了包含隧穿效應(yīng)的情況，而且只包含半導(dǎo)體物理場。為了提供良好的初始條件，我們使求解變量的初始值 指向“研究 1”的解。由于隧穿特征所需的曲線坐標(biāo) 接口未包含在研究步驟中，所以我們使不求解的變量值 指向“研究 2”中的解，從而對曲線坐標(biāo)進(jìn)行定義。下方截圖顯示了相關(guān)設(shè)置。

研究設(shè)置。注意求解變量的初始值和不求解的變量值使用了不同的研究。

另外兩項(xiàng)研究采用了相似的求解變量的初始值 和不求解的變量值 設(shè)置，主要計(jì)算低溫下的情況。對于非線性方程系統(tǒng)，我們需要為輔助掃描建立一個(gè)良好的初始條件。我們發(fā)現(xiàn)，在溫度較低的情況下，如果對 I-V 曲線從低電壓掃描到高電壓，收斂會(huì)更加容易。

比較仿真結(jié)果與參考文獻(xiàn)

下圖比較了溫度為 300 K 時(shí)，有無隧穿效應(yīng)分別對應(yīng)的電流密度與電壓（J-V）曲線。結(jié)果與 Ref. 1 中的圖 12 很好地吻合。

比較有和沒有隧穿效應(yīng)情況下的 J-V 曲線。

為了解釋勢壘寬度對隧穿電流大小的影響，文獻(xiàn)圖 13 比較了兩個(gè)偏置電壓下的導(dǎo)帶結(jié)構(gòu)示意圖和電子準(zhǔn)費(fèi)米能級。我們的模型準(zhǔn)確地還原了相關(guān)數(shù)據(jù)，如下所示。

兩個(gè)偏置電壓下的導(dǎo)帶圖說明了勢壘寬度對隧穿效應(yīng)產(chǎn)生的影響。

最后，下圖表明不同溫度下的 J-V 模擬曲線與文獻(xiàn)的圖 14 基本一致。

不同溫度下的 J-V 曲線。

結(jié)語

在本篇博客文章中，我們利用漸變異質(zhì)結(jié)基準(zhǔn)模型演示了 WKB 特征，并介紹了如何創(chuàng)建用戶定義的三元材料屬性。我們討論了在研究設(shè)置中定義求解變量的初始值 和不求解的變量值 的基本技巧，這些技巧可應(yīng)用于很多建模情景。我們希望您會(huì)將這些功能與技巧應(yīng)用到仿真工作中。

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