摘要：佛說(shuō)：“一花一世界、一葉一菩提”，說(shuō)的是尋常細(xì)微之物中有大千世界的縮影，我們可以從中知微見(jiàn)著。而如果從系統(tǒng)科學(xué)的視角，這話可以解出新意。微觀來(lái)說(shuō)，基本粒子組成了中子、質(zhì)子和電子，又組成各類元素,元素組成了水、蛋白質(zhì)、脂類、糖類與無(wú)機(jī)鹽等化合物，化合物組成了細(xì)胞，細(xì)胞組成了一花一葉，世間萬(wàn)物，概莫如是，這便是系統(tǒng)自組織的過(guò)程。

人們研究系統(tǒng)科學(xué)，就是要探尋系統(tǒng)的組織與演化規(guī)律，以耗散結(jié)構(gòu)、協(xié)同學(xué)、突變論為代表的系統(tǒng)自組織理論對(duì)系統(tǒng)演化規(guī)律進(jìn)行了定性的解讀，但缺少數(shù)學(xué)的參與，任何理論方向都不能稱之為成熟。本篇介紹的系統(tǒng)科學(xué)的非線性理論，包括分形與混沌，是從幾何與代數(shù)方面去探尋復(fù)雜系統(tǒng)的演化規(guī)律，而復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論，則是從更大規(guī)模，更長(zhǎng)時(shí)間尺度上去探尋系統(tǒng)的演化規(guī)律，可以說(shuō)，系統(tǒng)科學(xué)發(fā)展到當(dāng)前階段，離把握系統(tǒng)演化過(guò)程的本質(zhì)又近了一步。

自相似

人們一定驚嘆于自然界中事物外在形態(tài)幾何圖形的千變?nèi)f化，但在這變化之中卻有著一種神奇的性質(zhì)，自相似性。無(wú)論是植物、動(dòng)物、物理現(xiàn)象還是地形地貌，都能找到不勝枚舉的自相似的對(duì)象，包括人體的血管、肺部、神經(jīng)系統(tǒng)等的構(gòu)造上也具有高度的自相似性。舉幾個(gè)簡(jiǎn)單例子，如下圖中的松果、花椰菜的外形，還有閃電的紋路，都是典型的自相似現(xiàn)象。無(wú)機(jī)世界中因?yàn)槲锢硪?guī)律是相同的，所以閃電、地形地貌、海岸線等具有自相似性很好理解，而有機(jī)生命體在自我復(fù)制過(guò)程中受到相同的基因組控制，也必然會(huì)出現(xiàn)大量相同的迭代過(guò)程，從而出現(xiàn)自相似性，只是生命體在有限空間內(nèi)，不是無(wú)限擴(kuò)張，而是實(shí)現(xiàn)了對(duì)迭代的極限收斂，于是出現(xiàn)了按比例的逐漸縮小，以致極限的現(xiàn)象，這正是生命體的奇妙之處。

自然界的這種神奇的自相似特性被藝術(shù)家們發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)在了藝術(shù)創(chuàng)作上，達(dá)到了獨(dú)特的藝術(shù)效果。其中的代表人物就是荷蘭版畫家埃舍爾。埃舍爾以其繪畫中的蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)性而聞名，美國(guó)人工智能領(lǐng)域先驅(qū)者之一侯世達(dá)，更是將埃舍爾的名字放進(jìn)了他的書名之中，叫《哥德?tīng)枴Ｉ釥枴秃铡愯抵蟪伞罚瑫袑?duì)埃舍爾畫中體現(xiàn)的自相似、迭代與無(wú)窮的概念進(jìn)行了闡述。下圖是埃舍爾的兩幅典型的自相似概念相關(guān)的版畫。

20世紀(jì)初，自相似概念終于被數(shù)學(xué)家們所發(fā)現(xiàn)并利用，構(gòu)造出了令人驚奇的曲線，有代表性的是科赫曲線和謝爾賓斯基三角形。他們有幾個(gè)共同的性質(zhì)：1）整體上處處不規(guī)則；2）不同尺度上，圖形具有自相似性；3）都通過(guò)簡(jiǎn)單規(guī)則逐次迭代產(chǎn)生。這些曲線成為傳統(tǒng)幾何學(xué)中的怪物，無(wú)法用傳統(tǒng)的幾何學(xué)方法去解釋，如科赫曲線，如果從一維的長(zhǎng)度上去度量，是無(wú)窮長(zhǎng)的。這些幾何圖形的性質(zhì)困擾了幾何學(xué)家們很長(zhǎng)的時(shí)間，直到一個(gè)叫本華.曼德勃羅的美國(guó)數(shù)學(xué)家出現(xiàn)，他把這種幾何上的自相似性發(fā)展了一門新的幾何門類，即分形。

分形

曼德勃羅被稱為分形之父，1967年，他發(fā)表了題為《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？統(tǒng)計(jì)自相似和分?jǐn)?shù)維度》的文章，提出采用不同度量標(biāo)來(lái)測(cè)量，每次會(huì)得出完全不同的結(jié)果，尺度越小，測(cè)量的結(jié)果就會(huì)越長(zhǎng)，并不會(huì)趨向于一個(gè)有限固定的結(jié)果。1975年曼德勃羅出版了《大自然的分形幾何學(xué)》，奠定了分形理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。而曼德勃羅以他的理論構(gòu)建的“曼德勃羅集”被稱為人類有史以來(lái)最奇異、最瑰麗的集合圖形，被稱為“上帝的指紋”。

曼德勃羅集

曼德勃羅集產(chǎn)生自一個(gè)簡(jiǎn)單的非線性迭代公式：

其中Z與C表示復(fù)數(shù)，代表了平面上的點(diǎn)，因?yàn)槭瞧椒竭\(yùn)算，所以是非線性的。分形理論引種是對(duì)不規(guī)則的自然界的數(shù)學(xué)描述方法，因此又被稱為描述大自然的幾何學(xué)。

三體與混沌

《道德經(jīng)》上說(shuō)，道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。三是一個(gè)特別的數(shù)字，萬(wàn)物都孕育在三的變化當(dāng)中。劉慈欣獲得雨果獎(jiǎng)的著名小說(shuō)《三體》描述的三體世界中，也因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)太陽(yáng)而使得行星的軌跡無(wú)法精確求解，從而造成了三體世界的苦難。歷史上三體問(wèn)題本身就是一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。自從牛頓提出萬(wàn)有引力定律后，兩個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問(wèn)題得到解決，但多個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題依然存在，哪怕只是三體問(wèn)題。1887年瑞典國(guó)王發(fā)布了一筆獎(jiǎng)金，征求4個(gè)難題的解答，其中就包括太陽(yáng)系的穩(wěn)定問(wèn)題。獎(jiǎng)金被當(dāng)時(shí)的法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊得到。他雖然沒(méi)有徹底解決這個(gè)問(wèn)題，但他提出了限制性三體問(wèn)題的解決思路，所謂限制性三體問(wèn)題，就是假設(shè)一個(gè)天體的質(zhì)量比其它兩個(gè)天體小很多，可忽略不計(jì)，從而其它兩大天體的二體問(wèn)題能夠精確求解，大天體1與大天體2相對(duì)做橢圓軌跡運(yùn)動(dòng)。雖然如此，得到的第三個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)軌跡依然是雜亂的，但是它又不會(huì)超出一定的空間范圍，就好比雜亂之中又蘊(yùn)含著某種程度的有序，這其實(shí)就是我們今天提到的“混沌”，只是當(dāng)時(shí)人們還未認(rèn)識(shí)到。這樣就一定程度上說(shuō)明了太陽(yáng)系中太陽(yáng)、地球和月球的穩(wěn)定性，龐加萊獲得了該項(xiàng)獎(jiǎng)金。

2019年1月3日，我國(guó)嫦娥四號(hào)月球登陸車登陸月球成功，并且在世界上第一次實(shí)現(xiàn)了月球背面登陸，嫦娥四號(hào)登月的功臣們還得到了習(xí)主席的接見(jiàn)。由于月球背面總是背對(duì)著地球，無(wú)法實(shí)現(xiàn)登陸器與地球控制中心的通信，因此實(shí)現(xiàn)月球背面登陸是一個(gè)世界級(jí)難題，我國(guó)科學(xué)家們充分發(fā)揮了中國(guó)人民的智慧，想出了首先發(fā)射一個(gè)通信中繼星的妙招，這就是“鵲橋”號(hào)中繼星。“鵲橋”號(hào)中繼星正好定位在地、月朗格朗日L2點(diǎn)上，這其中就用到了限制性三體問(wèn)題的原理，地球、月球和“鵲橋”號(hào)中繼星三者構(gòu)成了限制性三體，法國(guó)數(shù)學(xué)家朗格朗日曾證明過(guò)限制性三體共存在5個(gè)動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn)，小質(zhì)量天體在這五個(gè)地方可保持引力的平衡。我國(guó)科學(xué)家們選擇了其中的朗格朗日L2點(diǎn)作為中繼星的布放位置，當(dāng)中繼星到達(dá)L2點(diǎn)后，被地球和月球的引力所捕獲，達(dá)到了引力的動(dòng)態(tài)平衡。

5個(gè)拉格朗日點(diǎn)

“鵲橋”中繼星位于拉格朗日L2點(diǎn)位置

混沌

人們一提混沌，必須講到美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茨以及他提出來(lái)的蝴蝶效應(yīng)與奇異吸引子。1963年，氣象學(xué)家洛倫茨在實(shí)驗(yàn)室研究氣象預(yù)報(bào)模型時(shí)，稍微修改輸入的值，得到了變化非常大的輸出結(jié)果。按常理，確定性方程的結(jié)果應(yīng)該是漸變的，稍微修改輸入，輸出變化應(yīng)該不大才對(duì)，這樣人們才能預(yù)測(cè)系統(tǒng)后續(xù)的行為。他輸入的數(shù)據(jù)只差了0.000127，而這么微小差異卻造成了結(jié)果的天壤之別，不服輸?shù)穆鍌惔陌汛罅康膶?shí)驗(yàn)結(jié)果畫在了紙上，便形成了后世經(jīng)典的奇異吸引子。從這張圖中可以看出混沌與分形之間的聯(lián)系，分形是混沌的幾何表達(dá)。通過(guò)研究，洛倫茨終于明白了，長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)是不可能準(zhǔn)確的，于是他寫了一篇論文《一只蝴蝶拍一下翅膀會(huì)不會(huì)在Taxas州引起龍卷風(fēng)？》，這就是“蝴蝶效應(yīng)”的由來(lái)。

洛倫茨發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，但為這種現(xiàn)象取名的卻另有其人，1972年美國(guó)數(shù)學(xué)家約克與其弟子，來(lái)自于我國(guó)福建省的李天巖發(fā)表了論文《周期3意味著混沌（Chaos）》，從而讓“Chaos”成為混沌現(xiàn)象的名字。這里的周期3正好與《老子》中的三生萬(wàn)物不謀而合，所以不得不佩服我國(guó)先賢的智慧。

洛倫茨的奇異吸引子

如果說(shuō)量子力學(xué)打破了微觀世界的確定性，那么混沌則打破了人們對(duì)宏觀世界確定性的認(rèn)識(shí)，隨著人們對(duì)混沌現(xiàn)象的不斷深入研究，更進(jìn)一步確信了，混沌才是我們所處世界的本質(zhì)。例如在研究人的心率曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)，健康成年人的心率曲線是不規(guī)則的形狀，呈現(xiàn)某種自相似性，貌似混沌，而癲癇患者的心率曲線反而是呈現(xiàn)更多的規(guī)則性與周期性。混沌是人的生命之源，代表了生機(jī)。錢學(xué)森也有過(guò)“某一個(gè)層次上的混沌可以是高一個(gè)層次上的有序的推動(dòng)力量”的論斷。

混沌現(xiàn)象是非線性確定系統(tǒng)的本質(zhì)屬性，說(shuō)明了世界是隨機(jī)的，但隨機(jī)中又孕育著有序。而系統(tǒng)的吸引子又將分形與混沌聯(lián)系起來(lái)，分形是混沌的幾何表達(dá)。因?yàn)榛煦绲牟豢深A(yù)測(cè)性，從而產(chǎn)生了萬(wàn)千的復(fù)雜系統(tǒng)。

圣塔菲研究所與復(fù)雜性系統(tǒng)科學(xué)

分形和混沌是對(duì)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。但現(xiàn)實(shí)世界中，我們所面臨的系統(tǒng)較之混沌理論研究中描述的系統(tǒng)要復(fù)雜得多。人們對(duì)系統(tǒng)科學(xué)的目光最終都聚焦到了復(fù)雜性系統(tǒng)科學(xué)的研究上。1984年，受諾貝爾物理獎(jiǎng)獲得者，夸克之父蓋爾曼提議，以來(lái)自洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家為主，共24位科學(xué)家在新墨西哥州建立了圣塔菲研究所，致力于復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)的研究。蓋爾曼認(rèn)為，“我們所要致力于研究的是跨越科學(xué)不同學(xué)科的大整合。有些領(lǐng)域如在分子生物學(xué)、非線性科學(xué)、認(rèn)知科學(xué)等領(lǐng)域已經(jīng)開(kāi)始了，而這個(gè)新的研究所的任務(wù)就是要促使其誕生”。從此圣塔菲成為全世界復(fù)雜性系統(tǒng)科學(xué)研究者的圣地。

圣塔菲研究所認(rèn)為：“復(fù)雜性產(chǎn)生于任何多個(gè)主體交互、相互適應(yīng)以及主體適應(yīng)環(huán)境的系統(tǒng)。這些交互和適應(yīng)在宏觀層面產(chǎn)生系統(tǒng)演化過(guò)程和常見(jiàn)的令人驚奇的涌現(xiàn)行為。復(fù)雜性科學(xué)試圖找到能夠在這樣一些不同的物理、生物和社會(huì)等系統(tǒng)中導(dǎo)致這種復(fù)雜性的共同機(jī)理。”圣塔菲研究所陸續(xù)產(chǎn)生了一大批系統(tǒng)復(fù)雜性領(lǐng)域相關(guān)的科學(xué)家和知名的著作，其中影響最大的當(dāng)屬霍蘭以及他提出的復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論。

復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論

霍蘭是圣塔菲研究所的常駐科學(xué)家之一，他在研究了城市、蟻群、生態(tài)、胚胎、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人體免疫系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，撥開(kāi)重重迷霧，提煉出了眾多復(fù)雜系統(tǒng)演化過(guò)程中的一般性因素，即系統(tǒng)內(nèi)部眾多獨(dú)立的要素的相互作用，使復(fù)雜系統(tǒng)作為一個(gè)整體產(chǎn)生了自發(fā)性的自組織，成為一種能夠自主應(yīng)對(duì)外界變化的自適應(yīng)主體（Self-adaptive Agent）。1994年他提出了復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論（Complex Adaptive Systems，簡(jiǎn)稱CAS）。復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論將系統(tǒng)當(dāng)作自適應(yīng)主體，具有通用的4種特性和3種機(jī)制。構(gòu)成了復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部的“隱秩序”，成為推動(dòng)復(fù)雜系統(tǒng)演化的動(dòng)力。四種特性包括：

1）聚集。聚集有兩種含義，一是指簡(jiǎn)化復(fù)雜系統(tǒng)的一種方法，我們常把相似的事物聚集成類，就好比面向?qū)ο蠓椒ㄖ械念惖某橄筮^(guò)程；二是指復(fù)雜系統(tǒng)組成的過(guò)程，各個(gè)底層模塊分層次不斷聚集，從而最終形成復(fù)雜系統(tǒng)本身。

2）非線性；復(fù)雜系統(tǒng)的聚集過(guò)程不是相同個(gè)體的數(shù)量累積，而是有復(fù)雜的交互過(guò)程，因此復(fù)雜系統(tǒng)必須是非線性的，非線性導(dǎo)致了混沌。

3）流；流是指系統(tǒng)內(nèi)部信息、能量的流動(dòng)，流是系統(tǒng)演化的動(dòng)力之源。

4）多樣性；多樣性是復(fù)雜系統(tǒng)不斷適應(yīng)外界變化帶來(lái)的必然結(jié)果。

三種機(jī)制包括：

1）標(biāo)識(shí)；標(biāo)識(shí)是聚集過(guò)程中為區(qū)分不同中間實(shí)體而被賦予的特征。

2）內(nèi)部模型（機(jī)制）；內(nèi)部模型是指復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)關(guān)系與模型機(jī)制，知曉了內(nèi)部模型，我們才能對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)行為進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)。

3）積木；積木是指系統(tǒng)的構(gòu)成元素，積木是分層次和顆粒度的。

霍蘭

自適應(yīng)主體的適應(yīng)性，是指它能夠與環(huán)境以及其它主體進(jìn)行交互作用。主體在這種持續(xù)不斷的交互作用的過(guò)程中，不斷地“學(xué)習(xí)”或“積累經(jīng)驗(yàn)”，并且根據(jù)學(xué)到的經(jīng)驗(yàn)改變自身的結(jié)構(gòu)和行為方式，推動(dòng)整個(gè)宏觀系統(tǒng)的演變或進(jìn)化，包括新層次的產(chǎn)生，分化和多樣性的出現(xiàn)，新的、聚合而成的、更大的主體的出現(xiàn)等等。所以霍蘭在其著作《隱秩序》中提出了“適應(yīng)性造就復(fù)雜性”的論斷。

模擬達(dá)爾文生物進(jìn)化論的自然選擇和遺傳學(xué)機(jī)理的生物進(jìn)化過(guò)程的計(jì)算模型，霍蘭提出了遺傳算法，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)模擬的自進(jìn)化過(guò)程。霍蘭又被稱為遺傳算法之父。遺傳算法揭示了時(shí)間尺度上系統(tǒng)代系之間的演化規(guī)律，而復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論揭示了規(guī)模尺度上復(fù)雜系統(tǒng)的演化規(guī)律。

大自然的適應(yīng)性進(jìn)化

我們就以上篇提到的非洲大量出現(xiàn)不長(zhǎng)牙的大象為例，來(lái)介紹復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論在大自然進(jìn)化中的作用機(jī)制。

通常情況下非洲大象公象和母象都長(zhǎng)象牙，象牙除了在生活上輔助覓食外，還肩負(fù)著打斗中保護(hù)自身的作用，因此長(zhǎng)有象牙的大象的生存能力較強(qiáng)，自然選擇下，長(zhǎng)有象牙的大象數(shù)量比較多，僅存在少量因變異而未長(zhǎng)象牙的大象，等同于象群中的殘疾象。然而最近人們發(fā)現(xiàn)，在非洲的莫桑比克，出現(xiàn)了沒(méi)有象牙的母象占多數(shù)的情況。因?yàn)殚L(zhǎng)年戰(zhàn)亂，軍人屠殺長(zhǎng)有象牙的母象，反而使因變異不長(zhǎng)象牙的母象更能生存下來(lái)，久而久之改變了大象種群的基因，沒(méi)有象牙的非洲母象又把這個(gè)基因傳給了下一代，它們生出的孩子大部分又是沒(méi)有象牙的非洲母象，這樣母象沒(méi)牙的基因，就這么一代代傳了下來(lái)，最終，沒(méi)牙的母象，從少數(shù)變成了多數(shù)。這就是象群系統(tǒng)為適應(yīng)人類的行為而做出的適應(yīng)性改變。地球是我們?nèi)祟惡蛣?dòng)物共同生存的家園，我們應(yīng)該站在人與自然共同組成的復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)的角度來(lái)重新審視自身的行為，做到和諧共處。

總結(jié)

分形與混沌一方面從幾何和代數(shù)的角度對(duì)非線性系統(tǒng)的演化進(jìn)行了描述，為開(kāi)展復(fù)雜系統(tǒng)研究提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；另一方面分形與混沌代表了自然界的普遍規(guī)律，為人們認(rèn)識(shí)自然提供了全新的、客觀的視角。復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)理論在規(guī)模尺度上揭示了復(fù)雜系統(tǒng)適應(yīng)外部變化，不斷演化的動(dòng)力機(jī)制。而遺傳算法則從時(shí)間尺度上揭示了復(fù)雜系統(tǒng)代系演化過(guò)程中的動(dòng)力機(jī)制。非線性與復(fù)雜性更加接近了系統(tǒng)的本質(zhì)，并將系統(tǒng)科學(xué)推進(jìn)到了復(fù)雜性系統(tǒng)科學(xué)的新的高度。

人們研究系統(tǒng)科學(xué)，除了更好地認(rèn)識(shí)我們所處的客觀世界之外，更重要的是用于指導(dǎo)如何改造世界。制造和使用工具是人類進(jìn)化過(guò)程中的重要里程碑。人們也通過(guò)使用工具來(lái)來(lái)改造自然，形成一系列技術(shù)。人類在使用技術(shù)，大規(guī)模地改造自然的過(guò)程形成了工程的概念，而為了更好地管理工程過(guò)程，人們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)發(fā)展出了系統(tǒng)工程方法，而工具的制作和工程的實(shí)施又需要有科學(xué)作為依據(jù)和指導(dǎo)。那么科學(xué)、技術(shù)、工程之間的關(guān)系到底怎樣，人們又如何從系統(tǒng)科學(xué)研究過(guò)渡到系統(tǒng)工程研究，我們后續(xù)繼續(xù)開(kāi)展分析。